ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2004, том 23, № 8, с. 75-79
ХИМИЯ АТМОСФЕРЫ
УДК 541.126
РЕЖИМЫ ВОЛНОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ
© 2004 г. П. М. Кришеник, К. Г. Шкадинский*
Институт структурной макрокинетики и проблем материаловедения Российской академии наук, Черноголовка *Институт проблем химической физики Российской академии наук, Черноголовка
Поступила в редакцию 01.10.2003
Исследованы структура и динамика высокотемпературного теплового фронта с нелинейной теплопроводностью, автомодельное распространение которого поддерживается химическими источниками энерговыделения. Приближенными аналитическими методами определены элементы структуры фронта и скорость его распространения. Проведен анализ устойчивости волновых структур и динамики их распространения относительно малых возмущений. Определены критические условия устойчивости и частота колебаний возникающих периодических фронтальных режимов. Проведен численный анализ нестационарной задачи волнового превращения в модельной среде со степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры.
В последние десятилетия принципы технологий самораспространяющегося высокотемпературного синтеза нашли применение как при получении новых материалов, так и в переработке токсических веществ [1]. Как правило, при фронтальном превращении таких систем температуры во фронте экстремально высокие и могут достигать нескольких тысяч градусов. Эффективность и надежность технологического решения здесь обеспечивается детальным теоретическим и экспериментальным анализом динамики процессов. В теории горения при анализе теплового распространения пламени, как правило, используются эффективные теплофизические характеристики. Они полагаются постоянными и соответствуют зоне максимальных температур. В сочетании с адекватным макрокинетическим описанием химического взаимодействия такой подход обеспечивает приемлемую точность определения скорости стационарного распространения фронта. Однако устойчивость фронта и температурная динамика разогрева с существенным перепадом температур являются сложной функцией процессов нелинейного теплопереноса.
При теоретическом исследованиях горения с учетом конкурирующих механизмов теплопередачи, лучистого и кондуктивного, высокотемпературная среда рассматривается как совокупность трех находящихся в энергетическом взаимодействии усредненных континуумов: твердого пористого скелета порошковой смеси, внутрипо-рового газа и фотонов (световых квантов). Процесс синтеза рассматривается в одномерном одно-температурном приближении, при сохранении модели доминирующих факторов теплопереноса,
и упрощенном диффузионном описании потока излучения [2]. В предельном случае малых размеров частиц и обычных предположений о макрокинетике химического превращения исследование сводится к анализу математической модели "безгазового горения" с нелинейной теплопроводностью Х(Т). Мы описываем процесс экзотермического превращения таких химических систем следующей системой уравнений:
дТ д Г^^.дТЛ
с р Э7 = д-Г Т) дТ) + ре ЭР
дп
д г
= (1- п) к ехр (- Е/ ЯТ),
(1)
(2)
где Т - температура среды, п - глубина превращения, с и р - теплоемкость и плотность реакционной смеси, Q - тепловой эффект химической реакции, к - предэкспонент, Е - энергия активации, Я - универсальная газовая постоянная, г и х - время и длина, Х(Т) = ^г(Т|Тг)п, здесь - эффективное значение коэффициента теплопроводности при температуре горения, Тг = Т0 + Q|c - адиабатическая температура превращения, Т0 - начальная температура, п - показатель температурной зависимости.
Мы опишем режимы однородного распространения пламени в форме бегущей волны Т(х, г) = = Т(х + иг), п(х, г) = п(х + иг), где и - скорость распространения фронта. Предложенная математическая модель нелинейная и не допускает аналитического решения. Предположение о сильной активированности химического взаимодействия (в = яТг|Е <§ 1) и высокой энергетичности экзотермического превращения (Т0|Тг <§ 1) позволяет
нам асимптотически проинтегрировать систему уравнений на основе подхода Франк-Каменецкого. В этом случае система уравнений (1), (2) должна быть решена в пренебрежении химическим тепловыделением перед и за фронтом реакции, что удовлетворяет условиям сопряжения в зоне реакции (Зельдович, Франк-Каменецкий). Выделим две качественно различные подобласти фронта: зону прогрева, где несущественное тепловыделение, и температурно-узкую зону реакции, где
T , 1- n = T)
c dT Qdx
Тогда в зоне реакции :
где
Р(T„/T)ndT + рcpkexp(-E/RT):
T) di=p(T) ■
0,
(3)
Используя условия сопряжения температур и потоков тепла на границе зон, мы получим уравнения для скорости распространения волны горения:
RT\
р QE
г к exp (- E/ RT„) ■
(4)
Несмотря на нелинейную зависимость X(T), для скорости движения фронта u получено классическое выражение, где сохраняется экспоненциальный характер зависимости от температуры. Так как в зоне подогрева p(T) = cpuT, то для степенной зависимости X(T) = ^(T/T^ мы получаем (при n > 0) пространственное распределение температуры. Структура зоны прогрева соответствует полученной Я.Б. Зельдовичем и A.C. Компанейцем [3] при анализе тепловых волн в высокотемпературной газодинамике. Мы интегрируем (1) и (2), используя граничные условия
(T( x)/Tj.)n = ncpu (x + Хф) при 0 > x > -Хф,
(5)
взаимодействия (зоны реакции НК) слабо зависят от п и соответствуют общепринятым в теории горения:
НК = и/кехр(-Е/ЯТг) - (Кг/сри)(ЯТг/Е). (6)
Существенное уменьшение ширины зоны прогрева с необходимостью приводит к уменьшению избытка энтальпии
АН(п) = |р[с(Т- Г0) - йп]йх
во фронте горения. Для оценки устойчивости волновой структуры проведена оценка избытка энтальпии АН(п). При п = 0 избыток энтальпии в зоне подогрева
АН(0) = Хг(Тг - То)/и,
а при п Ф 0 избыток энтальпии
АН (п) = АН (0) / (п + 1).
