ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ -IJP ^ -М^ЩМкШ \ • ■ Ш
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА '«да»
Том 145, № 3
декабрь,2005
тш^в^гуштжвятщ^ш: г дат
1 )
.; :')dt'
. J^t '
: .тощий /11,2(1") Но.
(24)
Ну.
¿жаемого через представлено в
?hys. 1965. V. 34.
ze эмерной модели. 4 V. 17. Р. 2619;
60. № 2. Р. 1140; : J. Burgdörfer, 'er, А. Вагапу.
.A.C. Чихачев. 112.
еиствия в атомной
9.11.2005 г., •.тки 15.IV.2005 г.
© 2005 г. В. И. Кукулин*, О. А. Рубцова*
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ КОНТИНУУМА
Проводится обобщение метода пакетной дискретизации континуума, развитого авторами ранее, для учета дальнодействующего кулоновского отталкивания при взаимодействии заряженных частиц. Выводится аналитическая конечномерная аппроксимация точной кулоновской резольвенты в базисе кулоновских стационарных волновых пакетов. Нахождение так называемых дополнительных парциальных фазовых сдвигов рассеяния, возникающих за счет дополнительного короткодействующего взаимодействия, в развитом подходе сводится к простой матричной алгебре, причем для расчетов может быть использован произвольный полный ¿2-базис.
Ключевые слова: квантовая теория рассеяния, волновые пакеты, дискретизация континуума, вычислительные методы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что при решении квантовых задач рассеяния при наличии кулоновского дальнодействующего взаимодействия возникает ряд сложностей, особенно для многочастичного рассеяния. В частности, трехчастичные интегральные уравнения Фад-деева, имеющие компактные ядра в случае короткодействующих взаимодействий [1], становятся нефредгольмовыми при рассеянии заряженных частиц в области энергий выше трехчастичного порога. Большинство методов, предложенных до сих пор для обхода этих сложностей, основано на замене чисто кулоновских потенциалов с бесконечным радиусом действия на потенциалы Юкавы V ~ е~^т1т с конечным (но большим) радиусом действия г о ~ с дальнейшим переходом к пределу ц —> 0 в конечном выражении для амплитуды рассеяния [2]. Однако переход к кулоновскому пределу в таком подходе требует большой осторожности и далеко не всегда ясно определен.
Можно, однако, попытаться решить эти задачи рассеяния на основе совсем другого подхода, основанного на дискретизации континуума, в том числе и кулоновского, с помощью техники волновых пакетов (ВП), предложенной нами в серии предыдущих работ [3]-[5]. Идея применения пакетной техники к кулоновским задачам связана с двумя важными моментами. Во-первых, использование стационарных ВП аналогично решению задачи рассеяния в конечном ящике, вне которого пакетные волновые функции
'Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, Московский государственный университет, Москва, Россия.
E-mail: kukulin@nucl-th.sinp.msu.ru, rubtsova@nucl-th.sinp.msu.ru . , , г
394
В. И. КУКУЛИН, О. А. РУБЦОВА
быстро спадают к нулю. При этом все потенциалы взаимодействия, включая дально-действуюшие, проецируются на полный базис пакетных состояний и тем самым естественным образом эффективно обрезаются. Во-вторых, в такой дискретизации возможен переход к чисто дискретному энергетическому спектру, в котором каждому значению энергии отвечает энергетический интервал в разбиении исходного непрерывного спектра на дискретные полосы, причем ширины этих полос прямо связаны с эффективным радиусом потенциала в соответствующем конечномерном подпространстве стационарных ВП. Поскольку в реальных экспериментах по рассеянию разрешающая способность (по энергии и углам рассеяния) регистрирующей аппаратуры всегда конечна, то именно формулировка теории рассеяния в терминах конечных ВП в наиболее близкой степени отвечает экспериментальной ситуации.
В нестационарной теории рассеяния такое соответствие давно известно [6] и широко используется для строгого обоснования формализма в терминах т- и ои^состояний. В отличие от этого временного подхода, мы используем формализм стационарных, т.е. не зависящих от времени, ВП (их первоначальное название - собственные дифференциалы [7], [8]) и применяем этот подход в настоящей работе для решения задач рассеяния в случае суперпозиции короткодействующего и кулоновского потенциалов взаимодействия частиц.
В наших предыдущих работах мы показали, что этот подход, который мы будем называть здесь методом пакетной дискретизации континуума (МПДК), основан на двух следующих положениях.
Первое положение связано с использованием формализма стационарных ВП - базисных функций, представляющих собой интегралы от функций непрерывного спектра некоторого гамильтониана Я по узким энергетическим полосам, определяющим разбиение (дискретизацию) этого спектра. Были подробно изучены свойства ВП. Главное из этих свойств состоит в том, что матрица оператора Грина, отвечающего гамильтониану взаимодействия, является диагональной в базисе ВП, причем ее собственные значения определяются аналитически и зависят только от параметров дискретизации. Такое конечномерное матричное представление оператора Грина позволяет использовать интегральную формулировку теории рассеяния и избежать явного учета граничных условий при нахождении амплитуд рассеяния. На основе МПДК были получены конечномерные аппроксимации других операторов теории рассеяния, при этом определение наблюдаемых величин в случае короткодействующих операторов взаимодействия было сведено к простой матричной алгебре (см. [4]).
