ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ / u ' п .х ХП'ггг 3Ç ¡м w
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА ;йэф;эт'к/елп.0тг>к' |i-i тп,*т • h «чрпшл- ! . - '
Том 144, №2 'К-*, «няя •hwbdut • ийнввогг <е « г»ч*> -j ->а ч
август, 2005 л --,>;, ; .»• к гч .. к- / •• - ' -'Ж ¡. t
>OHs- . v^ciViчк ivî •
• -xklk** '. f. ri l'y bNfiF. .nwqr- îi и .mxtax . к »t. -j - !"> •
fHH q»vp*roo» * n-"\r'f _ •b'-f.l'
« r ':'!.; '.ii/t ч чг Ч. <. 'H *П
©2005 г. П. Г. Эстевес*, X. Прада^ „>гп Г1,т ,vf , ,
РЕШЕНИЯ ИЕРАРХИИ КАМАССЫ-ХОЛМА В (2 + 1)-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрены решения (2+1 )-мерного обобщения иерархии Камассы-Холма, включающие, в частности, известные мультипиконные решения знаменитого уравнения Камассы-Холма. . -
Ключевые слова: уравнение Камассы-Холма, преобразования годографа, неизоспектраль-ные задачи.
1. ВВЕДЕНИЕ
В 1993 г. Камасса и Холм нашли вполне интегрируемое уравнение мелкой воды с дисперсией, а именно, уравнение _ ,...,. г ,
ut -I- 2ких - uxxt + Зиих - 2ихихх + ииххх = 0, (1.1)
где и - скорость жидкости в направлении х, a fe - постоянная, связанная с критической волновой скоростью в приближении мелкой воды [1]. Особое внимание в работе [2] было уделено предельному случаю fe = О, поскольку он представляет интерес с математический точки зрения. Поиск решений в виде и(х, t) = U(x - ct) (где U - функция, обращающаяся на бесконечности в нуль вместе со своими первой и второй производными) показал, что
U = ce-'x-ct'+ 0(fcln fe). (1.2)
Форма решения (1.2) в виде бегущей волны привела Камассу и Холма к построению известного анзаца для решений уравнения Камассы-Холма (КХ), представляющих собой N взаимодействующих пиков. , .
С этого времени питанные решения (остроконечные солитонные решения) привлекли большое внимание. Например, в 1994 г. Альбер, Камасса, Холм и Марсден [3] исследовали геометрию остроконечных солитонов для общего уравнения КХ, т.е. уравнения (1.1) без дополнительного условия fe = 0. Существование преобразования Лиувил-ля, переводящего спектральную задачу КХ в задачу теории струн, позволило в 1999 г.
* Area de Física Teórica. Universidad de Salamanca, Salamanca 37008, Spain. 'i <•■-' E-mail: pilar@usal.es
^Departamento de Matemáticas. Universidad de Salamanca, Salamanca 37008, Spain. » , ;;> »> E-mail: prada@usal.es ... ,
296 П.Г. ЭСТЕВЕС, X. ПРАДА Ц-А " а1-'« . : ' Г
'- -.-а - 1 '■, г а * / 'гг
Билсу, Саттингеру и Шмигелскому [4], используя теорему Стилтьеса о непрерывных дробях, получить мультипиконные решения близкого вида. Те же авторы в работе [5] исследовали взаимосвязь между мультипиконами и классической проблемой моментов. В 2000 г. Константин и Штраус [6] изучали стабильность пиконов, а Ленеллс исследовал стабильность периодических пиконов [7] и предъявил соответствующее вариационное доказательство [8].
В 2002 г. Дегасперис, Холм и Хон [9] исследовали некоторое интегрируемое уравнение, обладающее питанными решениями; по утверждению авторов, это уравнение было получено методом асимптотической интегрируемости и имеет вид, аналогичный уравнению мелкой воды КХ. В бездисперсионном случае уравнение было записано в виде
1:-./ид1« г -
Щ - иххг + 4иих = Зихихх + ииххх (1.3)
-¡■.¡.'.с »а:
г .пэда-а«.«
... -¿¡ьС ^ ■ ' .
и доказано, что его решением является одиночный пикон
и{х,г) = се~]х-с1К г (1.4)
Авторы рассмотрели также семейство уравнений
Щ - иххЬ + (Ь+ 1 )иих = Ьихихх -I- ииххх "Л'л'' (1.5)
с вещественным параметром 6, включающее как уравнение КХ (6 = 2), так и уравнение (1-3) (6 = 3) в качестве частных случаев [10]. Оказалось, что все уравнения семейства обладают мультипиконными решениями и отвечают некоторой динамической системе, которая принимает гамильтонову форму только в случае 6 = 2. Хон и Вонг [11] выделили питанные уравнения с помощью алгебраического метода продолжения Уол-квиста-Эстабрука. В работе [12] было показано, что спектральная задача КХ дает две различные интегрируемые иерархии нелинейных эволюционных уравнений: одна является иерархией КХ отрицательного порядка, другая - иерархией КХ положительного порядка. Кроме того, было установлено, что знаменитое уравнение КХ содержится в иерархии КХ отрицательного порядка, а уравнение типа Дима - в иерархии КХ положительного порядка. Решениям иерархии КХ было посвящено много работ, например [13].
