ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. М. Л. Гандариас*, С. Саез*
РЕШЕНИЯ ВИДА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КАЛОДЖЕРО-ДЕГАСПЕРИСА-ФОКАСА В РАЗМЕРНОСТИ (2 + 1)
Наиболее интересными решениями (2 + 1)-мерного интегрируемого уравнения Ка-лоджеро-Дегаспериса-Фокаса (КДФ) являются солитонные решения. Ранее авторами была получена полная групповая классификация для уравнения КДФ в размерности (2 + 1). В настоящей работе, используя классические симметрии Ли, авторы рассматривают редукции, приводящие к решениям вида бегущей волны с переменными скоростями, зависящими от вида некоторой произвольной функции. Соответствующие решения данного (2+1)-мерного уравнения включают до трех произвольных гладких функций, вследствие чего они демонстрируют весьма разнообразное качественное поведение. Действительно, адекватный выбор этих произвольных функций позволяет обнаружить решения вида уединенных волн и связанных состояний.
Ключевые слова: симметрии Ли, дифференциальные уравнения в частных производных, уединенные волны.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе рассматривается следующее (2+1)-мерное интегрируемое обобщение уравнения Калоджеро-Дегаспериса-Фокаса (КДФ):
1 1 uxuxz 1 uxxuz 1 uxuz
Ut + ~л UXXZ ~ Г 7 Н Г о
4 2 и 4 и 2 и2
- \uxd~1 ^^ + iaVu* + iaV^-1^2^ +
+ l-ahuz + iabux + + Ifi^x= 0- (D
где д~1и — fu dx. Это уравнение было получено Тодой и Ю в работе [1].
'Departamento de Matemáticas, Universidad de Cádiz, PO.BOX 40, 11510, Puerto Real, Cádiz, Spain. E-mail: marialuz.gandarias@uca.es
Широкий класс дифференциальных уравнений с интересными свойствами допускает интегрирование с помощью метода обратной задачи. Одним из таких уравнений является уравнение КДФ в размерности (1 + 1). Уравнение КДФ - это (1 + 1)-мерное нелинейное уравнение вида
1 3 ихихх 3 их 3 их . 2 . >\2 п
4 4 и 8
где аиЬ- произвольные константы. Уравнение (2) было введено Калоджеро и Дегаспе-рисом [2] при изучении уравнений, разрешимых с помощью матричного варианта метода обратной задачи, и независимо Фокасом [3] при изучении уравнений типа уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), обладающих определенными симметриями Ли-Беклунда. Точные многосолитонные решения уравнения (2), записанного в билинейной форме, были получены (при а > 0) в работе [4]. Уравнение КДФ исследовалось также и другими авторами [5], [6]. Чисто бинормальное движение нерастяжимой кривой постоянной кривизны порождает обобщенное уравнение Дима [7]. Это уравнение легко может быть получено на основе взаимосвязи с уравнением КДФ. Кроме того, хорошо известно, что уравнение КДФ сводится к уравнению Калоджеро-КдФ [8] при а = ОиЬ = ±1,к уравнению Чена [9] при а = — Ъ = 1 после преобразования и — ехр(А;ги), ги —> ±гги и к уравнению Шварца-КдФ при а = Ь = 0 после перехода от функции и к ее потенциалу: и = фх.
