ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 152-165
= СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.78
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ОГРАНИЧЕННЫМ И ИМПУЛЬСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ*
© 2007 г. А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков
Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т
Поступила в редакцию 27.03.06 г.
Рассматривается задача оптимального разворота космического аппарата как твердого тела с одной осью симметрии при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости с ограничением на модуль управляющего воздействия в кватернионной постановке. В качестве критерия оптимальности используется функционал, который объединяет время и интегральную величину модуля вектора управления, затраченных на разворот космического аппарата. С помощью замен переменных исходная задача оптимального разворота осесимметричного космического аппарата упрощается (в смысле динамических уравнений Эйлера) до задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс. Представлено два варианта решения задачи оптимального управления. Для первого варианта на основании принципа максимума Л.С. Понтря-гина получаются выражения оптимального управления и сопряженной системы уравнений. Для второго варианта, используя предельный переход, в котором верхнее значение величины управляющего воздействия неограниченно возрастает, строится аналитическое решение импульсной задачи оптимального разворота космического аппарата, реализующее двухимпульсную схему управления. Описывается оригинальная процедура численного решения непрерывной задачи оптимального разворота космического аппарата с ограниченным управлением, приводятся примеры расчетов. Дается численная апробация предлагаемого аналитического алгоритма решения импульсной задачи оптимального разворота космического аппарата.
Введение. Построение управления угловым движением космического аппарата (КА) как твердого тела в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и построения управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача построения программ углового движения и управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено (в том числе и в случае осевой симметрии, не говоря уже о произвольной динамической конфигурации КА); известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1-3]). Поэтому в общем приходится рассчитывать только на приближенное численное решение задачи. Между тем, как отмечено многими авторами [3], аналитическое решение задачи оптимального разворота в замкнутой форме, если бы оно было найдено, имело бы большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты < 02-01-00988, 05-01-00347).
законы программного управления и изменения оптимальной траектории.
В литературе [1-4] под задачей оптимального разворота имеют ввиду классическую задачу оптимального управления понтрягинского типа, в которой функция управления полагается кусочно-непрерывной. В действительности же управление КА может осуществляться импульсными воздействиями (например, посредством импульсных газовых двигателей) [5]. В этом случае траектория КА "склеивается" из участков более простого движения. Возможность нахождения аналитического решения задачи управления КА при этом значительно возрастает. Построение импульсных оптимальных управлений получило свое широкое развитие при решении задач оптимальных перелетов КА [6]. В подобных задачах траектория КА "склеивается" из участков кепле-рова движения; по аналогии с этим в задаче импульсного оптимального разворота КА с одной осью симметрии траектория будет представлять собой совокупность прецессирующих движений (в терминологии [1, 2]).
В статье решается задача оптимального разворота осесимметричного КА с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости. Постановка исходной непрерывной
задачи имеет традиционную форму, управление положено кусочно-непрерывной функцией. Задача решается в три этапа. На первом этапе с помощью замен переменных исходная задача оптимального разворота осесимметричного космического аппарата упрощается (в смысле динамических уравнений Эйлера) до задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс. На втором этапе на основании принципа максимума Л. С. Понтрягина получаются выражения для оптимального управления и сопряженной системы уравнений для исходной непрерывной задачи. На третьем этапе, используя предельный переход, в котором верхнее значение величины управляющего момента неограниченно возрастает, иследуется задача импульсного оптимального разворота КА. Описывается оригинальная процедура численного решения непрерывной задачи оптимального разворота КА с ограниченным управлением, приводятся примеры расчетов. Дается численная апробация предлагаемого аналитического алгоритма решения импульсной задачи оптимального разворота КА. Следует отметить, что предлагаемое в статье решение задачи оптимального разворота КА с одной осью симметрии при произвольных граничных условиях является обобщением результатов, полученных ранее для сферически симметричного КА [7].
1. Постановка непрерывной задачи. Движение КА с одной осью симметрии вокруг центра масс описывается уравнениями [4]
21' = Ь ° Я, (1.1)
I 1м>'1 = М1,
/2^2= М.2- (II- 12 Яз, (1.2)
_ /зя3 = Мз- (11- /2)^2,
где Ь (0 = ¡0(0 + ¡^ 11 + /2(012 + ¡3(01 з (кватернион поворота КА), Я (О = 11 + я2(0 12 + м>3({) 13 (вектор угловой скорости КА) - фазовые координаты, М (0 = [Мх(0, М2(0, М3(0]т - (вектор внешнего момента, действующего на КА) - управление. Фазовые координаты и управление подчинены требованиям задачи понтрягинского типа (Ь (0, Я (0 - непрерывные функции, М (0 - кусочно-непрерывная функция); кватернион Ь (0 нормирован, т.е.
