МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. И. Э. КЕЛЛЕР
РЕШЕНИЯ ТИПА ПРАНДТЛЯ-МАЙЕРА УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
Представлено дальнейшее исследование одной модели вязкопластично-сти с немонотонной зависимостью от скорости деформации, обеспечивающей полную интегрируемость двумерных уравнений равновесия и совместности. Рассматриваемые нелинейные уравнения меняют свой тип с гиперболического на эллиптический при некоторой критической величине интенсивности скорости деформаций, при этом в сплошном теле образуется граница раздела. Данная модель представляет интерес для описания пространственных автоволновых процессов в активных сплошных средах, а интегрируемость уравнений обеспечивает построение эффективных методов численного решения краевых задач и существование аналитических решений.
В настоящей работе показано, что рассматриваемая материальная функция удовлетворяет критерию расщепляемости данных уравнений на две невзаимодействующие подсистемы. Выведены кинематические уравнения на характеристиках. Получены и исследованы центрированные автомодельные решения (решения типа Прандтля — Майера) в области гиперболичности уравнений, описывающие потоки в сужающемся и расширяющемся каналах.
Ключевые слова: вязкопластичность, отрицательная чувствительность к скорости деформаций, полная интегрируемость, кинематические соотношения на характеристиках, решения типа Прандтля—Майера.
1. Введение. В работе [1] представлена модель вязкопластического тела с немонотонной зависимостью от интенсивности скорости деформаций, обеспечивающая полную интегрируемость уравнений равновесия и совместности в двумерной формулировке. Данный результат явился итогом поиска частных видов определяющих соотношений вязкопластичности, расширяющих симметрию уравнений квазистатического движения нелинейной диссипативной среды и обеспечивающих появление автоволновых решений, устойчивых к малым возмущениям начальных и граничных условий.
Экспериментально установлено, что при одноосном растяжении целого ряда материалов одновременно с процессом распространения уединенных или периодических фронтов локализации деформации и внутренними динамическими процессами (прерывистостью диаграммы деформирования и сильной акустической эмиссией) регистрируется Ж-образная макроскопическая зависимость напряжения от скорости деформаций, что характеризует такие вязкопластические материалы как разновидность активных сред. Подобную аномальную зависимость от скорости деформации обнаруживают металлы в условиях динамического деформационного старения (эффект Пор-тевена—Ле Шателье) [2], динамической рекристаллизации [3], мартенситных превращений и двойникования; твердые полимеры [4], среды с внутренним сухим трением — сыпучие среды и трещиноватые горные породы [5]. Найденные соотношения поэтому
имеют интересные перспективы применения для численного или аналитического решения модельных пространственных задач для таких материалов.
В начале настоящей работы кратко воспроизведены результаты [1]. Далее показано, что данная система удовлетворяет критерию расщепляемости на две невзаимодействующие подсистемы. Выведены кинематические соотношения на характеристиках, позволяющие интегрировать поле скорости. Найдены и проанализированы центрированные автомодельные решения, соответствующие гиперболическому типу системы.
2. Закон вязкопластичности, обеспечивающий интегрируемость уравнений равновесия и совместности. Рассматриваются уравнения квазистатического движения несжимаемой вязкопластической среды в двумерном случае
V • а = 0, а = -рI + 1/2т(^)Е,-1Б, Б = 1/2(УV + VV), V • V = 0 (2.1)
где V — пространственный оператор Гамильтона, о и D — тензоры напряжений и деформаций скорости, p — гидростатическое давление, I — единичный тензор второго
ранга, v — скорость перемещений, % = 71/20 : Б — интенсивность скорости деформаций1. В декартовых ортогональных координатах x, у система (2.1) принимает вид
О XX, х + О ху, у = ° О ху, х + О уу, у = 0 (2.2)
оXX =-Р + 1/2т©£-1их,х, Оуу =-р - 1/2т©£-1их,х
о ху = 1/4т(£)£-1 (их, у + иу, х) (2.3)
и х, х + иу, у = 0, £ = ((их, х )2 + 1/4(их, у + иу, х )2)1/2
Запятая здесь и далее означает частную производную по указанной координате.
Известны лишь два частных вида функции т(£), обеспечивающих полную интегрируемость системы (2.2),(2.3): т = 2цЕ, (линейно-вязкая жидкость) и т = т* (идеально пластическое тело2). Неинтегрируемый случай с функцией т = т* + исследовался методами возмущений в [6].
Для записи данных уравнений в виде квазилинейной системы компоненты тензоров напряжений и деформаций скорости представляются в виде [7]:
о хх =-р - 1/2т(ф1п2ф, о уу =-р + 1/2х(ф1п2ф, о ху = 1/2тфес82ф (2.4)
и х, х = -^т2ф, иу, у = ^т2ф, и х, у + иу, х = 2^ сс82ф (2.5)
удовлетворяющем уравнениям (2.3), где ф — угол между одной из линий максимальных касательных напряжений и осью x. Выражения (2.4) подставляются в уравнения (2.2), а из (2.5) вместе с выражениями
иу,х = ^ес82ф + д, их,у = ^ес82ф - д (2.6)
где д = 1/2(иу,х - их у) — вихрь скорости, образуются уравнения совместности деформаций скорости
( их,х),у — ( их,у),х, ( иу,у),х — ( иу,х),у
В итоге уравнения равновесия и совместности сводятся к однородной квазилинейной системе, представимой в матричном виде
1Множитель адаптирован для одноосного растяжения полосы, для которого ^ = 1/1 — скорость деформации удлинения, т — растягивающее напряжение, а скорость диссипации энергии — ¡;т.
