РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 54, № 3, с. 286-294
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.371.333; 537.874.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ С КИРАЛЬНЫМ ПОКРЫТИЕМ
© 2009 г. С. А. Маненков
Поступила в редакцию 07.04.2008 г.
Предложена новая реализация модифицированного метода дискретных источников для решения трехмерной векторной задачи рассеяния электромагнитного поля на теле вращения с киральным покрытием. Проведено тестирование метода на примере задачи рассеяния на сфере с диэлектрическим покрытием. Приведены численные результаты для тел с различной геометрией.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассмотрена задача рассеяния электромагнитного поля на теле вращения с покрытием, которое предполагаем киральным, а само тело - идеально проводящим. Задачу решаем при помощи модифицированного метода дискретных источников (ММДИ), позволяющего строить точные и универсальные алгоритмы для решения различных дифракционных задач [1-7].
В работах [5-7] в рамках ММДИ были получены системы интегральных уравнений для задач рассеяния на одиночном импедансном теле и группе импедансных тел вращения. Однако вывод таких уравнений достаточно громоздкий. В то же время преимуществом ММДИ (как и других модификаций метода дискретных источников) является возможность использования тензорных функций Грина для решения задач с разными краевыми условиями. Такой подход позволяет легко выписывать системы интегральных уравнений для сложных задач дифракции. В частности, в работе [8] этот способ применен к решению задачи дифракции на неоднородности в виде тела вращения, расположенной в цилиндрическом волноводе. Отметим, что в отличие от других модификаций ММДИ позволяет получать результаты с высокой точностью. При этом размеры алгебраических систем, к которым сводится задача, значительно меньше, чем, например, в методе конечных разностей. Так, в работе [9] изложен метод решения задачи дифракции на киральном теле, основанный на конечно-разностной аппроксимации волнового поля. При таком подходе размер алгебраических системы, к которой сводится краевая задача, на несколько порядков превышает размер соответствующей алгебраической системы, получаемой при помощи ММДИ.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим компактный рассеиватель в виде идеально проводящего тела вращения, ограни-
ченного поверхностью £2. Считаем, что данное тело расположено внутри другого рассеивателя, заполненного киральной средой, причем оба тела являются соосными телами вращения. Внешнюю поверхность покрытия обозначим (см. рис. 1). Выберем систему координат так, чтобы ее начало было расположено внутри поверхности £2. Ось г направим вдоль оси вращения полученного слоистого тела. Вне рассеивателя поле представляет собой сумму падающего и рассеяного (вторичного ->о -и -и го) полей. Обозначим эти поля Е , Н и Е , Н
соответственно. Предполагаем, что источники падающего поля расположены вне поверхности Поле внутри кирального покрытия обозначим
через Е , Н . Рассеянное поле всюду вне области, занимаемой телом, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла:
^ ¿к,-м
Ух Е = -¿к1 П1Н , Ух Н =— Е , (1)
П1
а внутри кирального покрытия выполнены уравнения [10]
Рис. 1. Геометрия задачи.
->2 ->2 ->2 V х E = — ik2п2Я + k2кE ,
Vx Я = —2 E + k2KЯ .
П2 2
(2)
Здесь к1 и к2 - волновые числа, п и п2 - волновые сопротивления сред вне и внутри тела, к - параметр киральности покрытия. Будем предполагать, что на поверхностях и £2 выполнены краевые условия:
ч ->0 ->1 ч ^2 Ч
П1 х (E + E ) = ni х E , г е Sb
Ч ->0 -М ^ ->2 Ч
П1 х (Я + Я ) = П1 х Я , г е S1,
П2 х E2 = 0, г е S2,
(3)
(4)
(5)
Е х Ь + П1Н = о Г1
я1 х h -i E1 = of I
г^ П1 fr
(6)
"И
E = —in 1 JE J 1i,
-и л Я = H J 1i,
где введены следующие операторы:
E1 J a
= VxVx J J a (Г) G1 (г, V) ds',
1
H J 1i = k1 V х J J 1i(г')G1(г, г')ds',
G1 =
exp (—ik1 R)
D 4
R = г — г
(7)
(8)
(9)
(10)
Поле внутри кирального слоя, покрывающего тело, имеет вид
2
->2
E = E + E , Я = in 2 (E — E ),
(11)
где
E ± Jn = V х V х
J Jn(г)G±(г, г')ds', (13)
±
Н Jn = k ±V х
J Jn(г)G±(г, г')ds'. (14)
£7 uZb
Здесь
Jn ( г-) =
J1« (г'), J 2 ( г'),
г е £1«,
г е £2.
