ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1579-1585
УДК 519.634
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ РАЗРЫВА В ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ И ТРЕХТЕМПЕРАТУРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
© 2015 г. Н. Я. Моисеев, Е. А. Шестаков
(456770 Снежинск, ул. Васильева, 13, РОСАТОМ ФГУП РФЯЦ-ВНИИТФ) e-mail: nyamoiseyev@vniitf.ru Поступила в редакцию 03.09.2014 г.
Переработанный вариант 19.02.2015 г.
Представлены алгоритмы приближенного и точного решения задачи о распаде произвольного разрыва в двухтемпературной и трехтемпературной газовой динамике. Численные методы построены без конструирования общего уравнения состояния смеси и опираются на решения этой задачи в однотемпературной газовой динамике. Библ. 11. Табл. 1.
Ключевые слова: численный метод Годунова, задача о распаде разрыва в двухтемпературной и трехтемпературной газовой динамике.
DOI: 10.7868/S0044466915090124
1. ВВЕДЕНИЕ
Метод Годунова (см. [1]) является одним из широко распространенных методов численного решения задач механики сплошной среды. Важной составной частью метода является использование решений задачи о распаде произвольного разрыва, возникающего на границах двух соседних ячеек. Эти решения могут быть как приближенными, так и точными (см. [2], [3]). К настоящему времени накоплен большой опыт численного решения задач этим методом, в частности в обычной газовой динамике.
В [4]—[6] исследованы вопросы обобщения метода Годунова для моделирования процессов в микромишенях при экстремальных условиях сжатия и нагрева. Среда (плазма) описывается как газ с едиными плотностью и скоростью частиц. Такую модель называют одножидкостной. Она может быть однотемпературной, двухтемпературной или трехтемпературной, когда температуры всех частиц различаются между собой. Численные решения находятся методом расщепления по физическим процессам. Одним из таких процессов является газодинамический процесс, который описывается системой дифференциальных уравнений двухтемпературной или трехтемпературной газовой динамики. Решения уравнений находятся по разностной схеме методом Годунова. Для решения задачи Римана конструируется обобщенное двучленное уравнение состояния смеси. После этого решение находится известными методами так же, как и в обычной газовой динамике (см. [3], [7]). Такой подход позволил сохранить идейную и алгоритмическую основу построения разностных схем и воспользоваться имеющимися методическими и программными наработками по решению задач обычной газовой динамики. Однако процедура решения задачи о распаде разрыва с таким уравнением состояния оказывается достаточно сложной и трудоемкой (см. [5]).
В настоящей статье рассматриваются подходы к численному решению задачи о распаде разрыва в двухтемпературной или трехтемпературной газовой динамике на основе решения этой задачи в однотемпературной газовой динамике без конструирования уравнения состояния смеси.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим среду (плазму), состоящую из трех видов частиц: ионов, электронов и фотонов, которые ответственны за перенос энергии излучения и обозначаются индексами i, e, f соответственно. Среду рассматриваем как газ (или "жидкость") с единой плотностью частиц р и общим вектором скорости u. Предполагается, что температуры Tk, давления pk и удельные внутренние
1579
энергии бк частиц различаются между собой в каждой точке пространства (х) и времени I. Здесь и далее к = ;, е, /.
Систему дифференциальных уравнений движения на газодинамическом этапе в случае плоской симметрии в трехтемпературном приближении в соответствии с [4] запишем в виде
—Р + рди = о,
— дх
йи + 1 др = о, (2.1)
— рдх
—ек , „Г 1 ди
+ Рк I -— 1 = о.
— ф дх)
Здесь — = — + и—— субстанциональная производная, х — независимые переменные по време-
— д? дх
ни и по пространству соответственно, р — удельная плотность газа, и — скорость газа, рк, бк — давления и удельные внутренние энергии ионов, электронов и фотонов соответственно, р = р{ + ре + р^ — суммарное давление. Величины без индексов описывают параметры газа. Система уравнений (2.1) замыкается уравнениями состояния рк = рк (р, бк) для каждого компонента. С учетом уравнений состояния уравнения для энергий запишем в виде (см. [8])
+ ди = о, а2к = рк +(е к) ^, (2.2)
— рдх (бк )р
где бу, 6р — частные производные по V ир, V = 1/р — удельный объем газа. Просуммировав уравнения (2.2), получим уравнение
—р + а2! ди = о — рдх
„2 2 2 2 , где а = ai + ае + af
связаны формулой
для давления в газе, где (к = ак + ае2 + а^. Давление и внутренняя энергия излучения (фотонов)
рб = 3рг. (2.3) Из (2.3) можно получить уравнение состояния для излучения в форме совершенного газа
р/ = (У/ - 1)Ре/, Уf = 4/3. (2.4) Поэтому излучение можно считать газом с показателем адиабаты у ^ = 4/3.
В двухтемпературном приближении, когда плазма — это газ и излучение, вместо трех уравнений для энергий в (2.1) используются два уравнения:
й* + р Г1 ди ^ = о, — фдх)
/ . „Г1 ди
— ^ [рдх) ,
где р, б — давление и удельная внутренняя энергия газа соответственно. Если плазма — это газ ионов и электронов (см. [9]), то используются следующие уравнения:
^ + р; (I ди^ о,
— ф дх)
+ ре (1 диV о.
— ф дх)
При I = 0 в задаче о распаде произвольного разрыва параметры среды при х < 0 имеют индекс 1, а при х > 0 — индекс 2. Компоненты сред подчиняются своим уравнениям состояния, которые возьмем в форме двучленных уравнений:
е k =
_Pk + Y kPk
2 c0k
(yk - l)p Yk
(Pk = (Yk - 1)pek + CokP - YkPk)
(2.5)
0, Yf = 4/3. Среды раз-
где рк, ук, с0к — параметры среды. Согласно (2.4) для излучения рд = сдоделены перегородкой, которая в момент времени I = 0 мгновенно убирается. Требуется определить течение для I > 0.
Если уравнение состояния не двучленное, то его аппроксимируем двучленным. Параметры аппроксимирующего уравнения вычисляем по формулам
1 dp
Po
1 (p^P-
YV dp
г _dP бф
рдб УЧ др ) др рдб
которые были предложены А.В. Забродиным. Здесьр, р и е связаны заданным уравнением состояния.
Поскольку мы опираемся на исследования в [4], [5], то предварительно приведем основные уравнения из этих работ, которые потребуются для решения задачи о распаде разрыва. Автомодельная конфигурация, которая возникает при I > 0, такая же, как и в обычной газовой динамике. Анализ характеристического уравнения для системы (2.1) показал, что корни уравнения
X = и - С, X2 = и + С, Х3 = и
вещественны. Корень Х3 = и является трехкратным и отвечает траектории частиц. Здесь
-2 2 2 2 c = с + се + с f,
dPk + Pk dPk
dp p2 d&k
Для двучленных уравнений состояния c2k = уk (Pk + Pk)/р. Соотношения на трехкратной характеристике-траектории позволяют для каждого компонента среды ввести свои энтропийные функции
ст k = (Pk + P°k) /РY k.
Энтропия каждого компонента для гладких решений остается постоянной a k = const вдоль траектории (dx/dt) = u. Вдоль двух других характеристик (звуковых) (dx/dt) = u ± C выполнены соотношения
du ± dP = 0 Pc
соответственно. Просуммировав по всем к уравнения энергии в (2.1) и сложив со вторым уравнением, умноженным на и, получим уравнение изменения полной энергии газа
d (е + °.5u 2) + 1 д (Pu)
= 0,
Ei + 6, +6 f,
dt р дх
которое необходимо для расчета ударных волн (УВ). Формулы для УВ в соответствии с [5] запишем в виде
U - ui2 ± P-Pl2 = 0,
4,2
E1,2 S1,2
Г J_ Л __ f P + Кг 1
vP1,2 R1,2 J I 2 J
Л „ — «1,2
А,2 = u1,2 + —, р1,2
(2.6)
Здесь, как и в схеме С.К. Годунова, "большие" величины — это величины за фронтом волны, "малые" — перед фронтом. Индекс 1(2) и верхние (нижние) знаки отвечают левой (правой) УВ. Первые четыре формулы получены из условий Гюгонио. В силу аддитивной формы изменения суммарной энергии газа (четвертое уравнение) изменения энергий каждого компонента естественно записываются в такой же форме — это пятое уравнение. Ударные адиабаты компонентов с урав-
нениями состояния в форме (2.5) через общую величину плотности Я за фронтом УВ запишутся в виде
P =
= [(Yk + 1)R - (Yk - Op] + 2Yk (R -P)p1 R < Yk + 1 (2.7)
(Yk + 1)p- (Yk - 1)R P Yk -1
Если левая волна является волной разрежения (ВР), то выражения для вычисления давлений выписываются из условия сохранения энтропийных функций компонентов вдоль траектории в виде
Рк = (Рк + Р0- Л- (2.8)
Точное решение задачи о распаде произвольного разрыва для сложных уравнений состояния может быть получено каким-либо итерационным методом, например одним из методов, которые описаны в [2], [10]. Далее будем предполагать, что выполняется условие р{ < р2. Если условие не выполняется, то меняем индексы исходных параметров и знаки у скоростей. После решения задачи проводим обратную операцию.
3. ПОДХОД К ТОЧНОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ РАЗРЫВА В ДВУХТЕМПЕРАТУРНЫХ И ТРЕХТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕДАХ
Алгоритм решения задачи о распаде разрыва в двухтемпературной и трехтемпературной газовой динамике аналогичен алгоритму решения задачи в однотемпературной газовой динамике. Однако имеется особенность в случае реализации конфигурации с ВР. Поэтому вначале опишем эту особенность.
Пусть в результате распада разрыва образовалась конфигурация с двумя ВР. В этом случае для решения задачи привлекаются постоянные на соответствующих характеристиках
= u ± с(р)
at
инварианты Римана (см. [11])
р „
u ± ст(р) = const, ст(р) = f c^(p)dp,
Р
Р1,2
где знаку плюс (минус) соответствует индекс 1 (2). Из непрерывности скорости и давления на КР с учетом выражений (2.8) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными R1, R2:
Pi Р2
гфь р+ ГФЪ р = U1 j р j р
R1 R2
= u1 - u2
(Р + Ре + Рг \ = (Р + Ре + Рг) 2В обычной газовой динамике для газа с двучленным уравнением состояния интеграл удается проинтегрировать (см. [7], [9]). Этого сделать не удается в двухтемпературной и трехтемпературной газовой динамике. Однако интеграл можно вычислить приближенно через интегралы в од-нотемпературной газодинамике, если провести следующие преобразования. Умножив и разделив подынтегральную функцию на с, получим
JCdp = ^ JakCkdp,
a - -a k - - -
p ^lir fj p c
Yk (Pk + P°k)
1V
k=i,e, f Г
Yk (Pk + P0)
Предположим, что коэффициенты ак слабо изменяются вдоль соот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.