В разделе 2 настоящей работы рассматривается обобщение иерархии КХ на случай размерности (2+ 1) [14], [15]. По примеру Камассы и Холма мы строим анзац для поиска некоторых мультипиконных решений различных уравнений иерархии и представляем получающуюся в результате динамическую систему. Эта система, естественно, является системой дифференциальных уравнений в частных производных, и поэтому содержит уравнения разного типа; некоторые уравнения включают производные по переменной у, другие задают рекуррентные соотношения и, наконец, имеются эволюционные уравнения. В разделе 3 представлены примеры динамических систем в некоторых частных случаях. В заключительном разделе приведены соответствующие выводы.
Ра поля
где п
Ввел
позвс
и, сл1
(2.4) В
КХ[
2.
нием
где {
Эта (2.1)
/
РЕШЕНИЯ ИЕРАРХИИ КАМАССЫ-ХОЛМА 297
2. ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ИЕРАРХИЯ ? -
КАМАССЫ-ХОЛМА В РАЗМЕРНОСТИ (2+1)
Рассмотрим известную отрицательную иерархию Камассы-Холма (ОИКХ) [12] для поля и(х, £), т.е. уравнение
1.
.и .А.| - «* = Я~пих, Л = (2-1)
где п ^ 1 (порядок иерархии) - некоторое целое число, а ^, ^ - следующие операторы:
Jo = d3-d, Ji=ud + du, д=—. (2.2)
дх'
Введение /г функций ^ (*, *),..., у,, i) (как в работе [15]) таких, что
.»n-q -tat
vi = 70_1«х J0vi = их,
Vk = JoVfc = JiVk-i, k = 2,...,n,
(2.3)
позволяет записать уравнение (2.1) в виде
' ¡и.Л .1 4f>K -Vif... " :; ' ч
Г1 ...... ,
vj w
= Л«», ■«У«®''4^- -- (2.4)
«• -<ч ■'■г..--'-. - и-- '«лшдм^н^п-хя^ошрои. м -а ■ ' "■¿■■ч
и, следовательно, ОИКХ может рассматриваться как система из (п+1) уравнения (2.3), (2.4) на (п + 1) поле и,ьу,... ,ьп.
В случае п = 1 система (2.3), (2.4) сводится, очевидно, к известному уравнению КХ[1].
2.1. Обобщение на размерность 3. Как показано в работе [15], простым обобщением системы (2.3), (2.4) на случай размерности 3 является следующая система:
-О:
иу = 3ОVI, , /.
30ук = 3хук^, к = 2,...,п, 'X (2.5)
...... л т = Ч(; -7
где и = и(х, I, у) и V,- = (х, I, у), которая может быть записана как
ли*, -ч V ■ ? и1 = Я~пиу. '[■ (2.6)
Эта система определяется иерархией КХ в размерности (2 + 1). Очевидно, что ОИКХ (2.1) получается из уравнения (2.6) с помощью редукции д/ду = д/дх.
298
■К' У П.Г. ЭСТЕВЕС, X. ПРАДА Т1:<ЛЧ
2.2. Решения отрицательной иерархии Камассы-Холма в размерности
(2 + 1). Для ОИКХ в размерности (2 + 1) сделаем теперь следующую подстановку:
N
• " •(',' П. '
■*. »г- , ' • ЧУЙШ**-
я- - ¿=1
(2.7)
»=1
где Л]\у,Ь) =0 для всех г = 1,2,...,*, т.е.
N
1=1
есть мультипиконное решение, и в соответствии с (2.5)
(2.8)
N
Щх, У, г) = -2 £ 7»(г/, «Ж* - «(у, *))•
(2.9)
г=1
Таким образом, как и для уравнении КХ, пики поля суть дельта-функции поля II.
Подстановка формул (2.7) и (2.9) в систему (2.5) дает в результате систему явного вида. Среди уравнений, входящих в полученную систему, выделим три различных группы: во-первых, 2N уравнений, включающих производные по переменной у; во-вторых, рекуррентные соотношения и, наконец, эволюционные уравнения. Итак, соответственно имеем
3.1.
которая
получает
ду
(2.10)
т.е. д(у,г)
N
М)1.