Изучение многомерных систем является одной из основных тем в теории интегрируемых систем. В контексте (2 + 1)-мерных уравнений, т.е. уравнений с двумя пространственными переменными и одной временной переменной, Тода и Ю [10] построили несколько моделей, которые являются интегрируемыми. Упомянутые уравнения недавно были выведены с помощью предложенного Калоджеро метода, суть которого заключается в изменении одного из операторов пары Лакса в размерности (1 + 1). Таким способом из уравнения КДФ было получено уравнение (1). Хотя это уравнение возникает в нелокальном виде, оно может быть переписано следующим образом:
их их их
2
^ ^ихих2: ^ ^игиххх ^иххих2 ^ ^
иих иих
2 2 2 ихихг сигих , с 2 , о 2й их* г, 2й игихх ,
+ 2-5--6—+ 6 ии2а + 2а--2а -т--Ь
и их
+ 4аЪ^ - 4аЬ^р- + 2Ъ2^- - 2Ъ2^^ -6Ъ2Ц = 0. (3) их щ и*их игих ил
Хотя для исследования свойств интегрируемых (2 + 1)-мерных уравнений существуют различные средства, мы отдаем предпочтение анализу симметрии Ли. Свойства инвариантности некоторых физически важных нелинейных эволюционных уравнений, таких как уравнение Кадомцева-Петвиашвили и уравнение Дэви-Стюартсона, уже были исследованы посредством анализа симметрий Ли [11], [12]. В большинстве случаев соответствующая алгебра Ли содержит подалгебру типа Каца-Муди Вирасоро, однако
некоторые интегрируемые (2 + 1)-мерные уравнения не допускают такой подалгебры. Примерами подобных уравнений являются введенное Богоявленским уравнение, обладающее опрокидывающимся солитонным решением, (2 + 1)-мерное обобщение нелинейного уравнения Шредингера [13] и уравнение Шварца-КдФ [14].
Классическим методом нахождения редукций симметрии для дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) является метод групп Ли инфинитезималь-ных преобразований. Используя этот метод, мы обнаруживаем ранее неизвестные свойства инвариантности и подобия, которые сводят уравнение (3) к (1 + 1)-мерным ДУЧП.
В этой работе строятся редукции, приводящие к решениям вида бегущей волны с переменной скоростью, зависящим от вида некоторой произвольной функции. Сначала мы получаем точечную группу преобразований, которая оставляет уравнение (3) инвариантным. Мы рассматриваем редукции, выводимые из групп трансляций и бесконечномерных групп. Интересная особенность нашего исследования заключается в том, что данное интегрируемое (2 + 1)-мерное уравнение допускает бесконечномерные точечные группы Ли симметрий, но не допускает подалгебр типа Вирасоро.
Инвариантное исследование полученных в результате редукции (1 + 1)-мерных уравнений и дальнейшие редукции приводят к интегрируемым обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) второго порядка. Решения всех этих ОДУ выражаются через известные функции, некоторые из них могут быть выражены через трансценденты Пенлеве II и III. Мы строим также точные решения (2 + 1)-мерного интегрируемого обобщения уравнения КДФ. Некоторые из этих решений являются солитонными решениями, которые локализованы на кривой и экспоненциально затухают по мере удаления от этой кривой.
2. СИММЕТРИИ ЛИ
Чтобы применить классический метод к (2+1)-мерному ДУЧП (3), рассмотрим одно-параметрическую группу Ли инфинитезимальных преобразований в пространстве (х, ¿. г, и). Ассоциированная алгебра Ли инфинитезимальных симметрий есть множество векторных полей вида
ед а д д
Потребуем теперь, чтобы это преобразование оставляло множество решений уравнения (3) инвариантным. Данное требование приводит к переопределенной системе линейных уравнений для инфинитезимальных элементов £(х, г, и), г, и), т(х, г, и) и т](х, г, I, и). После того как инфинитезимальные элементы определены, переменные симметрии находятся путем разрешения условия инвариантности поверхности
, Ви Ви ди ...
Применяем классический метод к ДУЧП (3); соответствующая алгебра симметрий Ли зависит от констант а и Ь. Различаются следующие случаи:
решения вида бегущей волны для уравнения кдф
47
I подалгебры, р травление, обла-ле нелиней-
к-; :-ренциальных ■ с-1 ^снитезималь-р- • • тные свой-рным ДУЧП. л волны с пе--ш. Сначала ■вение (3) инва-й и бесконеч-вется в том, что ■фные точечные
I -мерных урав-лифференци-£г~ажаются че--дсценденты
Ьи . "ёгрируемого ■ровными реше-^чиере удаления
грим одного транстве : -:тъ множес-
(4)
ний уравне-теме линей-■г, г, и) и есим-
(5)
симметрии
1) при а ф 0, Ь ф 0 получаем генераторы
д
д д д
(6)
где - произвольная функция переменной Ь; 2) при а ф 0, Ь = О получаем генераторы (6) и
у1-х—-2г—~ —■ 4 дх дг ди'
3) при а = 0, Ьф 0 получаем генераторы (6) и
д „ д д
= --^.г ——I- м—;
4 дх дг 4) при а — 0, Ь — 0 получаем генераторы (6) и
д
ди'
где к(г) - произвольнал функция переменной г.
