АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 3, с. 286-288
УДК 521
РЕЦЕНЗИЯ НА КНИГУ ДЖ. КОНТОПОУЛОСА "ПОРЯДОК И ХАОС
В ДИНАМИЧЕСКОЙ АСТРОНОМИИ", (ORDER AND CHAOS IN DYNAMICAL ASTRONOMY. SPRINGER. PHYSICS AND ASTRONOMY
LIBRARY. 2002. 617 P.)
В обстоятельной книге Дж. Контопоулоса затрагиваются многие важные аспекты теории динамических систем, в основном, применительно к изучению структуры и эволюции звезд и галактик. Обсуждаются основные принципы динамических систем, восходящие к А. Пуанкаре, рассмотрены примеры из небесной и статистической механики (задача N тел), для которых приводятся известные результаты аналитических исследований, а также более детальные результаты численного моделирования. Особое внимание уделяется проблеме порядка и хаоса в небесной механике. Автор справедливо отмечает, что с фундаментальными понятиями порядка и хаоса мы сталкиваемся не только в такой увлекательной области знаний, как динамическая астрономия, но и в других областях современной науки, таких как геофизика, физика плазмы, движение частиц во внешних электрических и магнитных полях, квантовая механика, космология и т.д.
Книга состоит из трех частей и краткого исторического обзора. В первом разделе рассмотрены общие проблемы порядка и хаоса. В двух последующих разделах эти проблемы обсуждаются применительно к галактикам и другим объектам динамической астрономии, начиная с Солнечной системы и кончая релятивистской астрофизикой. Обсуждение хаотических и упорядоченных систем включает в себя описание используемой терминологии и классификации различных систем. К ним относятся системы, имеющие решение, такие как интегрируемые гамильтонианы с различными потенциалами, включая третьи интегралы с различными формами разложения как для регулярных, так и для резонансных случаев. Большое внимание уделяется важной проблеме сходимости канонических преобразований в интегрируемой системе в переменных действие - угол, широко используемых в небесной механике. Рассматривается теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) для автономных гамильтоновых систем (наличие N-мерных инвариантных торов в системе с N степенями свободы) и ее применение к линейно устойчивым периодическим двумерным орбитам. Обсуждается глобальная теорема Нехорошева для орбитальной устойчивости во времени, а также частный случай инвариантного КАМ-тора и разрушение интегралов, чему отвечает исчезнове-
ние упорядоченных и появление хаотических орбит.
Подробно рассматривается построение переменной действия, играющей важную роль в различных приближенных методах, и связанных с ней адиабатических инвариантов системы, описываемой гамильтонианом, медленно изменяющимся со временем. Эти инварианты, в отличие от третьего интеграла в его соответствующей резонансной форме, применимы в случае нерезонансных орбит. В свою очередь, для периодических (устойчивых и неустойчивых) орбит используется отображение Пуанкаре в фазовом пространстве и его обобщение, периодически зависящее от времени, для консервативных систем с двумя степенями свободы, включая характеристики и бифуркации семейства орбит. Для не зависящих от времени гамильтоновых систем с двумя степенями свободы подробно анализируются известные результаты как для упорядоченных, так и для хаотических орбит в зависимости от возмущающего потенциала, при этом особое внимание уделяется появлению хаотических орбит, характеризуемых инвариантными кривыми различного типа, а также возникновению островков резонансов в интегрируемой системе. Параллельно рассматривается, в каком диапазоне меняется отношение вращательных чисел для регулярных и нерегулярных периодических орбит.
Особое внимание уделено переходу от порядка к хаосу, как следствие перехода от простого логистического отображения к собственным числам, соответствующим касательной бифуркации и, таким образом, к полностью хаотической системе. Кроме консервативной системы, обычно используемой в звездной динамике, в книге для сравнения также кратко рассмотрены диссипативные системы, в частности, особенности их перехода к хаосу, хаотические области, свойства КАМ-тора и методы определения его положения, а также примеры островков стабильности, их последующей эволюции и разрушения. Другой случай проявления нерегулярности (хаоса) - это сильное возмущение, вызванное гетероклиническими пересечениями орбиты, первоначально расположенной в различных областях фазового пространства. Этот частный случай имеет отношение к линейным эргоди-ческим системам и неявно соответствует полигональным бильярдам. Переход к хаосу может
РЕЦЕНЗИЯ НА КНИГУ ДЖ. КОНТОПОУЛОСА
287
произойти также, если гамильтониану системы присуще ограничение в виде наличия некоторой критической энергии, и орбиты могут уходить в бесконечность. Во многих динамических системах, в которых возможен такой уход, орбиты характеризуются максимальным потенциалом и тесно связаны с нестабильными ляпуновскими орбитами.