N
¿=1
"М'гй,:; пйшо;/'1 -'ТО"-
N
(2.11)
¿=1 N
¿=1 .. -л-
• А; рми-^
Если преда дается форм
3.2. Слу му (3.1) и пол
Солма в размерности
дующую подстановку:
1,2,....п,
(2.7)
(2.8)
I. (2-9)
¡льта-функции поля II. ътате систему явного ви-и три различных группы: менной у; во-вторых, ре-я. Итак, соответственно
(2.10)
(2.11)
[qi(y,t) ~ 4j(y,t))+
2,... ,n, t = 1,2,...,7V;
&li(y,t) at
РЕШЕНИЯ ИЕРАРХИИ КАМАССЫ-ХОЛМА N
299
, > .ni, . и и. «/..ill a iiKjii!:"' ¡»IS (¡fiíOKíTi Ji . ' ¿-J 3 VJ" »i• , . -.a cut- .тртоэгл rtuctttn» mfwK*vr,...
i=i
TV
г.- ft"* \ »i
dqi(y,t) dt
N
(2.12)
= ^A]\y,t)(e-l«(w.t)-^(».t)| _ l)Sgn(qi(y,t) - qj(y,t))-
i
м-. ~ л
N
-jB^y.Oe-Wv.tJ-fltv.t)! ¿ = 1,2.....JV. r. ^
i=i
3. ПРИМЕРЫ В РАЗМЕРНОСТИ (2 + 1) 3.1. Случаи n = 1 и N = 1. Рассмотрим систему . i ' _\t)
VI ».«. -»А -IV »■« -м- H'iM * ' ""Л" ^ ~
fy = (Vl)xxx - (Vi)x,
f
> ,Ц «
иг = 2ЩУ1)х + ихУ1,
которая соответствует выбору п = 1 в иерархии (2.5). Для N = 1, т.е. для
(3.1)
(3-2)
U{x, у, t) = -27(У, - *)),
< i '< » "-1 ~ i'. i J i — 1 i' ' , " ...,. r i i ''
получается, что т
, * l(y,t) = 7o, / dq{y,t) _ (dq(y,t)\ AM* - .
• ^ м" * \ Я» / '
т.е. q(y, t) = F(y + 7o¿)> таким образом,
t t/(z,j/,í) =-27o<5(z-g(í/,í)).
(3.4)
Если предположить, что q(y, t) = y + 7o¿, то пиконное решение предыдущей системы дается формулами ,.., . , ,,
Vi(®,y,t)=70e~|a!"w"70t|. U(x, у, t) = -27о<5(х - у - 7oí).
(3.5)
3.2. Случай и = 1 и JV = 2. Двухсолитонная динамика. Рассмотрим систему (3.1) и положим
Vi(x,y,t) = Pl(y,t)e-\x-^y^ +p2(y,t)e-I—«(v.OI, U(x, y, t) = —271 (j/, t)S(x - Я1(у, t)) - 272(y, t)S(x - q2(y, t)).
(3.6)
/
300 Ai Sfu П.г. ЭСТЕВЕС, X. ПРАДА 4S:. >
Подстановка этих функций в (3.1) дает динамическую систему для двухсолитонного случая, из которой следует, что функции 71 и 72 не зависят от переменной у. Если ввести обозначения
F(t)=p2(y,t)e{qi{y't)-q2{y't){sgn(q1(y,t)-q2(y,t)), (3.7)
G(t)=Pl(y,t)e^y^-^y'^sgn(q2(y,t)-qi(y,t)), (3.8)
I ' ,\v
ln7i(t) = - J F(t)dt, In72« = - J G(t)dt, (3.9)
и таким образом, ' . л
U(у, t) = —2е~ f F«> dtS(x - Ql(y, t)) - 2e" / G«> dtS(x - q2(y, t)), (3.10)
где
oy oy
^^ = -PI (y,t)-»(у.Ое^.О-Ы».«)!, (3-11)
at n. " ■ «
dq2(y,t)
dt
3.3. Случай n = 2 и N = 1. Выбирая для системы
1 Uу = (V'Oxxx (V'!)x,
(V2)XXX-(V2)X = 2U(V1)X + UXV1, (3.12)
" „ , Ut = 2U(V2)x + UxV2
поля Vi, (/, как в (3.2), и положив .л., ч
V2(x,y,t) ^ Af(yJ)d-\e-^y^) + (3.13)
получаем
dj(y,t) = dq(y,t) _ p(y,t) , , ду ' ду j(y, t)'
A21)(y,t) = 0, B?(y,t) = 7(y,t)p(y,t), (3-14)
.. .....^ = 0, ^ = -7 Мр(УЛ . . .3
и следовательно, • , .ц к, .»л
7(2/, t) = const = 70,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.