Замена переменных ^(0
= ll + l\ + l\
+ l3 = 1; i 1, i 2, i 3 - орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), символ "•" - кватернионное умножение, "°" - знак производной. В динамических уравнениях Эйлера (1.2) для твердого тела (КА) с одной осью симметрии (направленной в нашем
случае вдоль орта i 1 связанной с КА системы координат) Ix, I2 - главные центральные моменты инерции твердого тела, I2, I2 = const > 0.
На модуль вектора управления наложено ограничение
M ^Mmax. (1.3)
Заданы произвольные граничные условия по угловому положению
L (0) = Lo, L (T) = Lt (1.4)
и угловой скорости КА
w (0) = w0, w (T) = wT. (1.5)
Требуется определить оптимальное управление M°nT(t) системой (1.1), (1.2) при ограничении на управление (1.3) и граничных условиях (1.4), (1.5), доставляющее минимум функционалу
J = |(а, + а
M) dt,
(1.6)
где ах, а2 = const > 0. Время T не задано.
2. Замены переменных. С целью упрощения (в смысле динамических уравнений Эйлера) задачи
(1.1)—(1.6) осуществим замены переменных, сводящие исходную задачу оптимального разворота осесимметричного КА к задаче оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс. Для этого перепишем уравнения
(1.2) в виде
w, = m,
w
= b1ml - bw1w3, w3 = b1m3 - bw1w2,
где mx = Mx/Ix, m2 = Mj/Д, m3 = M3/I1, b = (Ix - I2)/I2, bx = I1/I2.
w
w
w3
bl1
0
i t
0 cos
0 sin
0 t
0
t
ьь/Jm(т)dT -sin bb,1 (т)dT
/ V
\
bb
1|ю1 (т) dT
cos
t
-1
bb1
|ю1(т) dT
Ml
m3
(2.1)
T
0
где щ = щ(0, к = 1, 3 - новые переменные, преобразуют уравнения (1.2) следующим образом:
ю1 ю2 ю3
bi
0 b1cos
0
i t
0 -b, sin
bb11Jro1 (t) dt
0
< t
bb,1Jw^t) dt
0
t
b1 sin
0 t
b1 cos
или в кватернионнои записи
ю^ = B ° b,m ° B,
B(t) = expj iib,Jw^t)dT/2 I,
сопряжение кватерниона, а
(2.3)
(2.4)
кватер-
, -i
2 L = L ° B ° ю ° B
(2.5)
ю^ = в ° b1m ° в,
V T
в(t) = expj i 1 b2j Jmi(5d
■ w0
(2.6)
dT/2 k (2.7)
00
у
bb11Jro1 (t) dt
0 t
bb,1 Jw,(t) dt
v
m1
m
m3
(2.2)
где "
нионная экспонента, Ь2 = ЬЬ-1 = 1 - /2//1 = 1 - Ь- .
Отметим, что | В (0| = 1,
Кватернионное уравнение углового движения КА (1.1) при этом запишется так
|и| = |в ° Ь1 т ° в = Ь1 \т\=
= ь 11 т\ = Ь1|м| /11 < мтах//2.
Исходя из (2.5), осуществим еще одну замену
I = Л ° В, (2.9)
где Л = Л (0 - новая кватернионная переменная, описывающая угловое положение КА.
С учетом всех указанных выше замен переменных и вспомогательного обозначения
0( t) = bJro^T) dT,
(2.10)
где кватернион В определяется (2.4).
С учетом первого соотношения системы (2.2) и начального условия по угловой скорости КА (1.5) уравнение (2.3) можно переписать следующим образом
задача оптимального разворота КА (1.1)-(1.6) примет вид
2 Л = Л ° ю,
ю = U,
0 = b2 ю1,
(2.11) (2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Нелинейное выражение, стоящее в правой части (2.6) и зависящее только от переменных тк(0,
к = 1, 3 , примем за новое управление и (0
и = в ° Ьт ° в, (2.8)
в котором в определяется из (2.7). Отметим, что их(0 = Ь1т1(() и поэтому в замене переменных (2.8) всегда можно совершить обратный ход: по новой векторной переменной и (0 (когда она будет известна) восстановить управление т (0 задачи (1.1)-(1.6).
Ограничение на модуль нового управления строится так
U ^ Mmax/12, 0( 0) = 0, ю( 0) = Ю0 = W0,
ю(Т) = юТ = B(0) ° (b1 wTJ 1 + wTJ2 + wTJ3) ° B(0), Л(0) = Л0 = L0, Л(Т) = Лт = Lt ° B(0), (2.17)
(2.16)
J = J(a1 + a2| w|) dt-
min,
(2.18)
В этоИ задаче искомыми величинами является
йопт, Г™, Лопт, юопт, а B (Т) = exp{ i 1 0/2}, b2 = 1 - /2//1, ab a2 = const > 0.
Как видно, векторное дифференциальное уравнение (2.12) имеет структуру, соответствующую динамическим уравнениям ЭИлера для сфериче-
0
Т
0
ски-симметричного твердого тела. Это существенно облегчает решение задачи. Далее будем рассм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.