где П1 и и2 - внешние нормали к поверхностям ¿1 и £2. Кроме того, вторичное поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:
Функции 0± получаются из формулы (10) в результате замены к1 на к+ или к-. В этих формулах Хи, Х1е и Х2 - вспомогательные поверхности вращения, причем Хи и Х2 расположены внутри поверхностей и £2 соответственно, а Х1е - снаружи
поверхности (см. рис. 1). / 1;, /1 е, и /2 - неизвестные токи, распределенные на поверхностях
Хи, Х1е и Х2. Нетрудно проверить, что поля Е и
Е в виде (12) удовлетворяют известным уравнениям [10]
V х E = ±k±E
(15)
2. ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИИ
Перейдем к решению поставленной задачи при помощи ММДИ. Запишем рассеянное поле вне области, занимаемой слоистым телом, в виде
для киральной среды. Для выбора вспомогательных поверхностей, являющихся носителями неизвестных токов, удобно перейти к сферическим координатам. Обозначим г = гр(6) уравнения поверхностей 8р (р = 1, 2) в сферической системе координат. Тогда в параметрической форме уравнения поверхностей Хи, Х1е и Х2 примут вид [5-7]
E = —iП2(E" ± Н )Jn, (12)
х = р p sin ap cos ф, y = p p sin ap sin ф, z = p p cos ap, где для поверхностей £1¿, £1g
P p = ISI, ap = ^g^
S( t) = г1( t ± i 5p) exp (it + 5p), p = 1i, 1e, и для поверхности £2
p2 = ISI, a2 = arg S, S( t) = г2 (t + i 82) exp (it — 82).
В формулах (17), (18) t е [0, n], 8p - положительный параметр. Если 8p = 0, то переменная S е C, где C - контур на комплексной плоскости S, соответствующий контуру осевого сечения данной поверхности и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать 8p, то контур C будет сжиматься или увеличиваться в зависимости от знака, стоящего перед этой величиной. В частности, в формуле (17)
(16)
(17)
(18)
г
оо
« 1
all = 2 х
kicos 6 cos 6 ' Sqm + sin 6 sin 6 ' Pm) -
aq2 = 1 х
Эг Эг
(25)
в случае выбора верхних знаков и в формуле (18) через которые выражаются гармоники волновых контур будет сжиматься (для поверхностей Еи, Х2). полей внутри и вне кирального покрытия. Эле-В результате такой деформации получим контур, менты этих матриц имеют следующий вид: который может быть выбран в качестве контура осевого сечения вспомогательной поверхности 2p. Заметим, что значения параметра 5p для всех трех поверхностей будут различные и определяются из условия охвата вспомогательными поверхно- х стями особенностей продолжения волнового поля внутрь или вне соответствующей поверхности тела [1-7].
Получим систему интегральных уравнений для поставленной задачи. Как видно из формул (7)-(14), волновые поля в средах определяются при х помощи двух операторов:
ki-cos 6 sin6'Sqm + sin6 cos 6'Pm) - -
1 Э2 S
2 о q
(26)
A qJ = VxVx J J ( г ) Gq ( г, г ' ) ds ', (19)
= kqVxJJ(Г')Gq(Г, Г')ds', (20)
в qJ
где
exp(-ikqR ) i» b| -q-— R = |г- г I, q = 1, +, -. (21)
G =
q 4nkqR
В формулах (19), (20) для упрощения записи мы опустили индексы у токов и вспомогательных поверхностей. Данные формулы задают матричные функции Грина "электрического" и "магнитного" типов. Разложив неизвестные токи в ряды Фурье:
г-, ->m
J(t, ф') = X J (t)exp(шф'),
(22)
нетрудно получить представление матричных функций Грина в виде
A qJ
= X I JAmq(T, 6, p(t), a(t)) Jm(t)h(t)dt
m = V о
x exp(шф),
^ /-П N
BBqJ = XI Jвm(г, 6, p(t), a(t)) Jm(t)h(t)dt
m = V о ^
x exp(шф), q = 1, +, -.