Второе положение МПДК связано с новой интерпретацией собственных состояний матрицы гамильтониана Я, найденных в некотором конечномерном 1/2-базисе и отвечающих области непрерывного спектра Н. В данной работе мы будем называть их псевдосостояниями. На примере осцилляторного базиса было показано [3]-[5], что такие функции можно рассматривать как аппроксимации для ВП, если параметры разбиения непрерывного спектра, порождаемые этими двумя типами дискретизации, совпадают. Поэтому, заменяя ВП в аналитических представлениях для операторов теории рассеяния на функции псевдосостояний, можно получить представления для этих операторов в выбранном 1/2-базисе. Таким образом, МПДК позволяет эффективно использовать 1/2-базисы в комбинации с интегральными уравнениями для нахождения наблюдаемых в задаче рассеяния.
Нами бы-г дены, в част! ные волнов! полного гал аналитичес! полученным 1,2-базисе, з широком да тониана в в: дачи рассей ют свободн диагонализ рицы перех( несколько б темы с кош В даннор ал взаимод кивания и I кулоновси функций. Ь
для нахоли го гамильт новской за такие же, I го операто базисе. Ве Поэтому б кетной дис Структ ся их свой полной ре: люстраци. ный гаусс построени (а-а)-рас шения ург работы.
2. < 2.1.К1
ряженньс
где Но ~'
действуй
*
Нами были рассмотрены разные варианты пакетного формализма [3]-[5]. Были введены, в частности, два типа пакетных состояний: возмущенные и свободные. Возмущенные волновые пакеты (ВВП) строятся из собственных функций непрерывного спектра полного гамильтониана системы. При этом матрица полного оператора Грина имеет аналитический диагональный вид в этом базисе. При замене ВВП псевдосостояниями, полученными на основе диагонализации матрицы полного гамильтониана в некотором 1/2-базисе, задача нахождения парциальных амплитуд рассеяния или фазовых сдвигов в широком диапазоне энергий сводится к однократной диагонализации матрицы гамильтониана в выбранном базисе. Таким образом, даже чисто вычислительный аспект задачи рассеяния кардинально упрощается. Свободные волновые пакеты (СВП) отвечают свободному гамильтониану системы. Решение задачи здесь сводится к однократной диагонализации матрицы свободного гамильтониана и последующему обращению матрицы перехода при каждом значении энергии. Техника СВП при численной реализации несколько более трудоемка, чем техника ВВП, однако она позволяет рассматривать системы с комплексными или явно зависящими от энергии операторами взаимодействия.
В данной работе мы проводим обобщение развитого метода на случай, когда потенциал взаимодействия является суперпозицией дальнодействующего кулоновского отталкивания и короткодействующего потенциала. Для этого вводится базис стационарных кулоновских волновых пакетов (КВП), которые строятся из регулярных кулоновских функций. Как оказалось, такие состояния уже были использованы Бете много лет назад для нахождения нормировки (в явном виде) функций непрерывного спектра кулоновского гамильтониана [9]. Мы же используем Х^-базис таких состояний для решения куло-новской задачи рассеяния. В настоящей работе демонстрируется, что свойства КВП такие же, как и у других типов пакетных состояний. В частности, матрица кулоновского оператора Грина является диагональной и имеет явный аналитический вид в этом базисе. Весь формализм в точности повторяет развитый нами ранее формализм СВП. Поэтому большая часть данной работы посвящена рассмотрению общих вопросов пакетной дискретизации, не изученных ранее в работах [3]-[5].
Структура работы следующая. В разделе 2 излагается формализм КВП, изучаются их свойства, пространственное поведение, строятся конечномерные аппроксимации полной резольвенты системы и оператора перехода. Раздел 3 посвящен численным иллюстрациям. Для построения базиса КВП используется неортогональный комплексный гауссов базис, который оказывается чрезвычайно удобным и универсальным для построения пакетных состояний. В этом базисе находятся парциальные фазовые сдвиги (а-а)-рассеяния, которые хорошо согласуются с результатами прямого численного решения уравнения Шредингера. В разделе 4 сформулированы основные выводы данной работы. , ;
2. ФОРМАЛИЗМ КУЛОНОВСКИХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ
2.1.КВП и их свойства. Гамильтониан, описывающий взаимодействие пары заряженных частиц в атомной или ядерной физике, имеет вид
Н = но + + Уд (г) = Не + у5(г), .... (1)
г
где Но - оператор кинетической энергии относительного движения пары, Уд ~ короткодействующий оператор взаимодействия между частицами (сферически-симметричный
396
1ШТ-1»и В.И. КУКУЛИН, О.А. РУБЦОВА гаг»,.}«
для простоты), Z\ и Z2 - величины зарядов частиц и Не - гамильтониан, учитывающий только кулоновское отталкивание между част
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.