Из теории устойчивости фронта безгазового горения [4, 5] известно, что уменьшение избытка энтальпии во фронте стабилизирует его, т.е. делает фронт более устойчивым.
Стационарное решение Т0(х) представляется в следующем виде:
в зоне исходного состава (х < -Хф), область I, Т0( х) / Тг - 0; (7а)
в зоне прогрева (-Хф < х < 0), область II,
(Т0(х)/Тг) - [(псри/К)(х + хф)]1/п; (76) в области продуктов (х > 0), область III,
T (x) / T г - 1.
(7в)
Т (х) = 0 при х < -хф.
В адиабатическом случае температура в зоне реакции Т(0) - 0, и мы можем определить ширину зоны подогрева:
хф - Кг/псри.
Ширина зоны подогрева хф зависит от показателя степени температурной зависимости п. При п = 0 эффективная зона прогрева имеет экспоненциальный характер, а ее "эффективная ширина" совпадает с выражением, полученным при п = 1. Температурный профиль в зоне прогрева при постоянном коэффициенте теплопроводности (п = 0) следующий: Т = Тг ехр(срих/Кг). Пространственные размеры зоны эффективного химического
Используя метод малых возмущений [4, 5], мы линеаризуем задачу (1), (2), представляя однородную волну горения в следующем виде:
T(x, t) = T (x) + X(x)exp(юt)■
(8)
Здесь ю - неизвестная частота возмущений, X(x) -возмущенная температура. Подставляя (8) в (7) и линеаризуя соотношения, получим стационарные уравнения
В области III
■ ^ X-f uxx + xxx = 0.
(9)
В области (II)
- un x + [2 - П) xn + (x + Хф) xxx = 0. (10)
2
u
В области (I)
ю
х + х х = о.
(11)
X = сДеИ2
ах
ю
Ти(х + хф)
0.5
+
+ С2 8И2
Ю
2и
(х + хф)
0.5
Для п = 1 уравнение (10) сводится к уравнению Бесселя:
X = С1 /о\ 2
ю
- (х + хф) и
0.5
+
+ С2 Ко \ 2
ю
-(х + хф) и
0.5
^ (¿е,¥) = 0 и (¿е,¥) = 0.
(13)
ния. Ниже представлены величины определяющих параметров при трех значениях п.
Удовлетворяя на границах условиям сопряжения и линеаризуя эти соотношения, мы получим однородную линейную систему уравнений. Аналитическое описание решения связано с трудностями, так как уравнение (10) является уравнением с переменными коэффициентами. Аналитическое решение этого уравнения может быть найдено лишь при п = 1 и п = 2.
Для п = 2
п ¥
7е|2
0 1.06 4.24
1
1.45 4.52
2 1.82 4.98
Значения ¥ и ¿е|2 при п = 0 соответствуют ранее полученным в [6] результатам исследований устойчивости безгазового горения.
Видно, что с ростом п область неустойчивости к одномерным возмущениям сдвигается в область больших значений ¿е, при этом частота колебаний ¥ на границе устойчивости растет, а длина волны I уменьшается. Известно, что согласно закону Стефана-Больцмана плотность потока равновесного излучения 5 ~ Т4. При переходе к модели с нелинейной теплопроводностью такой закон соответствует п = 3. Экстраполируя результаты анализа устойчивости стационарного фронта горения, следует ожидать, что с ростом п граница устойчивости по параметру ¿е расширяется, а длина волны возникающего в области неустойчивости пульсирующего режима горения уменьшается.
Исследование устойчивости стационарного фронта опиралось на особенности его структуры. Отношение ширины зоны реакции к ширине зоны прогрева, согласно (6), равно
где С1 и С2 - амплитуды возмущений температуры в области II. Условие разрешимости алгебраической системы уравнений приводит к дисперсионному соотношению:
О(1+4О)05 = О(¿е-0.5)-О05(¿е + О)/, (12)
где О = (^|ср)(ю|и2) - безразмерная частота одномерных возмущений, ¿е = (Тг - Т0)Е|2ЯТ^ - число Зельдовича, / - комплексная функция. Для п = 1 функция / = /0(2О05)|/1(2О0'5) - отношение модифицированных функций Бесселя. Для п = 2 функция / = еШ О05.
Для поиска границы "колебательной" устойчивости подставим в уравнение (12) О = г¥. Выделяя действительную и мнимую части, уравнение (12) сведем к системе двух трансцендентных соотношений:
Нк / хф = пЯТг/Е.
(14)
Из анализа (13) определена частота ¥ колебаний на границе колебательной устойчивости и критическое значение ¿е, характеризующее границу устойчивости стационарного фронта горе-
В силу высокой энергетичности процесса, т.е. высоких температур в продуктах за тепловым фронтом
ЯТг/Е = 1/( 27е).
В области существования устойчивого фронта (согласно приведенным выше данным), где ¿е ~ 5, отношение ширины зоны реакции к ширине зоны прогретого слоя по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.