(23)
(24)
Здесь А" (г, 0, г', 9') и Б^ (г, 9, г', 9') - матрицы с
элементами ||а^||, \\blW , г,] = 1, 2, 3, г' = р(0, 0' = = а(0 - параметрические уравнения соответствующей вспомогательной поверхности. Величина
Н(г) = р8та7р2а2 + р2, где точка означает дифференцирование по параметру г. Таким образом,
Ат ь т ь т пт пт пт
1 , А+ , А_ , Б1 , Б+ , Б_ ,
qi
a13 = 2
kq sin 6 Pm +
m
г дгЭ6'.
э sm-
-'sin6' д}
ah = - x
k„(-sin 6 cos 6 ' Sqm + cos 6 sin 6' P+m) -
a22 = 2 x
1 э2 s
2q
(27)
(28)
-Э6Эг '.
k„(sin6 sin6'Sm + cos 6 cos 6'Pm) -
1 Э2 s
2q
q i
a23 = 2
^cos 6 Pm +
m
гг' Э6Э6'.
э sm-
q -i
a31 = 2
гг' sin6' Э6.
э sq-
,2 . Alri- m
kq sin 6 Pm + —г-т;-т-г
q m г sin 6 дг
q -i
a32 = 2
a33 =
7 2 А, Г,- m dSm
qcos 6Pm + ^7^616
2
,2 P+ m q m гг'sin6sin6''
bq1 =
ikq
2 г sin 6
x
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34) .Э Ph
sin6cos6'mSm - Dmcos6sin6' - sin6sin6
o6
bq = ikq
b12 = 2™П6
x
(35)
x
sin6 sin6'mSqm + Dm cos 6 cos 6 ' + sin 6 cos 6 '
dPm Э6
b?3 =
kq
2 г sin 6
vdK Э6
sin 6 - Dm cos 6
(36)
2
x
x
m = -=<>
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ b21 _ 2rsin б Х
(37) .д PZi
cos б cos б'mSm + Dm sin б sin б' + r sin б sin б'
д r
bl2 _
ikq
2 r sin б
-cos б sin6'iS1 +
+ д Pm-\
+ D+m sin б cos б' + r sin б cos б '--r-m
д r
b¡3 _ ^ 23 2 r
д pm
D - r -Dm rд r
hq _ -q
h3i _ o
-cos б'Г^ sin б + 1 cos б дr r дб
д P+ i д P+
sin б 'I V1 cos б -i^ sin б| -дr r дб
(38)
(39)
(40)
l2 _ £ |JEl>, б, t)Tu(t)hie(t)dt +
m _ \ o
mm
+ I Em(r, б, t) J2 (t)h2(t)dt
exp (шф),
2m
Я _ £ l|H>, б, t) J1 e(t)hie(t)dt +
m _ V o
mm
+ I h1(r, б, t) J2 (t)h2(t)dt
exp (шф).
(47)
(48)
В соответствии с формулами (7)-(9), (11)—(14) и (19), (20), (23), (24) имеем равенства
Em(r, б, t) _ -iniAm(r, б, pii(t), aii(t)), (49)
Hi(r, б, t) _ b1(r, б, pii(t),aii(t)), (50)
hq2 _ |
д P+ i д P+
cos б 'IV1 cos б -i-^ sin б| + дr r дб
+ sin б' |^sin б + "^-t^-cos б дr r дб
h^ - —q
h33
ikq
_2
2
д Pm б i д Pm . б
-=r—cos б----""T- sin б
. дr r дб
где
2п
q _ i г exp (- ikqR - imy)
2П J kqR
(41)
Eie(r, б, t) _ -in2(A+ (r, б, Pie(t),aie(t)) + + Bl(r, б, Pie(t), aie(t)) + Am(r, б, Pie(t), aie(t)) - (51) - Bm( r, б, Pie (t), aie( t))) ,
S_
m
Hle( r, б, t) _ A1( r, б, Pie(t),aie( t)) + (42) + Bl(r, б, Pie(t), aie(t)) - Am(r, б, Pie(t), aie(t)) + (52) + Bm ( r, б, pie (t), aie (t)) .
Матрицы Em и Hm получаются из формул (51) и (52) в результате замены индекса "1e" на "2". Неиз-dy, y _ ф - ф', (43) вестные гармоники токов представим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.