ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 3, с. 424-437
УДК 519.624.2
РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВНУТРЕННИМИ И ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ, ЗАВИСЯЩИМИ
ОТ РАСТЯНУТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОГО ПОРЯДКА1}
© 2007 г. Е. Е. Букжалёв, А. Б. Васильева
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: bukzhalev@mail.ru Поступила в редакцию 29.12.2005 г. Переработанный вариант 06.09.2006 г.
Рассматривается решение сингулярно возмущенного параболического уравнения, имеющее внутренние и пограничные слои, растянутые переменные которых могут зависеть от различных степеней параметра возмущения. Проводится построение и обоснование асимптотики этого решения, и дается доказательство его устойчивости. Библ. 12.
Ключевые слова: сингулярные возмущения, контрастные структуры типа ступеньки, метод пограничных функций, метод дифференциальных неравенств, устойчивость решений параболических уравнений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Настоящая работа посвящена исследованию краевой задачи для следующего параболического уравнения с условием периодичности по временному аргументу:
Ь [у ] = е4 (дУ - - е А (у, х, х) - В (у, х, х) = 0,
у(х, х + Т, е) = у(х, х,е), (х, х)еО = (0, 1 )х К, (1.1)
у(0, х, е) = у0(х), у( 1, х, е) = у'(х), х е К,
где е > 0 - малый параметр, А, В, у0 и у1 суть Т-периодические по х функции. Постановка (1.1) является естественным обобщением задачи, рассмотренной ранее в работе [1]:
е4^ = е^А (у, х) + В(у, х), х е (0, 1), ёх ёх (1.2)
у(0, е) = у0, у(1, е) = у1.
Отметим, что (1.1) представляет собой (1.2) в случае, когда все входящие в нее величины, включая само решение, не зависят от х.
В [1] с помощью метода пограничных функций (см. [2]) была построена асимптотика решений задачи (1.2), обладающих двумя пограничными и одним внутренним слоями, и с помощью метода дифференциальных неравенств (см. [3]) проведено ее обоснование. При этом внутренний слой описывал переход между некоторыми двумя решениями вырожденного уравнения. Решения с внутренними переходными слоями носят название контрастных структур типа ступеньки (КСТС).
Характерной особенностью задачи (1.2) является то, что как погранслойные, так и внутренние переходные составляющие ее решений могут быть функциями растянутых переменных разного порядка относительно параметра возмущения (по этому поводу см. также [4]). В соответствии с этим выделяют пограничные и переходные слои двух видов: резкого (растянутая переменная ~1/е3) и плавного (растянутая переменная ~1/е).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00710).
Решение задачи (1.1), так же как и решение задачи (1.2), может обладать как пограничными, так и внутренними переходными слоями. Ниже строится и обосновывается асимптотика решения, обладающего двумя пограничными (в окрестностях граничных прямых х = 0 и х = 1) и одним внутренним (в окрестности некоторой внутренней кривой х = х*(х, £)) слоями. При этом внутренний переходный слой описывается функцией, зависящей от растянутой переменной ~1/е. Кроме того, будет проведено исследование на устойчивость указанного решения уравнения (1.1), рассматриваемого как стационарное решение следующей начально-краевой задачи:
I [у ] = 0, (х, х )ей+ = ( 0, 1 )х( 0, + ,
у(х, 0, е) = уо(х), х е [0, 1 ], (1.3)
у(0, х, е) = у0(х), у(1, х, е) = у1 (х), х е К+ = [0, + ~), где функция у0(х) удовлетворяет условиям согласования порядка нуль: у0(0) = у0(0), у0(1) = у 40).
2. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ Пусть уравнение В(у, х, х) = 0 имеет три корня у = фг(х, х), 1 = 1, 2, 3, причем
ф1 (х, х)<ф2(х, х)<ф3(х, х), Ву(ф1, з(х, х), х, х) > 0, Ву(ф2(х, х), х, х) < 0, А(ф1 (0, х), 0, х)* 0, А(фз(1, х), 1, х)* 0.