В заключительных главах первого раздела книги большое внимание уделено анализу динамического спектра и системам с тремя и N степенями свободы. Здесь обсуждается более или менее стандартное описание основных свойств характеристических чисел Ляпунова и их оценка для случая периодических и (или) хаотических орбит. Вводятся спектры различных систем и рассматриваются их специфические формы, разработанные для более аккуратного описания поведения орбит. Сюда же относится важная проблема - как отличить хаос от беспорядочности и шума. Специально рассматриваются вопросы, связанные с периодическими орбитами и классификацией типов устойчивости для динамических систем с тремя и более степенями свободы. Рассмотрение включает бифуркации и столкновения, теорему Крейна-Мозера (позволяющую различить устойчивые и неустойчивые системы с N > 3), распределение и комплексную нестабильность периодических орбит, а также области упорядоченности и хаоса в любой окрестности фазового пространства. Разработаны различные методы проецирования орбит в системе с несколькими степенями свободы (например, четырехмерная поверхность сечения Пуанкаре для пятимерного фазового пространства постоянной энергии, возникающая в автономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы), представлены непериодические орбиты в четырехмерных отображениях. Рассматривается диффузия Арнольда в этих системах и, в частности, возможность уменьшения их исходной размерности. При таком подходе, дополняемом компьютерным моделированием, важное значение в динамической астрономии приобретает проблема качественной оценки степени общности результатов, полученных в результате численных расчетов орбит.
На численных экспериментах основано изучение систем с N степенями свободы, когда рассматривается N частиц в телах или цепях, на которые воздействуют линейные и нелинейные силы. Целью таких экспериментов является нахождение связи между диффузией Арнольда и различными режимами общего распределения энергии с учетом задаваемой формы потенциала, взаимодействия частиц и резонансного или нерезонансного режима. Здесь используется аналогия с различными атомными явлениями, такими как упорядоченные или хаотические движения молекул, с учетом взаимодействия их внутренних и внешних мод и зависимости от критической энергии, которая медленно уменьшается за счет диффузии Арнольда. Исходя из такого подхода, можно говорить о том,
что классические константы применимы только для конечных времен и неприменимы при t —► Данная аналогия распространяется автором на динамику галактик. Показано, что характеристические числа Ляпунова для системы из N тел (вносящие вклад при вычислении колмогоровской энтропии) растут с ростом N, однако их рост прекращается при N ~10.
Второй раздел рецензируемой монографии посвящен анализу наблюдений структуры и динамики галактик, с акцентированием внимания на проявления в них порядка и хаоса. Основные семейства орбит в двумерных галактиках включают в себя эпициклические орбиты, резонансные периодические орбиты в области коротации и вне ее, коротко-, долгопериодические и непериодические орбиты. Сюда же примыкают орбиты ухода за область коротации, а также структуры плоских колец, ударных волн и вихрей в плоскости симметрии галактики. Среди основных семейств орбит в трехмерных галактиках выделяют неустойчивые орбиты, которые не совпадают с непериодическими орбитами и вносят хаос. В частности, они могут возникнуть из плоских орбит за счет множественных бифуркаций в направлении оси г. Эти орбиты непосредственно связаны с линдбладовскими резонансами, ограниченными частотой осцилляций в направлении оси г. Трехмерное семейство содержит также полярные кольца, искривленные и изогнутые галактики, а также специальные галактики, чья форма напоминает земляной орех или короб.
Много внимания уделено теоретическим вопросам построения галактических орбит, включая интегрируемые и неинтегрируемые модели галактик и, в частности, применение третьего интеграла для определения взаимодействия различных резонан-сов при воздействии возмущающей силы достаточно большой амплитуды, что приводит к хаотическому движению. Несомненный интерес также представляет обзор нелинейной теории волновой плотности спиральной структуры, разработанной в начале 1940-х годов Lindblad, и последующее детальное рассмотрение влияния спирального возмущения на плотность периодических орбит. Несколько моделей привлечено для объяснения причин исчезновения полос (bars) и спиралей в галактической структуре, а также следовых (trailing) волн в рукавах спиральных галактик.
Рассмотрены самосогласованные модели спиральных и эллиптических галактик. При этом используются различные подходы - аналитические методы (основанные на уравнениях Пуассона и Лиувилля и распределении плотности вероятности в фазовом пространстве), процедура релаксации к самосогласованным распределениям скорости, расчеты для N тел и методы, подобные методу Шварцшильда. Особое внимание уделено описанию методик численного моделирования системы N тел, включая столкновительную, бесстолкнови-тельную и хаотическую релаксацию, статистику
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 42 < 3 2008
288
ФРИДМАН, МАРОВ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.