МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 539.3:534.1
© 2014 г. М. Т. А. ЧАУДХАРИ
РЕШЕНИЕ В ПОЛУЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОГО НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА РАСТЯЖИМОГО КАБЕЛЯ
Задача о деформировании кабеля под действием приложенных стационарных объемных сил сводится к системе дифференциальных уравнений, которые существенно нелинейны вследствие взаимосвязи между геометрией и нагрузкой. Эти уравнения могут решаться при помощи нелинейных конечно-элементных методов, метода конечных разностей, или двухшаго-вого метода пристрелки. В данной работе приведено решение задачи в полузамкнутом виде, в котором исходные дифференциальные уравнения проинтегрированы, в результате чего получены точные выражения для неизвестных сил, действующих на кабель, и параметров, определяющих геометрию нагруженного кабеля. Предложенный метод позволяет рассматривать задачи с большими провесами и деформациями кабеля без использования численных методов.
Ключевые слова: растяжимый кабель, статический нелинейный анализ, большие деформации, решение в полузамкнутом виде.
1. Введение. Поведение кабеля под нагрузкой — классическая задача, начало рассмотрения которой было положено еще в 17-м веке, представляющая неизменный интерес вследствие широкого применения кабелей в гражданской и военной отраслях [1—3]. Кабели отличаются геометрически нелинейным поведением, поскольку они обладают высокой гибкостью и испытывают значительные деформации при достижении состояния равновесия. При геометрически нелинейном анализе уравнения равновесия записываются для деформированной формы кабеля после приложения нагрузки. Вследствие сильной нелинейности, присущей данной задаче, обычный линейный анализ, основанный на предположении о малости перемещений, может приводить к неточным результатам для кабельных систем с большими расстояниями между опорами [4—8]. В предыдущих работах предполагалось, что кабель нерастяжим или имеет бесконечную жесткость [9]. Другими словами, упругостью кабеля пренебрегалось, чтобы иметь возможность применить асимптотический анализ. Первая попытка получения приближенного решения для растяжимого кабеля с параболической формой провиса была предпринята Ренкиным в 1858 г. [10]. Ирвайн и Кахи [11] указали, что пренебрежение упругостью является недопустимым в случае большой протяженности кабеля и ее учет является необходимым для получения корректных результатов. Компромиссом между полностью нерастяжимым и упругим кабелем является предположение о малости провиса, то есть малом отношении стрелки провиса к длине кабеля [12]. Вследствие простоты данной модели и широком применении кабелей с малым провисом на практике, многие исследователи применяли модели такого типа для решения прикладных задач [12—14].
В настоящее время наблюдается бурный рост использования численных методов для решения статических и динамических задач. Так, для статического анализа кабельных конструкций применяются метод конечных объемов [15—22], метод конечных разностей [23—27], метод возмущений [28], вариационный подход [29], энергетические подходы [30—32], жесткостные методы [33], методы динамической релаксации [34] методы конической оптимизации [35]. Примерами динамического анализа кабельных конструкций, в числе прочих, являются работы [36—42].
Несмотря на то, что численные методы дают мощный инструмент для решения произвольных задач, аналитические решения по-прежнему играют важнейшую роль, поскольку они позволяют значительно уменьшить вычислительные затраты, а также дают более глубокое понимание поведения конструкции и служат в качестве тестовых решений для численных методов [43]. Этим объясняется непрекращающийся интерес к развитию аналитических или полуаналитических подходов к решению рассматриваемого класса задач [30, 43—49].
В настоящей работе развит метод решения для класса задач статического анализа растяжимых кабелей, который по большей части является аналитическим, однако частично требует и численного решения возникающих уравнений. В работах [23, 26, 46] для решения дифференциальных уравнений, описывающих кабель с большим провисом и деформацией растяжения использовались итерационные методы. Именно на одном из концов кабеля задавались некоторые приближенные граничные условия для системы дифференциальных уравнений, после чего использовался двухуровневый метод пристрелки, которым находилось решение, обеспечивающее выполнение граничных условий на другом конце кабеля. Преимущество данного метода состоит в отсутствии необходимости в дискретизации, используемой в конечно-элементных методах. Тем не менее, данный подход является исключительно численным, представляя собой "черный ящик", на входе и выходе которого имеются только числа. В настоящей работе развит альтернативный подход, в котором для сил и геометрических параметров кабеля получены аналитические выражения путем интегрирования системы дифференциальных уравнений. Эти соотношения, взаимосвязанные нелинейным образом, представляют собой решение задачи в полузамкнутом виде, поскольку некоторые константы интегрирования, возникающие из-за неопределенности в граничных условиях, должны находиться при помощи численного метода. Однако после того, как эти константы вычислены, полученные аналитические формулы полностью описывают силы и геометрию нагруженного кабеля.
Ниже сначала изложены основные положения статического анализа растяжимых кабелей. Далее представлен метод интегрирования уравнений и приведены возникающие при этом конечные формулы. В заключение представлен ряд примеров решения задач, результаты которых сопоставлены с имеющимися в литературе.
