ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
УДК 539.3
© 2004 г. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ ФОТОУПРУГОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ "РАЗМОРАЖИВАНИЯ"
Приведен обзор основных применений метода "размораживания" при решении задач о напряженно-деформированном состоянии конструкций и сооружений. Рассматривается методика расчетно-экспериментального определения напряженно-деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек составных тел.
Метод моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций, предусматривающий предварительное "замораживание" деформаций в элементах модели и последующее "размораживание" всей модели, разработан в Лаборатории исследования напряжений и деформаций Института машиноведения АН СССР, руководимой проф. Н.И. Пригоровским. Ряд основополагающих работ, опубликованных в [1, 2], показал высокую эффективность метода при экспериментальном решении термоупругой задачи.
В Лаборатории исследования напряжений МИСИ (в настоящее время "Институт экспериментальной механики" Московского государственного строительного университета), созданной профессором Г.Л. Хесиным при активном содействии и помощи Н.И. Пригоровского, метод получил развитие в исследованиях строительных конструкций требующих разработки ряда специальных методических направлений [3].
1. Метод размораживания или метод размораживания вынужденных деформаций при решении плоской задачи практически универсален. Есть примеры решения нестационарных задач термоупругости. Например способ единичных тепловых полей позволяет проследить за изменениями напряженного состояния в процессе переменного теплового воздействия. Основным ограничением применения метода размораживания является невозможность прямого решения объемной задачи вследствие несжимаемости (V = 0,5) полимерного материала модели в высокоэластическом состоянии. В этом случае метод применяли, когда в одном из направлений деформации не создают напряжения [3].
В работе [4] предложен способ решения объемной задачи, основанный на фиксации скачка перемещений в месте, соответствующем скачку задаваемых деформаций. Метод не позволяет решать задачи, в которых максимум вынужденных деформаций расположен внутри тела.
Перечисленные ограничения отсутствуют в методе [5, 6], основанном на доказательстве фундаментального свойства - эквивалентности напряженного состояния при действии вынужденных деформаций общего вида и деформации тензора девиа-тора, компоненты которого определяются из численного решения уравнения Пуассона для исследуемой области. Предложенный метод является расчетно-экспери-ментальным, свободным от каких-либо ограничений и позволяет получать решения в самой общей постановке.
Примером чисто экспериментального способа решения объемной задачи является использование материалов с так называемой искусственной сжимаемостью. В ра-
Рис. 1
ботах [7, 8] задача решается с применением материала, в котором искусственная сжимаемость получается созданием при его полимеризации искусственных пор. Добавление в материал 1,5-2% по-рофора снижает "кажущийся" коэффициент Пуассона материала в высокоэластичном состоянии до 0,46-0,48. Приведем результат испытаний для конкретного случая. В качестве тестовой модели выбран куб, 1/8 часть которого имеет коэффициент линейного расширения отличный от остального массива. Равномерное изменение температуры создает в такой конструкции термонапряженное состояние, соответствующее картине интерференционных полос в сечении куба (рис. 1). Поле изохром получено путем пятикратного умножения полос. Результат разделения напряжений в сечении А-А показал хорошее совпадение с результатом численного решения.
В [3] термоупругая задача решалась применительно к исследованиям влияния сезонных колебаний температуры на сооружения и экзотермических процессов, сопровождающих твердение бетонов. Метод размораживания оказался эффективным при решении методических задач и задач, характерных для строительной практики.
В работе [9] метод применен для учета погрешности в определении перемещений, вызываемой неравенством коэффициентов Пуассона материалов модели и натуры. В [10, 11] предложен метод моделирования кусочно-потенциальных объемных сил, основанный на аналогии С.П. Тимошенко. Метод применен при решении задачи о влиянии на напряженное состояние гравитационной плотины взвешивающего и фильтрационного давлений.
В практике строительного проектирования широко распространены конструкции из предварительно напряженного железобетона. В [12] приводятся методические обоснования и результаты исследования напряженного состояния предварительно напряженного элемента сопряжения бетонного путепровода.
При проектировании конструкций и сооружений, составленных из материалов с различными физико-механическими свойствами, метод размораживания дает возможность расширения класса задач, эффективно решаемых экспериментально.
В [13, 14] приведено доказательство возможности представления решения кусочно-однородной задачи теории упругости в виде ряда решений задач для однородного тела, реализуемых экспериментально с применением размораживания. В каждой последующей п-й модели создаются вынужденные деформации, взятые из предыдущей (п - 1) модели. Обоснована возможность экспериментального решения задачи для составных тел, части которых различаются: коэффициентами линейного расширения а (первоначальная формулировка метода); массой; модулями упругости Е; коэффициентами Пуассона V.