Тогда при определенных условиях может возникнуть КСТС с переходом с фх(х, х) на ф3(х, х) в окрестности некоторой кривой х = х*(х, е). В зависимости от знаков А на фх и ф3 при х = х*(х, 0) = х0(х) внутренний слой является функцией следующих растянутых переменных:
1) если А(фх(х0, х), х0, х) > 0, А(ф3(х0, х), х0, х) < 0, то п = (х - х*(х, е))/е3, - КСТС резкого вида,
2) если А(фх(х0, х), х0, х) < 0, А(ф3(х0, х), х0, х) > 0, то п = (х - х*(х, е))/е, - КСТС плавного вида. Как уже было сказано, мы ограничимся рассмотрением случая 2), когда переходная переменная п имеет порядок 1/е.
Значение функции у(х, х, е) на переходной кривой х = х*(х, е) обозначим через у(х*, х, е) = у(х, е) (фх(х0, х) < у(х, 0) < фз(х0, х)). Итак, ищем решение вида
у(х, х, е) = у(х, х, е) + П(т, х, е) + б(р, х, е), (х, х) е й,
где
Гут(х, х, е) + Т-)(п, х, е), (х, х)ей,, у(х, х, е) = < _
УуР(х, х, е) + Т(+)(п, х, е), (х, х) е й;
здесь, в свою очередь,
й = (0, х*(х,е))х К, йг = (х* (х, е), 1 )х К,
а порядок погранслойных переменных определяется знаком А на решениях вырожденного уравнения в соответствующих точках: т = х/е3 при А(фх(0, х), 0, х) < 0 и т = х/е при А(фх(0, х), 0, х) > 0, р = (х - 1)/е при А(ф3(1, х), 1, х) < 0 и р = (х - 1)/е3 при А(ф3(1, х), 1, х) > 0.
Ниже строим только внутренние переходные слои, ибо регулярные и пограничные части по существу уже построены в [5].
Представляя х*, у*, ут, ур, Т ^, Т+ в виде рядов по малому параметру, а именно
х*(х, е) = х0(х) + ех1(х) + ..., у * (х, е) = у 0 (х) + еу! (х) + ..., ут (х *+ пе, х, е) = ут( х *+ пе, х) + еут (х *+ пе, х) + . = у0-)( х) + еу1-)( х,п) + .,
ур(х*+ пе, х, е) = уР(х* + пе, х) + еуР(х* + пе, х) + ... = у0+)(х) + еу1+)(х,п) + ...,
Т(-)(п, х, е) = т0-)(п, х) + еТ 1-)(п, х) + ...,
Т(+)(п, х, е) = Т0+)(п, х) + еТ 1+)(п, х) + ..., согласно методу пограничных функций получаем ряд задач для определения переходных членов асимптотики. Поскольку структуры задач для Т{п ) и ТП+) полностью идентичны, ниже ограничиваемся построением первых.
Отметим, что члены переходного ряда будут определяться из уравнений первого порядка, так что их гладкость в переходной точке будет следствием их непрерывности. Поэтому для определения составляющих х*(х, е) придется задействовать не связанные с гладкостью (как это наиболее часто бывает) соображения. Эти соображения, как будет показано ниже, связаны с возможностью разрешимости возникающих для членов переходного ряда уравнений.
В нулевом приближении имеем
дТ0-) _ рН(Т(-) х)= В(ф1+ Т0-), хр, х) Р (Т 0 , х) —
Эп ' А(ф1+ Т0-), х0, х)
Т0-)(0, х) _ у0(х) - ф1 (х0(х), х), (2.1)
Т0-)(х) _ 0.
Вспоминая, что Ву(фх(х0, х), х0, х) > 0, а А(фх(х0, х), х0, х) < 0, легко убеждаемся в том, что Т0) = 0 -устойчивая точка покоя при п —" Значит, если у0 - фх принадлежит ее области влияния, то
Т0) х) = 0. Аналогичное требование возникает и при рассмотрении соответствующей задачи
т(+)
для Т0 .
Для выполнения условия данной принадлежности необходимо, чтобы Р(-)( Т 0-), х) и Р(+)(Т0+), х) —
— -В(ф3 + Т0+), х0, х)/А(ф3 + Т0+), х0, х) не обращались в нуль на (0, у0 - фх] х К и [у0 - ф3, 0) х К соответственно. Поэтому приходим к выводу, что
А(ф2(х0, х), х0, х) — I(х0, х) _ 0, (2.2)
иначе (в силу В(ф2(х0(х), х), х0(х), х) = 0) Р(-)(Т0-), х) при Т0-) = ф2 - фх либо Р(+)( Т0+), х) при Т0+) =
= ф2 - ф3 будет равно нулю. Причем для того, чтобы Р(-) (Т0-), х) при этом действительно не обращалось в нуль (или бесконечность), потребуем выполнения условий
Ау(ф2(х0(х), х), х0(х), х)Ф 0, Ву(ф2(х0(х), х), х0(х), х)ф 0 (2.3)
(в этом случае Ву будет меньше нуля, а Ау - больше).