2. Теория. На фиг. 1 показан произвольный двумерный растяжимый кабель, имеющий в ненагруженном состоянии длину Ь. Координата х определяет положение точки P кабеля в свободном состоянии. После закрепления кабеля в точке В, точка Р смещается в Г, и на кабель начинают действовать массовые силы px и py на единицу длины исходной осевой линии кабеля. Возможный начальный провис или предварительное натяжение кабеля учитываются параметрами Е,В или пВ, тогда как разность высот опорных точек кабеля описывается параметром а. Материал кабеля подчиняется закону Гука, эффектом Пуассона в данной постановке пренебрегается. Дифференциальные уравнения, выражающие совместность деформаций, условия равновесия и поведение материала кабеля имеют следующий безразмерный вид (см. [46]):
5* 131
(I {Мх /ЕА0) = _ рхЬ (21)
й (х/Ь) ЕА0 '
й[Му /ЕАо) = _ РуЬ й (х/Ь) ЕА0
(2.2)
^^ = (1 + Е)СС8 0 (2.3)
й (х/Ь)
й (п/Ь)
й (х/Ь) й (з/Ь)
= (1 + Е)8Ш 0 (2.4)
= (1 + Б) (2.5)
й (х/Ь)
Здесь параметры 0, е и N определяются следующими алгебраическими соотношениями: 0 = аг^ N/Мх) (2.6)
б = N/ЕА0 (2.7)
N = у! М2х + М2у (2.8)
В приведенной математической постановке задачи использовано применяемое в инженерных расчетах определение деформации е . Наряду с ним, можно использовать и другие (например, лагранжево) определения деформаций. В дальнейшем будем обозначать безразмерные величины верхним индексом (*) у соответствующих размерных
переменных, например, Мх /ЕА0 = М*, £,/Ь = £*, и так далее.
Граничные условия для уравнений (2.1) и (2.2) заранее неизвестны. Также неизвестны граничные условия для уравнения (2.5) на дальнем конце кабеля (х = Ь). Геометри-
ческие граничные условия для уравнений (2.3) и (2.4) на обоих концах кабеля представлены на фиг. 1.
3. Метод интегрирования. Выписанная выше система дифференциальных уравнений не является связанной, и ее аналитическое решение может быть получено прямым интегрированием при условии, что неизвестные граничные условия будут найдены численным методом.
Интегрирование уравнения (2.2) дает
Ы* = ур-рх *
(3.1)
где в = руЬ/ЕА0 — известная константа, характеризующая приложенные к кабелю массовые силы, а у — неизвестная константа, характеризующая долю вертикальной реакции верхней опоры от суммарной массовой силы. Если кабель горизонтален, то есть обе опоры имеют одинаковую высоты, то а = 0 и у = 0.5.
Уравнение (2.7) в безразмерном виде записывается как
е = ^Ы*2 + Ы**2 =
I
Ы* + (ур-рх*)2
(3.2)
Интегрирование уравнений (2.3)—(2.5) после подстановки соотношения (3.2) и соответствующих алгебраических преобразований приводит к следующим уравнениям, описывающим в замкнутом виде геометрию кабеля:
Ы* -1 Е* =--— бшь
в
(У - х*)в Ы*
N *
+ х*Ы* +—- бшЬ
Ы* у
(3.3)
П* = Ы*2 +Р2(У- х*)2 -~(У - х*)2 + Ы**2 + (Ур)2 + (3.4)
= х* - (У- Ых*2 + (ур-рх*)2 + 2
+ Ыг1п [(ур-рх*) (3.5)
+ 2л/ Ы*2 + (уР)2 + Ы^1п (уР + дЫч^р) )
Несмотря на некоторую громоздкость, данные уравнения описывают форму кривой, являющейся результатом каждого "выстрела" в методе пристрелки. Единственными
неизвестными величинами в приведенных соотношениях являются Ы* и у. Эти величины определяются подстановкой известных граничных условий на дальнем конце кабеля в уравнения (3.3) и (3.4), с последующим решением системы нелинейных алгебраических уравнений подходящим численным методом, например, методом Гаусса—Ньютона [50].
4. Применение предложенного метода. Описанный выше метод использован для решения задач о горизонтальном кабеле, а также наклонном кабеле, при действии однородной вертикальной нагрузки, при этом начальный провис кабеля считался равным нулю (то есть Е, В = Ь). Результаты сопоставлены с результатами, полученными ранее методом пристрелки [46], а также методом конечных разностей [27]. Кроме того, рассмотрен слу-
0г
-0.1 -0.2 -0.3
-0.4
п* -0.5
N * 0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 р 1.0
Фиг. 3
чай горизонтального кабеля при наличии начального провиса в = 0.7 5Ь), результаты сопоставлены с имеющимися в литературе [46].
4.1. Горизонтальный кабель. Для горизонтального кабеля имеем а = 0, поэтому константа у в уравнениях (3.1)—(3.5) равна 0.5. Следовательно, единственным парамет-
Фиг. 2
У у
У ✓ У ✓ * ✓ ✓
/ ✓ 1/ / ✓
/ / / / f
/ / / / /
/ 1 / / / 1!
Фиг. 4
ром, который необходимо определить из граничных условий, является N*. На фиг. 2—5 представлены результаты, полученные для горизонтального кабеля в отсутствие и при наличии начального провиса \ B =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.