научная статья по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ Математика

Текст научной статьи на тему «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 2, 2014

УДК 532.5.032

© 2014 г. Д. Е. Пивоваров

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ

Дается описание применения метода коллокаций, расположенных в нулях полинома Чебышева, для решения пространственных задач устойчивости конвективных течений. Жидкость занимает прямоугольную замкнутую полость, на границах которой возможно задание условий первого, второго и третьего рода. С использованием дифференциальной матрицы, построенной в узлах коллокации, спектральная задача преобразуется в обобщенную алгебраическую задачу на собственные векторы, которая решается численно. Решена задача Релея в замкнутом слое при разных значениях отношения сторон прямоугольной полости. Приведенные расчеты сопоставляются с результатами решения нелинейных уравнений, а также экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

Классические внутренние задачи термогравитационной конвекции ставятся в прямоугольной или цилиндрической системе координат [1]. Это обусловлено удобством задания границ, являющихся координатными поверхностями. Как правило, на каждой такой поверхности ставится граничное условие одного конкретного рода. Устойчивость течения [2] или состояния равновесия [3] к малым возмущениям исследуется в первую очередь в рамках линейного приближения.

С наложением нормальных возмущений на основное течение получается спектральная задача для амплитудных уравнений. Для решения этой задачи широкое распространение получил спектральный метод Бубнова—Галёркина [4]. Однако успешное его применение ограничено выбором базисных функций, достаточно точно аппроксимирующих возмущенное движение. Существуют задачи, в которых отсутствуют априорные данные о решении, зависящем от какого-либо параметра задачи. Примером такого рода задач служит задача о конвекции в наклонных полостях с донным подогревом [5]. В зависимости от угла наклона полости к горизонту возможно установление валиковой структуры течения или подъемно-опускного течения во всей полости [6].

Для преодоления трудностей целесообразно применить метод коллокаций, расположенных в нулях полинома Чебышева. Имеется подробное изложение этого метода для решения задачи устойчивости течения в слое, заполненном многокомпонентной смесью [7]. Этот метод успешно применялся для решения задачи конвекции в горизонтальном слое при боковом подогреве [8] и в прямоугольном канале при наличии продольного температурного градиента [9]. В обеих задачах замыкание области давалось дополнительным интегральным соотношением, а не установлением граничных поверхностей. Применительно к задаче конвекции в наклонной полости этот метод применялся лишь в двумерной постановке [10]. При этом решение искалось в виде разложения в ряд по полиномам Чебышева.

Анализ устойчивости течений в замкнутых объемах проводился для случаев специальной геометрии. Так, был представлен [11] подобный анализ течения внутри цилиндрической полости. При этом возмущения по азимутальной координате оставались периодическими. В прямоугольной геометрии замыкание области обобщает задачу за счет отсутствия периодичности. Ранние работы [12—14], в которых применялся метод Бубнова—Галёркина, содержали небольшое количество базисных функций, что успешно давало качественную картину возмущенного движения, но количественно завышало экспериментальные данные. В этих работах положение полости было горизонтальным. Введение угла наклона заставило увеличить число базисных функций, что привело к приемлемому согласию с экспериментом в случае горизонтальной полости [5].

Настоящая работа посвящена построению метода коллокаций для поиска порога неустойчивости конвективного течения в полностью замкнутой области пространства относительно монотонных возмущений, зависящих от трех пространственных координат.

1. Задача о линейной устойчивости. Для описания установившегося движения тепло-проводящей вязкой несжимаемой жидкости используется система стационарной тепловой конвекции в приближении Буссинеска [3]

u Vu = - Vp + V2u + GrTy, u V T = — , divu = 0 (1.1)

Pr

Здесь u, T, p, t и у — безразмерные вектор скорости, отклонение температуры от среднего постоянного значения, добавка к гидростатическому равновесному давлению, время и единичный вектор, направленный против равнодействующей массовых сил, соответственно, Pr = v/x и Gr = gßATH3/v2 — числа Прандтля и Грасгофа, v — кинематическая вязкость, x — температуропроводность, g — модуль силы тяжести, ß — коэффициент объемного расширения, AT — характерная для задачи разность температур, H — характерный линейный размер. Масштабы длины, скорости, температуры и давления представлены соответственно величинами H, v/H, AT и pv2/H2, где р — плотность.

Прямоугольная область

Q = (0, L )х( 0, W) х( 0, H)

занимаемая жидкостью после операции перехода к безразмерным величинам характеризуется двумя параметрами: удлинением AL = L/H и уширением AW = W/H. При исследовании задач естественной конвекции границы области, как правило, неподвижны u|0ß = 0, а на температуру накладываются условия первого или второго рода. Излагаемый ниже метод решения может применяться к граничным условиям первого, второго и третьего рода для скорости и температуры.

Пусть u0, T0, p0 — решение уравнений (1.1), описывающее ламинарное течение. Накладывая на стационарное решение бесконечно малые нейтральнее возмущения u, T, p, получаем после подстановки u0 + u, T0 + T, p0 + p в систему (1.1) линейные уравнения возмущенного движения в скалярной форме

ддU0 ди0 , дp ^ ^ L + —0 и + —0 и + —0 w + — = GrTy1

дх/ дх2 дх3 дх1

дU0 , (т , дUq\ dü0 dp ^ ^

—0 и + L + —0 и + —0 w + — = GrTy2

дх1 V дх2; дх3 дх2

дW0 , дwo ( дW0^ дp ^ г

—0 и + —0 и + L + —0 w + — = GrTy3

дх1 дх2 V дх3 J дх3 (1.2)

дт, , дT„ , дT)

Prl —0 и + —0 и + —' wl + (Pru0 V - V2) T = 0

^-дх1 дх2 д х3

д и + д и + &w_ = 0

дх1 дх2 дх3

L = u0 V - V2

Для возмущений задаются однородные граничные условия (n — нормаль к dQ) aff + ъМ-\ _ 0, f _ {u, и, w, T} (1.3)

dQ

Величины af и bf принимают постоянные значения на каждой плоскости dQ. Минимальное значение Gr, при котором система (1.2) будет иметь нетривиальное решение, является критическим числом Грасгофа Gr*. Соответствующее этому числу

решение в сумме с основным движением называют вторичным движением. Таким образом, для анализа устойчивости требуется решить спектральную задачу относительно числа Gr и найти соответствующие собственные функции.