Кроме того, Р(-)( Т 0-), х) и Р(+)( Т0+), х) не должны обращаться в бесконечность всюду на [0, у0 - фх] и [у0 - ф3, 0] соответственно. Отсюда приходим к еще одному требованию на х0(х):
А (у, х 0 (х), х) ф 0 при у е [ф^ х0 (х), х), фз( х0( х), х)] \ ф2 (х0 (х), х) (2.4)
(при его выполнении на первом полуинтервале А, естественно, будет иметь отрицательный знак, а на втором - положительный).
Выражения (2.2), (2.3), (2.4) можно рассматривать как систему соотношений для определения х0(х). Будем считать, что существует ее решение х = х0(х) такое, что
0 < х0 (х)< 1, х е
т / В у Ах В хАу
1х (х, х) _ ——=--
у
<0, хе К. (2.5)
х0 _ х0(х)
Здесь, а также для описания старших приближений использованы обозначения
у"(х) = ут(х0(х), х), уП+)(х) = уп(х0(х), х), ЕН(х) = Е(у0-)(х), х0(х), х), Е(+)(х) = Е(у0+)(х), х0(х), х), Е(-)(п, х) = Е(у0-)(х) + т0-)(п, х), х0(х), х), Е(х) = Е(ф2(х0(х), х), х0(х), х), Р(_)(п, х) = Р(-\т0-)(п, х), х), Р0-)(п, х) = РН(п, х)/РН(0, х), ф1 = ф1 (х) = ф 1 (х0(х), х) = у0-)(х),
фз = фз(х)^фз(х0(х), х) = у0+)(х), где в качестве функции Е могут выступать А и В, а также их частные производные.
Кроме того, обратим внимание на тот факт, что, начиная с п = 1, уП_) может быть представлено в виде
у- = х) хп + ^,
где АуП_) является функцией ут (х0, х), ..., ут (х0, х) и их производных в точке (х0(х), х), а также хх(х) + п, х2(х), ..., хп_ Х(х) и не зависит от хп(х). Ниже под АуП' понимаем его значение при п = 0. При постановке задач для ТП+) используется обозначение АуП+), имеющее аналогичный смысл.
Первое приближение:
i HÇ^tV ( Ъ(-) ^ Ъ(-) И (-W-) ^ Ъ.(-) _ Эп
A + ( B+ P ^ A У) TV + Г = 0,
(2.6)
Ti-)(0, t) = Y,(t) (t)x,(t) -yS-)(t).
Решением уравнений (2.6) будет
T S-' - (y , ( t)( t ) x, ( t) - y->( t ))P0-'(n, t) - i^a^ (2.7)
( dx ) J„ P' '(ï, t) A (s, t)
Пусть для определенности ф2 (t) < y0(t) < ф3 (t). Тогда обратим внимание на то обстоятельство, что подынтегральное выражение из (2.7) имеет смысл, вообще говоря, не при всех значениях аргумента, а именно при п = П* : т0) (п*, t) = ф2 (t) - ф, (t), стоящее в знаменателе A( ), обращается в нуль. Поэтому для обеспечения корректности определения (2.7) (а вместе с тем и самой постановки (2.6)) потребуем, чтобы G, ) (п*, t) = 0:
в fo,t ) -IX" A + ( f'( x,+ п » ) + yi^ -B )A, + ( x,+ п * )(-B )A x +
W,.. , _(-)) ъ ^ Ъ - ^ - ByA x + B xA y _
+ I ---p (x, + п*) + УГ By + (x, + п*)Bx - (x, + п*) y x x- - - 0.
Vil / ' ^l l-^y ' V i l / V~l ' ■ /
dx ) A
y
В силу (2.5) и (2.3), последнее уравнение разрешимо и хх(х) можно считать определенным: хх(х) = -п*(Уо, х). Подчеркнем, что х1 определено в том смысле, что мы нашли связь между
функциями хх(х) и у0(х). Функция же у0(х) может быть выбрана произвольно (считаем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.