2. Метод размораживания эффективен при исследовании особенностей НДС упругого тела, определяемых нерегулярными точками границы следующего вида: угловые линии, конические точки, многогранные углы; изменение характера однородных граничных условий; точки разрыва первых производных граничной линии, поверхности; точки границы тела, принадлежащие линии контакта однородных изотропных сред с различными постоянными значениями физико-механических свойств; точки границы тела, принадлежащие линии контакта двух областей, по которой имеется скачок вынужденных деформаций или заданных объемных сил.
Аналитические методы расчета предполагают, что в окрестности нерегулярных точек границы решение общей эллиптической краевой задачи представляется в виде асимптотического ряда и бесконечно дифференцируемой функции [14]. Слагаемые этого ряда содержат решения однородных краевых задач для модельных областей (конуса и клина). Эти решения зависят от локальных характеристик: величины телесного или плоского угла и типа краевых условий. Величины коэффициентов разложения решения в окрестности особой точки неизвестны и зависят от задачи в целом. При этом интересно слагаемое, которое содержит наиболее сильную особенность для производных.
Исследовать НДС в окрестности нерегулярной точки границы тела и определять коэффициенты при главном слагаемом в разложении решения упругой задачи, предлагается расчетно-экспериментальным методом [15]. Собственные значения краевой задачи и собственное решение, соответствующее главной особенности НДС в окрестности нерегулярной точки с точностью до неопределенных коэффициентов, находятся аналитически для стандартных областей (клиньев, конусов). При этом неизвестные коэффициенты предлагается находить экспериментально на моделях с использованием свойства размораживания.
Для составного упругого тела, находящегося в плоском напряженном состоянии,
рассматривается малая окрестность нерегулярной точки 0(0, 0): х2 + у2 < е^; г < е0, ех > 0, е0 > 0 - достаточно малые числа; е1, е0 е Я. Применив группы подобия х1 = ?х, у1 = 1у, г1 = г, О, = ?О,, е, = ?е,, ии = ии, разрушающую систему уравнений теории упругости в смешанной постановке запишем
Э с, 1
у ч^и
у д у 1
п
Р< = 0' = У
.2 У
д и ди, + д 11;
(1)
у
У1
сУпу 1
= 0,
У°>Л1
У1
1 ъ = --
гв
гв
(2)
и и
и
¡т ((1 + Vк)оу - Ъу) + 1 4 + 1 акт5, (3)
где К = 1(х1, у1 е 01); К = 2(х1, у1 е 02) у1; 11 = х1, у1, пу1 = п, - нормаль к линии контакта областей Г = Г1 и Г2. Условия (2) определяют граничные условия по внешней границе тела £ и по внутренней границе ГВ окрестности, содержащей нерегулярную точку.
При г —► ^ (? = е1/е2, е2 < е1) плоская задача кусочно-однородного тела (1) - (3) в окрестности нерегулярной точки 0(0, 0) переходит в сингулярную задачу с однородными граничными условиями для кусочно-однородного тела. Следовательно, существует малая окрестность точки 0(0, 0) х2 + у2 < е2 , г1 < г0 < е0, в которой действует собственное НДС (аС, ёС (пС)), характеризующее возникающую особенность в этой точке и ее окрестности.
При г —1 система уравнений (1) - (3) совпадает с исходной при действии задан-
„ И И Т,Н, Н
ных воздействий и граничных условий с, , е, , и1 (п ).
В промежуточном диапазоне изменения значений параметра г е (N, 1 - а) (где N -
достаточно велико, а > 0 - достаточно мало) действует собственное цС и пН от заданных нагрузок.
£
Г2
г
2
о
о
0,25
7 Г
ах, Е, V
0,5
АаЕТ 0,5
' "7
а у
0,25
Рис. 2
Согласно рассмотренным случаям изменения параметра £ при решении плоской задачи кусочно-однородного тела в окрестности нерегулярной точки можно представить в виде
- -С -И
П = п + П ,
(4)
— С / — С —С —С ч —• и — И / — И -И -И,
где п (ац , 8ц , Чц) - собственное решение сингулярной задачи; п (ац , 8ц , Чц ) - решение системы вида (1) - (3), обусловленное влиянием действия заданных нагрузок
4 = (1"2) ^, а гв
()а ■
8 ? = (1/г )8 ^ + (1/г )акТ 8 •• и скачка вынужденных
деформаций, а также объемных сил по линии контакта Г = Г1 и Г2 областей и
1
г "г2 -м г2
А ^ = 1 (г2 - Ч г) = Г- А
А8Ф = ! Г8 - 1 = ! А8Ь
ч гV41г2 1гху г-А8г;'
А8Ф1 = 1 (а2Т|г2-а 1 Т|г )8г; = 1АаАТ8г;.
— С
Собственное НДС п в окрестности нерегулярной точки 0(0, 0) получается теоретико-экспериментальным методом. Решается краевая задача на собственные значения для модельных областей - клиньев (конусов) и выбирается то, что определяет "главную" особенность решения в окрестности нерегулярной точки. При этом неопределенные коэффициенты в собственном решении, отвечающем главной особенности НДС, на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.