2. Метод решения спектральной задачи. Выполним преобразование системы координат

= A (х + 1), x2 = Aw(y + 1), Хз = 2 (г + 1)

которое переводит безразмерную область Q в куб K = (—1; 1) х (—1; 1) х (—1, 1). Операторы пространственных производных примут вид

д _ 2d - _2_д. - 2— (21)

д x1 Al дх dx2 AWd y' дх3 дг

Пусть на множестве точек, расположенных в нулях полинома Чебышева первого рода

p _ llxJI, x, _ f-cos - cos - cos

11 Hl ' ^ 2N1 ' 2N2 2N3 J (2.2)

г = (¡N2 + У) N3 + к, I = 1, , у = 1, N2, к = 1, N3

решение спектральной задачи для компоненты скорости u представляется в виде вектора

и( р) = q, q = \\дг\\

Для представления решения в непрерывной форме воспользуемся интерполяционным многочленом Лагранжа

NN2^ N1 N2 N3

и(х) = £ дг1 г(х) = £££Чукь^х) Ьу(у)Ьк(г) (2.3)

г = 1 I = 1 у = 1 к = 1

Базисные полиномы Ь{, Ьу, Ьк принимают единичные значения в точке xr, нулевое во всех остальных и удовлетворяют граничным условиям, т.е. представимы в виде

ЬI (х) = [(х - Х()(сх + ) + 1 ] Ь( (х)

Ьу(У) = [(У - У у)(су + й) + 1 ] Ь(у) (2.4)

Ьк (г) = [(г - 1к)( Скг + йк) + 1 ]Ьк(г)

Функции L¡(x), Lj(y) и Lk(z) — классические базисные полиномы Лагранжа

= ПЧт, = ХП^"', А = П(X/-X/) (X, У, г)

X — X/

А

А

I ф 1

г фIIф1 / Ф т

I Ф 1

Подставляя первое выражение (2.4) в граничные условия (1.3), получаем линейную систему, из которой находим неопределенные коэффициенты

У_С+ — У+ С

с, =

=

Б_У+ — Б+У_

Б_С+ — Б+С_' "' Б_С+ — Б+С_ С± = [а±/(± 1 — X,) + ¿±¿¿,(±1) ± V1 + X,)Ь'(±1) Б± = [а/1 — X2) + 2Ь±/]Ь,(±1 )± Ь±/( 1 — X2)Ь\(±1)

У± = — а±/Ь,(±1) — / (±1)

Аналогичные формулы получаются для коэффициентов c/, ck, dj, dk.

Для перехода к дискретной задаче относительно u остается подставить решение (2.3) в систему (1.2) и взять в качестве точек коллокаций интерполяционные узлы (2.2). Это действие можно выполнить, написав дискретный аналог каждой дифференциальной операции в уравнениях (1.2) с помощью дифференциальных матриц и их степеней [15]. Для этого введем вектор-строку базисных полиномов

Ь = (¿1 (х), ..., Ьг(х), ..., Ьы1ы2ыг(х))

и представим решение и его производные в виде матричного произведения

д и дЬ д и дЬ

7 ди дЬ _.. __ и = Lq, — = —q, — = —q,

дx дx ду ду дг дг Матрицы дифференциальных операторов в узлах коллокаций принимают вид Ь (р) = ® ^ ® 1щ

(2.5)

д_

д X

дЬ (р) = Б

д X

N

1 = д^(р) = I

ду ду

N

Б

N

1 = ад = ^ 01;

дг дг 1

N2

Б

N3

V2 = Б2

N

БN ® Б

N

где 0 и Ф — умножение и сумма Кронекера, /щ , 1Н и /щ — единичные матрицы размерностей N и N2 соответственно, а элементы дифференциальных матриц Бщ , Бщ и Бщ вычисляются по формулам

( Бщ )„ = Ь' (х,), ( Бщ )т] = Ь)(ут), ( Бщ )пк = Ь к (гЛ)

Все вышесказанное относительно решения u повторяется для решений и, w, T. Отсутствие граничных условий для p позволяет аппроксимировать давление классическими полиномами Лагранжа.

Заменяя решения и дифференциальные операторы соответствующими матрицами и учитывая равенства (2.1), получаем обобщенную алгебраическую задачу на собственные значения

АИ = ОгВИ, И = (qи, Чи, qг, чр)Т (2.6)

с вырожденной матрицей B [11] и разреженной матрицей A блочно-диагональной структуры. Подобный вид матриц обусловлен представлением решения интерполяционным многочленом, а не разложением по полиномам Чебышева, что является эквивалентной записью решения. Однако в случае ряда матрицы не были бы разреженными.

Для решения спектральной задачи (2.6) использована процедура из пакета

ЬАРАСК [16].

3. Задача Релея в ограниченной области. Для анализа устойчивости положения равновесия

" = 0, То = г в зад

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком