РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 1, с. 15-23
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.371.334:537.874.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ И АНТЕНН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ТЕХНИКИ ВЕЙВЛЕТОВ
© 2004 г. А. П. Анютин, А. Г. Кюркчан
Поступила в редакцию 05.05.2003 г.
Предложенный недавно авторами метод продолженных граничных условий применен к решению ряда задач теории дифракции и антенной техники. Продемонстрирована высокая эффективность метода и показано, что моделирование характеристик излучения коротковолновых зеркальных антенн, осуществлявшееся ранее преимущественно на основе асимптотических методов, более целесообразно выполнять теперь при помощи предложенного метода и техники вейвлетов.
ВВЕДЕНИЕ
Огромный интерес к теории вейвлетов и ее приложениям вызван необычайной плодотворностью их применения в различных областях техники, физики и чистой математики. Взрывообраз-ный интерес к вейвлетам часто даже называют "вейвлет-революцией" [1]. В то же время следует отметить, что основные приложения теории вейвлетов связаны прежде всего с квантовой физикой и цифровой обработкой сигналов (например, в системе сжатия изображений 1РБ02000 используется разложение изображения по вейвлетному базису [1]). Имеется лишь сравнительно небольшое число публикаций, посвященных применению вейвлетов к решению краевых задач математической физики (см., например, [2, 3] и приведенную там библиографию).
В данной работе мы рассмотрим применение техники вейвлетов к задаче, представляющей большой интерес в теории антенн - дифракции волн на тонких экранах. Подобные задачи возникают при моделировании характеристик излучения широкого класса антенн: зеркальных, рупорных и др. Решение такого рода задач классическими численными методами, такими например как метод токовых интегральных уравнений, сопряжено с довольно серьезными трудностями, в основном технического характера, связанными с наличием особенностей как у ядра интегрального уравнения, так и у искомой функции, а также с довольно большим объемом вычислений [4]. Поэтому для исследования упомянутых задач получили широкое распространение асимптотические методы - метод геометрической теории дифракции, его равномерные (полутеневые) обобщения и эвристический метод Кирхгофа [5-8].
Основные результаты и итоги таких подходов приведены в монографии [5] (см. также [8]). При этом сами авторы указали на наличие суще-
ственных различий в токах на поверхности антенны даже в случае простой однозеркальной антенны получаемых асимптотическими [5, 8] и точным методами [4, 9]. Физически это связано с тем, что невозможно учесть многократное переотражение волн кромками зеркала. Ситуация двухзер-кальных антенн усложняется еще больше, так как в переотражении волн участвует второе зеркало. Кроме того, в рассеянное поле вносят вклады токи, текущие по обратной стороне малого зеркала (что невозможно учесть в рамках асимптотического подхода). Таким образом, фактически остались открытыми вплоть до настоящего времени как вопрос о точности получаемых результатов на основе асимптотических методов, так и проблема расчета диаграммы направленности таких антенн с учетом всех действующих факторов.
Ниже излагается новый подход к решению поставленной проблемы, в основе которого лежат две идеи: метод продолженных граничных условий [10] и использование вейвлетных базисов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Одним из широко распространенных способов решения краевых задач для эллиптических уравнений является сведение их к интегральным уравнениям I или II рода [11] с последующей алгебраи-зацией последних. Ядра таких уравнений являются обычно фундаментальными решениями соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных и(или) их производными и имеют, таким образом, особенности при совпадении аргументов. Отмеченное обстоятельство обусловливает целый ряд трудностей при численной реализации тех или иных алгоритмов решения этих интегральных уравнений.
Предлагаемый ниже подход позволяет избавиться от подобных затруднений и строить простые и эффективные алгоритмы решения соответствующих краевых задач.
Рассмотрим существо обсуждаемого метода на примере решения граничных задач для уравнения Гельмгольца. Основная идея метода с точностью до деталей технического характера переносится на другие уравнения эллиптического типа.
Пусть для определенности речь идет о решении внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. о задаче дифракции на компактном рассеи-
вателе, занимающем область пространства А. В математической постановке такая задача сводится к нахождению в области Бе = Я\01 (или ) решения ы1 уравнения Гельмгольца
А u1 + к2 u1 = 0,
(1)
удовлетворяющего на границе 5 области Д некоторым краевым условиям, например, вида
еды
a u + p^n
= 0,
(2)
еды
au + p^n
= 0,
(3)
вычислительные проблемы, связанные с наличием особенностей в ядрах уравнений, будут сняты.
Итак, пусть для определенности граница 5 -кусочно гладкая. Пусть также сначала речь идет о решении внешней краевой задачи Дирихле для
области вне А (т.е. в (3) а = 1, в = 0). В качестве 55 выберем кусочно аналитическую поверхность, содержащую 5 и такую, что поверхность 5 охватывает все особенности аналитического продолжения решения ы§ (Г) краевой задачи (1), (3) внутрь 5§. Тогда решение задачи (1), (3) может быть сведено к следующему интегральному уравнению Фредгольма I рода [15]
JV( h) K (
rss; rs) ds = rss)
(4)
где a, в = const, u = u0 + u1 - полное, u0 - падающее (первичное) поля, а также условию на бесконечности [11]. Таким образом, в области De искомая
функция u1( Г) является вещественно аналитической [12] и в силу этого она приближенно удовлетворяет условию (2) и в некоторой окрестности
границы S, лежащей в De. Если граница такова, что возможно аналитическое продолжение функции u ЧГ) в область Di [13, 14], то упомянутая окрестность лежит по обе стороны границы S.
Поскольку любое численное решение краевой задачи (1), (2) (в том числе и базирующееся на строгом алгоритме) является приближенным, использование приближенных граничных условий вместо точных вполне допустимо. Так, например, вместо строгой постановки (1), (2) краевой задачи можно решать задачу с граничным условием
в котором 5§ - поверхность, проведенная в области Бе на некотором достаточно малом расстоянии 5 от поверхности 5. Такое изменение постановки задачи позволяет избавиться от ряда серьезных вычислительных трудностей. В частности, при сведении краевой задачи (1), (3) к интегральным уравнениям ядра таких уравнений не будут иметь особенностей, в результате чего многие
относительно неизвестной функции г5) - плотности так называемого вспомогательного тока. Ядром уравнения (4) является фундаментальное решение уравнения (1).
Имеет место следующая теорема существования [15] (см. также [14], [16]):
Пусть простая замкнутая поверхность 5 такова, что к не является собственным значением внутренней однородной задачи Дирихле для области внутри 5. Тогда уравнение (4) разрешимо в том и только в том случае, если 5 охватывает
все особенности решения ы^ (Г) краевой задачи
(1), (3).
Нетрудно показать, что при выполнении условий теоремы уравнение (4) имеет единственное решение.
Можно также показать, что в так называемой дальней зоне, т.е. при кг > 1, равномерно (по угловым переменным в сферической системе координат) |ыЧ Г) - ы5 (Г )| = о(5).
В качестве первого примера применения предлагаемой методики рассмотрим задачу дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящей бесконечно тонкой ленте. В случае, когда электрический вектор Е падающего поля ориентирован вдоль ленты, т.е. имеет только
одну составляющую: Е = г'гЕг, для функции ы = Ег будем иметь однородную краевую задачу Дирихле (а = 1, в = 0). Граница 5 представляет собой в рассматриваемом случае отрезок -а < х < а, у = 0. В качестве 55 здесь нужно было бы взять в соответствии с теоремой существования эллипс с межфокусным отрезком [-а, а] и малой полуосью, равной 5. Однако в силу симметрии рассеянного волнового поля ы1(Г) относительно оси у = 0 в качестве границы 55 может быть взят отрезок
s
s
-а < х < а, у = 5. Задача (1), (3) может быть, таким образом, сведена к следующему интегральному уравнению Фредгольма I рода
11(г)Н0(к7(х - г)2 + 52)йг =
= - ехр(- [кх008ф0- 1к58тф0), |х| < а.
(5)
В этом уравнении параметр 5 > 0 фиксирован (его величина зависит от желаемой точности расчетов), ядро не имеет особенностей при совпадении аргументов, поэтому уравнение (5) можно решать, не прибегая к каким-либо ухищрениям, связанным с выделением особенностей в ядре. Например, искомая функция (электрический ток) 1(г) может быть представлена в виде разложения
1( г) = X (г)
по некоторой полной системе функций. Подставив это разложение в (5), получим
X СпЬ/п(г) = ¥,
(6)
Уо = 8рап{фк(г)} к е г.
(8)
Образуем теперь следующую цепочку вложенных друг в друга замкнутых подпространств:
... с У2 с У1 с У0 с У-1... с У} с У}-1... с Ь2, (9) причем
/ (г )е УJ ^ / (2 г )е УJ-1. (10)
Потребуем выполнения следующих соотношений:
гУ' = {0} - аксиома отделимости (11)
}
иУ; = Ь - аксиома полноты.
(12)
Соотношение (8)-(12) определяют кратномас-штабный анализ, а функция ф(г), целочисленные сдвиги которой образуют базис подпространства У0, называется масштабирующей. Введем ортогональные дополнения Wj подпространств У следующим образом:
У-1 = У © WJ, Wi 1 Уя У'е 2.
Функция ¥(г), целочисленные сдвиги которой ук(г) = = ¥(г - к) образуют базис подпространства W0, называется вейвлетом. Так как W0 с У-1, то
где Ь - интегральный оператор в (5), а ¥ - правая часть. Далее, спроектировав равенство (6) на некоторый базис (^т|т = 1, 2, ...), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов сп:
XСпЬ/п) = <^Ш,У>, т = 1, 2,. (7)
Часто в качестве берут дельта-функции = = 5(х - хт), где хт - точки дискретизации интервала [-а, а] (точки коллокации).
Весьма эффективным для представления 1(г) является использование вейвлетных базисов [1-3, 17],
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.