КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 2, с. 182-184
КРАТКИЕ ^^^^^^^^^^^^^^^^ СООБЩЕНИЯ
УДК 531.381
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЙ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ
© 2011 г. И. А. Галиуллин
Московский авиационный институт Поступила в редакцию 04.05.2010 г.
1. Исследование устойчивости симметричного твердого тела восходит к Э.Дж. Раусу [1], который независимо от французского ученого Турнера [2] и одновременно с ним обнаружил аналитическое решение уравнений движения тяжелого тела, соответствующее регулярной прецессии, и установил устойчивость этого движения по отношению к углу нутации 8. Проведенная им последовательность преобразований позже воспроизводилась Д.Р. Мер-киным [3], использовавшим ее для доказательства устойчивости по угловым скоростям прецессии и собственного вращения при условии, что их возмущения не нарушают многообразия первых интегралов, а также В.В. Румянцевым [4] — он применил известное замечание А.М. Ляпунова и снял указанное ограничение. Следует отметить, что независимо устойчивость регулярной прецессии тяжелого волчка доказал В.Н. Скимель [5], построив требуемую связку интегралов.
Существование регулярной прецессии волчка в ньтоновском силовом поле указывалось многими авторами, например, итальянском механиком Э. Бентсиком [6], соответствующие формулы следуют из общего утверждения шведского математика Х. Гюльдена [7] о том, что регулярная прецессия симметричного тела имеет место в любом осесим-метричном поле с (непрерывно дифференцируемой) силовой функцией U (0), при этом осью прецессии служит ось симметрии поля. Исследование устойчивости этого движения провел Скимель [8]; в качестве примера он выбрал следующее по степени сложности формулы центральное ньютоновское силовое поле и указал достаточное условие устойчивости. Другое достаточное устовие устойчивости получил В.Д. Иртегов [9], наконец, в работе автора [10] было дано описание множества параметров волчка и ньютоновского поля, отвечающих устойчивой и неустойчивой регулярной прецессии.
Среди обобщений задачи о движении тела выделяются те, что связаны с понятием гиростата — такой термин ввел английский математик А. Грей [11]. Эта система, состоящая из твердого тела и ротора, изучалась рядом ученых, а многие механики считают естественным рассматривать именно ее поведение, тогда как соответствующие движения абсолютно твердого тела следуют полагать частным случаем движения гиростата. Надо заметить, вместе с
тем, что с эвристическои точки зрения часто имеет место обратная ситуация. Например, в монографии [12] авторы сопоставляют решения уравнении движения для твердого тела и гиростата в поле сил тяжести и, в частности, указывают на существование регулярной прецессии симметричного тяжелого гиростата с осью ротора, совпадающей с осью его симметрии. Единственная возможность регулярной прецессии при таком расположения оси ротора в симметричном гиростате для произвольного осе-симметричного поля доказана в работе М.И. Джио-евой [13].
Следует отметить, что в современных исследованиях динамики твердого тела и динамики гиростата широко используются геометрические методы, развиваемые как в отечественной, так и в зарубежной литературе, отметим, в частности, фундаментальные работы [14—17]. Вместе с тем аналитические методы, восходящие к классическим исследованиям, позволяют получить существенные результаты качественного характера.
Здесь с использованием функций специального вида и правил дифференцирования для них исследуется устойчивость регулярной прецессии гиростата в ньютоновском поле сил.
2. Для получения выражения приведенной потенциальной энергии Ж(0) используется следующее выражение [11, 18] кинетической энергии гиростата
T = T0 + Ю- 0 + T',
(1)
где Т0 — кинетическая энергия гиростата, воспринимаемого как твердое тело и имеющая известный вид
T0 = (1/2) Га (ю2 sin2 0 + 02) + C ( cos 0 + ю)2
(А и С — экваториальный и осевой моменты инерции соответственно), ш — угловая скорость гиростата, ст — относительный кинетический момент ротора, направленный вдоль его оси и по величине равный ст = /' ю', где в свою очередь /' — осевой момент инерции ротора, а ю' — его относительная угловая скорость, наконец, Т' = (1/2)/ '(ю ')2 — ки-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЙ
183
нетическая энергия ротора, вычисленная для относительных скоростей.
Пусть вектор а в проекциях на главные оси гиростата имеет компоненты сть а2, а3, тогда в силу указанного выше расположения оси ротора первые две из них равны нулю. Если определить величину X по формуле ст3 = CX, то ю • а = Cr0X, так как в силу наличия циклической координаты ф имеет место интеграл C(®v cos 0 + юф) + ст3 = const = C(r0 + А,), — следовательно, выражение в скобках также постоянно, именно оно обозначено r0. Координата у также циклическая; если обозначить соответствующую постоянную через n, то система двух первых интегралов, воспринимаемая как система линейных уравнений относительно компонент угловой скорости, запишется в виде
(A sin2 9 + C cos2 9)<av + C cos 9юф = n - CX cos 9; cos 9®v + юф = r0.
Отсюда циклические скорости находятся как
ю
_ n - Cm cos Q
V _ л • 2 л '
A sin Q
ю(г
- '0 m _ r0 + X,
n - Cm cos Q , r0--J-cos (
A sin
(2)
Получение формулы для приведенной потенциальной энергии производится по известной схеме, изложенной, например, в [15], где рассматривается тяжелое симметричное тело. Кинетическая энергия (1) после подстановки выражений (2) приобретает вид
Т* = 1 А02 + 1(n - Cm cos б)2 + 2 2 A sin2 0
+ 1 Cr02 + Cr0X +1J' ю'2. 2 2
По той же схеме определяется структура функции Рауса
R = Т* - лю,„ - Cm(ü.„ = 1А02 +
v ф 2
2
+ (n - Cm c2os 0) +1 Cr02 + A sin 0 2
, ^Л , 1 т, .2 n - CM cos( + Ckr0 +-J ю - n-
(3)
2
A sin2 0
- Cm
n - Cm cos 0„ * r--í-cos 0
A sin2 0
или, после группировки членов:
d 1 1(n - Cm cos 0) , . R -- A0 —1-;-— + const,
2 2 A sin2 0
где через "const" обозначены несущественные постоянные в (3).
Таким образом, для произвольного вида силовой функции и (0) выражение для приведенной потенциальной энергии имеет ту же структуру, что и в [8]:
W(0) = -U(0) + (1/2) A-\n - Cm cos 0)
2 2r
cosec 0
Регулярная прецессия гиростата, равно как и твердого тела, представляет собой стационарное движение, поэтому исследование ее устойчивости (по отношению к углу нутации и величинам угловых скоростей — ниже это не будет оговариваться) опирается на теорему Рауса. Если 00 — значение угла нутации, соответствующее регулярной прецессии, т. е. корень уравнения
W '(9) = 0, (4)
то в предположении, что функция U (0) достаточно гладкая вне некоторой окрестности значений 0 = 0; п, согласно этой теореме достаточно исследовать функцию W (0) на экстремум в точке 00.
3. В качестве примера рассмотрим симметричный гиростат в центральном ньютоновском поле с потенциалом U = m0gz0 cos 0 + (3g/2R)(C - A) cos2 0, где
m0 — масса гиростата, R — расстояние от закрепленной точки до притягивающего центра, большое по сравнению с размерами гиростата, g — ускорение силы тяготения на этом расстоянии, z0 — координата центра масс по оси симметрии.
Достаточное условие устойчивости, имеющее вид W "(00) > 0, может быть с учетом равенства (4) записано следующим образом
[A®2 + ц0(C - A)]sin2 00 + + A(Cm - 2Aae cos 00)2 > 0,
где ц0 = 3gR_1. Оно было впервые приведено в [8], где был также указан случай его выполнимости: C > A, т.е. эллипсоид инерции сжатый.
Следуя [10], вводятся функции (отличающиеся смыслом величины m )
a(0) = n - Cm cos 0, b(0) = Cm - n cos 0,
c(0) = Cmb(0) + na(0), w(0) = 1 a 2(0)2 0
и формулы дифференцирования: a' (0) = Cm sin 0, b' (0) = n sin 0, c' (0), Cmn sin 0, (ab)' (0) = c(0) sin 0, w '(0) = a(0)b(0) c osec30, w " (0) = [c(0) sin2 0 - 3a(0)b(0) cos 0] co sec40,
w'' ' (0) = [2Cmn sin4 0 + 3a(0)b(0) x
x (sin2 0 + 4cos2 0) - 5c(0)sin2 0cos0]50, w ""(0) = [c(0)(8sin2 0 + 27 cos2 0)sin2 0 -- 12Cmnsin4 0cos 0 - 3a(0)b(0) x x (11sin2 0 + 20cos2 0)cos 0]cos ec60.
КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 49 № 2
2011
184
ГАЛИУЛЛИН
Очевидно, Ж (9) = -Щ9) + А _1Ц0). Если Ж "(90) < 0, то регулярная прецессия неустойчива.
Пусть теперь Ж'' (00) = 0, — случай возможный лишь при А > С. После исключения из этого неравенства члена ц0(С - А) по формулам (5) значение третьей производной Ж '"(0) находится в виде
6(A sin 00) 1 x
х [A®e sin2 0O - (Cm - 2A®e cos 0O) cos 0O] x (6) x (Cm - 2A®e cos 0O).
Если это выражение отлично от нуля, то регулярная прецессия неустойчива (в частности, при 0 0 = п/2).
Наконец, рассматривается случай W "'(0O) = 0. С использованием формул (5) и последующим исключением ц O(C - A) записывается выражение для четвертой производной:
W''' ' (0о) = (12A sin2 0O)-1 {(Cm - 2A®e cos 0O)2 + + A[Awe sin2 0O - (Cm - 2Awe cos 0O)cos 0O] x X ®e sin2 0O} .
Для двух значений m, обращающих в нуль квадратную и круглую скобки в (6), выполняются соответственно
W""(e0) = 12A®etg2e0 > 0
и
W''' ' (0O) = 12A®2sin2 0O > O.
Следовательно, регулярная прецессия в этом случае устойчива.
Итак, получен следующий результат. В центральном ньютоновском поле регулярная прецессия симметричного гиростата, закрепленного на оси симметрии, является (условно) устойчивой по переменным ®e, ю,. и 0, когда эллипсоид инерции сжатый: C > A, — а положительный параметр ц O произволен, или когда — вытянутый: A > C, — и при этом либо ц O < ц*, где
у* = (A - C)-1 A®2 +
+ (A - C)A sin2 0O-1(Cm - 2A® cos 0O)2,
либо Цо = ц*, а параметры движения связаны соотношением
©Г = (2х - 1)©e cos 00
или
ю.2) = ю® + хюе sin 0otg0o,
где х = A¡C > 1.
В остальных случаях регулярная прецессия неустойчива.
СПИСОК ЛИTЕРATУРЫ
1. Routh E.J. An Elementary Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. Cambridge: Macmillan. 1860. 336 p. Рус. пер.: Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. M.: Наука, 1983. T. 2.
2. Tournaire. Mémoire sur la rotation des corps pesant // C. r. Acad. sci. P. 1860. T. 50. P. 476-481.
3. МеркинД.Р. Гироскопические системы. M.: ГИ^Л, 1956.
4. Румянцев B.B. Об устойчивости стационарных движений спутников. (Mатематические мет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.