Заметим, что уравнение (3) не допускает подалгебры типа Вирасоро. В предыдущей работе мы выписали переменные подобия и решения подобия, а также системы ДУЧП, которые получаются при редукции (2 + 1)-мерного уравнения (3) посредством генераторов, полученных в результате добавления бесконечномерных генераторов к генераторам оптимальной системы.
Цель настоящей работы состоит в использовании теории симметрийных редукций для нахождения решений вида бегущей волны (2 + 1)-мерного уравнения КДФ. Для того чтобы получить такие решения, мы рассматриваем следующие редукции, связанные с трансляциями и бесконечномерным векторным полем, т.е. с генераторами VI,
у/И V*.
Редукция 1. Используя генератор VI + \\2 + V/, получаем переменные подобия и решение подобия
г\ = х — J /(£) ой, = 2 — М, и = Н(г1,22)
(7)
и ДУЧП Ех
8 Ь3к21 21 Н22 А — 8 Ь3к21 И21 22 А — 2 Н2Н21 И212121 к22 + 2 Н2Н2г 21 Ъ,22 +
+ 6 Н21 21 к22 -2 а2 /г5 Л
4 а Ь к3к21 21 к22 -2 Ь2 Ш
-
— б/г^ /гг2 + 6 И22 — 6 Ъ2}\?21 Ь22 + 2 /г3Лг1 Н21212122 —
— 2 Н3к2^21 Ь2121ц2 — 4 Л2Л21Лг121г2 ~ 2 И \zihz\zi 6 /Л]^ Ь2122 + + 2 а2Н5Н21Н2122 +4 аЬк3Н21к2122 +2 Ь2Н21Н2122 = 0.
При а = 0 и Ь = 0 получаем генератор VI -I- Ау2 + V/ + и решение подобия 2х = х - !22 = 2 - А£, и = г?) ехр|^ £
(8)
Редукция 2. Используя генератор + V/, получаем переменные подобия и решение подобия
.22 = *, и = /1(21,2 2) (10)
и ДУЧП Е2
— 8 /г3 /гг1 /гг2 - 2}{г2) Л3 /гг1 /1г1г1г1г1 + 2/(г2) /г3 /г212] Л21г1г1 +
г1 - 12 /(л2) Л /гг1г1 + 8 /г3 /1г1 /гг1г2 + + 6 /(г2)/4 - 6 а2 /(г2) /г4 Л®, + 6 Ъ2 }{г2) Л^ = 0. (11)
При а = 0 и Ь = 0 получаем генератор \2 + Vf + и решение подобия
г1—х — г}{1), 22 = ы =/1(21,22) ехр| ^/с(г) (12)
и ДУЧП (11)со = 0иЬ = 0.
3. СИММЕТРИЙНЫЕ РЕДУКЦИИ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Редуцированные (1 + 1)-мерные ДУЧП допускают сумметрии, которые делают возможным их дальнейшую редукцию к ОДУ. Мы снова используем технику теории групп Ли.
Уравнение Ех допускает следующие симметрии:
= Уа=а(22)-^' (13)
где а(г2) - произвольная функция переменной г2. Используя генератор УЦ + уа, получаем переменную подобия и решения подобия
w = Zl-J-^-йг2, Н = д(ю) (14)
и автономное ОДУ
- 93д'д"" + 939"д'" + 3д2(д')2д'" - бд{д'?д" +
+ 3(д')5 - 3а2д\д')3 + ЗЪ2(д')3 = 0. (15)
Разделив на д2(д')2, проинтегрировав один раз по га и умножив затем на д3{д')2, можно свести уравнение (15) к следующему автономному ОДУ второго порядка:
„ 3 {д')2 а2 о 362 1 2 д 2 2 д
Умножая на д~3д' и интегрируя один раз по ги, получаем
(д')2 = -а2д4 + 2 кхд2 + к2д + Ъ2 + 2къд3.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.