МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 629.78
© 2014 г. А. В. МОЛОДЕНКОВ, Я. Г. САПУНКОВ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ
КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
Рассматривается задача оптимального по быстродействию и в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела со сферическим распределением масс при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела. В классе обобщенных конических движений произведена модификация задачи оптимального разворота, которая позволила получить аналитические решения для уравнений движения, содержащие произвольные постоянные. Тем самым решение краевой задачи оптимального управления сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений относительно постоянных. Приводятся численные примеры, показывающие близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота твердого тела.
Ключевые слова: твердое тело, космический аппарат, оптимальный разворот, произвольные граничные условия.
1. Введение. Построение управления угловым движением твердого тела в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и построения управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Точное аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела не найдено даже в случае сферической симметрии твердого тела, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1—10]), при этом для сферически симметричного твердого тела эти решения получены в классе плоских эйлеровых разворотов или в классе конических движений. Поэтому аналитическое решение задачи оптимального разворота твердого тела в замкнутой форме при произвольных граничных условиях даже при ее модификации имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту космических аппаратов, рассматриваемых как твердое тело, готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.
В статье предлагается аналитическое решение модифицированной задачи оптимального по быстродействию и в смысле минимума энергетических затрат разворота сферически симметричного твердого тела при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела. Решение задачи получено в классе обобщенных конических движений, вектор оптимальной угловой скорости
твердого тела переменен по модулю и направлению. Приводятся численные примеры, показывающие близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота твердого тела. Следует отметить, что для известных случаев аналитической разрешимости традиционной задачи оптимального разворота сферически симметричного твердого тела (плоский разворот, конические движения) решения традиционной и модифицированной задач полностью совпадают. Статья продолжает исследования, начатые в [9, 10].
2. Постановка традиционной задачи. Движение сферически симметричного твердого тела вокруг центра масс описывается уравнениями [1]:
2Л' = Л о ю (2.1)
ю * = М (2.2)
где л(г) = Х о(0 + Х1(г)11 + Х 2(г)12 + Х 3(г)13 — кватернион поворота твердого тела, ю(г) = Ю1(г)11 + Ю2(г)12 + ю3(г)13 — вектор угловой скорости (фазовые координаты),
М(0 = [М1(), М2(г), М3(г)] — управление (отношение управляющего момента к центральному моменту инерции тела). Они подчинены известным требованиям (л(г), ю(г) — непрерывные функции, М(?) — кусочно-непрерывная функция); кватернион л(г)
нормирован, т.е. ||л|| = X02 + Х12 + X22 + Х32 = 1; 11,12 ,13 — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), символ ° означает кватернионное умножение. В динамических уравнениях Эйлера для сферически симметричного твердого тела (2.2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным. На модуль вектора управляющего воздействия может быть наложено ограничение
М ^ Мтах (2.3)
Заданы произвольные граничные условия по угловому положению
л(0) = л о, л(Т) = лт (2.4)
и угловой скорости твердого тела
ю (0) = ю0, ю (Т) = ют (2.5)
Требуется определить оптимальное управление М°р1(г) системой (2.1), (2.2) при граничных условиях (2.4), (2.5), доставляющее минимум функционалу (задача быстродействия):
J = T (2.6)
или (задача на минимум энергозатрат, время Т произвольно и зафиксировано):
т
I = | (М2 + М22 + М32)Л (2.7)
0
где в случае задачи быстродействия учитывается ограничение (2.3).
Такие задачи будем называть задачами оптимального разворота твердого тела в традиционной постановке.
3. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных в задаче быстродействия к безразмерным по формулам
М = ММтУх2, Ш = ШМтУх2, 7 = (М^
а в задаче на минимум энергозатрат по формулам
Т = г/ т, и = и т, м = м т2, I = 1Т3
при этом в каждой из задач вид выражений (2.1), (2.2), (2.4)—(2.6) не изменится, ограничение (2.3) запишется как |M| < 1, а функционал (2.7) примет вид
1
J = J (M1 + M2 + M32)dt (3.1)
о
Далее будем иметь в виду постановки задач в безразмерных переменных и верхние черты у них будут опущены.
4. Модифицированная задача оптимального разворота твердого тела. Движение твердого тела со сферическим распределением масс по-прежнему описывается соотношениями (2.1), (2.2), (2.4), (2.5).
Одной из основных проблем при построении аналитического решения в задаче оптимального разворота твердого тела является разрешимость классической задачи Дарбу — аналитического определения A(t) из уравнения (2.1) при известных Л0, ra(t).
Для кватернионного дифференциального уравнения (2.1), при условии, что вектор угловой скорости ra(t) задается выражением
ffl(t) = iidf sin g(t) + i2df cos g(t) + i3 dg (4.1)
dt dt dt
в котором f(t) и g(() — произвольные функции времени, известно решение [11], удовлетворяющее начальному условию (2.4):
л(0 = л о о exp{-Í3 g(0)/2} о exp(-i2f (0)/2}exp(i2f (t)/2} o exp{Í3 g(t)/2} (4.2)
где символ exp{.} обозначает кватернионную экспоненту [1]. Решение (4.1), (4.2) включает в себя известные решения задачи, когда вектор угловой скорости твердого тела постоянен по направлению или описывает в пространстве круговой конус [1, 10].