2Для вязкопластических тел, имеющих критерий текучести, предполагается выполнение этого критерия в произвольной точке области, занятой движущейся средой.
и х + Ьи,у = 0, Ь = А В
(2.7)
т ^т2ф 2т сс^ф 2 0 -т 'сс8 2ф 2т 8т2ф 0 0
- сс8 2ф 2Е, 8т2ф 0 1
- 8т2ф -2Е, сс8 2ф 0 0
т 'сс8 2ф 2т 8т2ф 0 0
-т ^т2ф -2т сс8 2ф 2 0
- 8т2ф -2Е, сс8 2ф 0 0
сс8 2ф -2Е, 8т2ф 0 1
и =
ф
А =
, В =
Р
I ч)
где т' = 1 т/1 для исследования которой разработаны методы [8]. Собственные числа в общем случае несимметричной матрицы Ь суть
А.1± = 1ё(ф ± р), Х2± = -^(ф ± в), tg2p = 4-т
т = 11пт/11пЕ, = т ' £/т
(2.8) (2.9)
где т — функция чувствительности к скорости деформации. Линии в плоскости (х, у), удовлетворяющие уравнениям 1у/1х = -А,(х, у), где X = {Х1+, Х2+}, являются характеристиками системы (2.7). Выражения (2.8) позволяют увидеть, что система (2.7) в каждой точке имеет две пары ортогональных действительных характеристик при т < 0, сливающихся в одну такую пару при т = 0, и две пары ортогональных комплексных характеристик при т > 0, сливающихся в одну такую пару при т = 1. Оба вырожденных случая соответствуют двумерным характеристическим пространствам; при т = 0 тип уравнений гиперболический, а при т = 1 — эллиптический.
Дифференциальные соотношения на характеристиках находятся умножением (2.6) на левые собственные векторы матрицы Ь и имеют вид
хЕ Vт(т - 1)1 Е± 2т>/1 - т 1ф ± 21р - хЕ 14-т1а = 0
- /- _ (2.10)
хЕ, >/т(т - 1)1 2тл/1 - т1ф + 21р + хЕ, V-т1ч = 0
для и ^2+ соответственно.
Каждое из пфаффовых уравнений (2.10) вида Р(1 ^ + 0(1 ф + Я1р + £(£) = 0 вполне интегрируемо при выполнении теоремы Фробениуса [9], вследствие которой должны выполняться условия 0 = а, £ = у, где а, у — произвольные константы. Эти условия с учетом обозначения (2.9) принимают вид двух дифференциальных уравнений т' - Е 1т + а2Е, Ч 1 = 0, т' + у 2Е,т 1 = 0, которым удовлетворяет функция
где = т*/(2ц), причем первый случай соответствует а = т*, у = 2ц, а второй — а = I т*, у = 12ц. Данные условия обеспечивают существование для каждой пфаффовой формы функции г (и), сохраняющей постоянное значение вдоль соответствующей характеристики Р(^) 1Е, + 0(Е)1ф + Я1р + £( = = 0 и задающей интегральную поверхность в пространстве зависимых переменных. В невырожденном случае т Ф 0, т Ф 1решение системы (2.7) в точке формируется в результате пересечения четырех трехмерных интегральных поверхностей. Менее сильных ограничений на функцию т©, обеспечивающих разрешимость пфаффовой системы при записи дифференциальных форм в виде udz или udz + й^, где и = и(и), ^ = м>(и), не существует.
Существенно нелинейная материальная функция (2.11), гарантирующая полную интегрируемость уравнений (2.1), имеет Ж-образный вид и допускает образование линий разрыва в сплошной среде, разделяющих области с гиперболическим и эллипти-
(2.11)
ческим типами оператора. Подобно уравнениям газовой динамики [10], где переход от гиперболического к эллиптическому типу происходит при достаточно большой величине модуля скорости перемещений | VI = с, в данной модели такой переход имеет место при достаточно большой величине интенсивности скорости деформации =
Отметим также, что вследствие характера функции (2.11) текучесть среды автоматически гарантируется при произвольной интенсивности напряжений в любой точке области с гиперболическим или эллиптическим типом уравнений.
3. Расщепляемость полевых уравнений. Соотношения (2.10) в гиперболическом режиме принимают вид
±2цё 1/41 - 4ц V + 2 йф + 2dp + 2ц йд = 0
+2цё^/>/1 - 4ц2 - 2 йф + 2йр + 2ц йд = 0
где ц = ц / т* и р = р / т *. Неизвестные задачи записываются через интегралы уравнений (3.1) (инварианты Римана):
2ф = г + n-ы-Z, 2р = х + Л + ю + С (32)
2Р = Х- Л- ю + С, 2ц д = -х + Л- ю + С '
приведенные ниже в последовательности, повторяющей последовательность собственных значений (первая строка) и (вторая строка):
2х=Р + ф + р -цд, 2ю = -р-ф + р -цд (33)
2г| = -р + ф + р + цд, 2^ = Р- ф + р + ц д
Функция (2.11) обеспечивает выполнение необходимого и достаточного условия [11] расщепления квазилинейной системы (2.7) на две невзаимодействующие подсистемы, определенные в касательных подпространствах Хь Х2, X1 Ф X2 = Х=(в, ф ,р , цд), натянутых на пары ортогональных правых собственных векторов оператора L и образованных всевозможными линейными комбинациями инвариантов Римана х, ю и п, С. Это условие требует простоты спектра линейного оператора L (что в общем случае имеет место), а также инволютивности данного оператора
L = D-1
^т4ф/ cos 2в -4sin2p 4tg2p ^2ф 481п2ф -4 sin 2р 2sin4ф/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.