Заметим [11], что задачу Дарбу с произвольно заданным вектором угловой скорости ra(t) с помощью замен переменных можно свести к решению уравнения типа (2.1) с угловой скоростью
w(t) = - ( ii df sin g(t) + i2 df cos g(t) + i3 dg \ dt dt dt
отличающейся от (4.1) только знаком. При этом явное аналитическое решение этой задачи, как и при произвольном векторе ra(t), не известно.
Выражение (4.1) и решение (4.2) можно обобщить, добавив поворот на постоянный угол вокруг некоторой оси. Такой поворот задается с помощью кватерниона K, ||к|| = 1. Тогда вектор ю и кватернион л будут определяться соотношениями
ю = к° (i, df sing(t) + i2 df cosg(t) + i3^S) о к (4.3)
Г dt dt dt!
л = ло о к о exp{-i3g(0)/2} о exp{i2(f (t) - f (0))/2} o expfeg(t)/2} о к (4.4)
где символ ~ означает сопряжение кватерниона.
Будем рассматривать вторые производные от функций f и g в качестве управляющих параметров. Тогда если ввести обозначения
df/dt = fi, dg/dt = gi, (4.5)
то можно составить систему дифференциальных уравнений, описывающих управляемую систему
/ = /1, ? = *1, / = «1, ^ = »2 (4-6)
аг аг аг аг
гдеf,/[, g, g1 — фазовые координаты, u1, u2 — управляющие параметры.
Ограничимся случаем, когда кватернион K представляется в виде произведения
К = К2 о К!, К = ехр{11а1/2}, K2 = ехр^/2}, (4.7)
где ар а2 — некоторые постоянные. Отметим, что кватернионы ^ и ^ определяют поворот вектора т (4.1) вокруг осей 12. Поворот вокруг оси 13 уже включен в формулу (4.3), если учесть, что в функцию g(t) входит аддитивная постоянная. Сопряженный кватернион к будет представляться так:
к = к1 о к2, к = ехр{-11а1/2}, 1 = ехр{-12а2/2} (4.8)
Условия того, что выражения для ю, л (4.3), (4.4) удовлетворяют граничным условиям (2.4), (2.5) с учетом (4.7), (4.8) запишутся в виде:
К1 ° К2 ° (11/1(0)МПg(0) + 12/1(0)008^0) + 13&(0)) о К2 ° К1 = Ш0 (4.9)
к 1 о к2 о (1ь/1(т> 81П g(T) + 12/1(т)оо8 g(T) + 13gl(T)) о к2 о к1 = шт (4.10)
Л0 о К! о К2 о exp{-i3g(0)/2} о exp{i2(/(T) - /(0))/2| о о exp{i3g(T)/2} о К2 о Кi = ЛT
На управляющие параметры u1, u2 может быть наложено ограничение
(4.11)
U2 + «22 < "Lx (4.12)
Тогда для управляемой системы (4.6) можно сформулировать следующие задачи оптимального управления.
1. Требуется найти оптимальные управления щ(1), щО, подчиненные ограничению (4.12), которые за минимальный промежуток времени переводят управляемую систему (4.6) из начального состояния
/ = /(0), / = /i(0), g = g(0), g! = g(0) (4.13)
в конечное состояние
/ = /(T), /i = /i( T), g = g( T), gi = gi (T) (4.14)
и удовлетворяющие соотношениям (4.9)—(4.11), в которых ai, a2 выступают как параметры, подлежащие определению (модифицированная задача оптимального по быстродействию разворота твердого тела).
2. Требуется найти оптимальные управления щ(), щ((), которые за заданный промежуток времени [0, T] переводят управляемую систему (4.6) из начального состояния (4.13) в конечное состояние (4.14), и удовлетворяющие соотношениям (4.9)—(4.11) в которых ai, a2 выступают как параметры, подлежащие определению, и доставляют минимум квадратичному функционалу
T
J = J(щ2 + u2)dt (4.15)
0
(модифицированная задача оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота твердого тела).
При этом соотношения (4.9)—(4.11) можно переписать в виде
1/1(0) ^ «Ф) + 12/1(0)008 g(0) + 13&(0) = К2 о К1 О Ш0 ° К1 о К2 (4.16)
1/1Т>т g(T) + 12/1(7)008 g(T) + 13gl(T) = К2 ° К1 о о К 1 о К2 (4.17)
ехр{-1з«(0)/2} о ехр{12(/(Т) - Д0))/2| о о ехр{13g(Т)/2} = к 2 о к1 о л 0 о л т о к1 о к 2
(4.18)
Следуе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.