ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1156-1167
УДК 519.633
РЕЗОЛЬВЕНТНЫЙ ПОДХОД В МЕТОДЕ ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В НЕСАМОСОПРЯЖЕННОМ СЛУЧАЕ1
© 2015 г. В. В. Корнев, А. П. Хромов
(410012 Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский гос. ун-т) e-mail: KornevVV@info.sgu.ru; KhromovAP@info.sgu.ru Поступила в редакцию 18.11.2014 г.
Методом Коши—Пуанкаре контурного интегрирования резольвенты спектральной задачи дается обоснование метода Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения с комплексным потенциалом при минимальных требованиях гладкости начальных данных. Краевые условия берутся общего вида, когда одно содержит производные первого порядка, а второе — нет. В этом случае даже для эталонной задачи оператор спектральной задачи может иметь присоединенные функции в любом количестве. Существенно используется прием А. Н. Крылова ускорения сходимости рядов Фурье. Библ. 14.
Ключевые слова: смешанная задача для волнового уравнения, метод Фурье, формальное решение, спектральная задача, резольвентный подход.
DOI: 10.7868/S004446691507008X
ВВЕДЕНИЕ
Обоснование метода Фурье в задачах математической физики традиционно опирается на доказательство сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи, и рядов, получающихся из него почленным дифференцированием необходимое число раз. В.А. Стеклов, первым давший строгое обоснование метода Фурье, придерживался этой точки зрения (см. [1, с. 224]). Эта точка зрения сделала метод Фурье очень популярным, было проведено большое количество исследований и достигнуты значительные успехи. Информация обзорного характера содержится, в частности, в книгах [2]—[7]. Недостатком этого подхода является требование завышенной гладкости на начальные данные. Выход из данного положения намечен А.Н. Крыловым в [8], где предложен прием, позволяющий решать вопрос о дифференцируемости суммы рядов, подобных рядам Фурье, не прибегая к исследованию равномерной сходимости продифференцированных рядов. Приведем его слова: "Изложенный прием усиления быстроты сходимости рядов Фурье и нахождения производных от функций, ими представляемых, может служить для доказательства или проверки того, что представляемая рядом функция действительно удовлетворяет тому дифференциальному уравнению, как решение коего она найдена, хотя бы самый ряд и нельзя дифференцировать почленно требуемого число раз" (см. [8, с. 227]). В [7] приемом А.Н. Крылова с применением асимптотик для собственных значений и собственных функций успешно исследован ряд задач методом Фурье и значительно ослабил условия гладкости, а в ряде случаев эти условия гладкости стали минимально возможными.
В [9] предложен новый способ использования приема А.Н. Крылова, опирающийся на метод Коши—Пуанкаре интегрирования по спектральному параметру резольвенты оператора, порождаемого спектральной задачей по методу Фурье. Теперь уже не требуется никакой информации о собственных и присоединенных функциях и требуется лишь знание главных частей асимптотики собственных значений. Данный метод может быть с успехом применен к смешанным задачам, у которых спектральная задача несамосопряженная и при наличии собственных значений произвольной кратности. Один такой случай и рассмотрен в данной статье.
1) Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки РФ (проект № 1.1520.2014К).
Мы будем изучать следующую задачу:
= д2 и(x, t) _ q(x)u(x, t), x e [0, 1 ], t е(-а>,ю), (1)
dt dx
u'x( 0, t) + ß u'x( 1, t) + а 1 и(0, t) + ß 1 и(1, t) = 0, (2)
а и(0, t) + и(1, t) = 0, (3)
и(x, 0) = ф(x), и'(x, 0) = 0, (4)
где 9(x) e C2[0, 1] и q(x) e C[0, 1] и комплекснозначные, а, ах, ß, ß1 — комплексные числа. Условие и' (x, 0) = 0 берется для простоты. Важным является присутствие в краевом условии (2) линейной комбинации а1и(0, t) + ß1«(1, t), что вызывает дополнительные трудности по сравнению со случаем из [9]. Для формирования эталонной смешанной задачи (см. [10]) мы привлекаем оператор L0:
L0y = - У'' (x), y' (0) + ßy'( 1) = 0, а y( 0) + y( 1) = 0.
Оператор L0 в общем случае несамосопряженный. Более того, если взять а = 0, ß = 1 и вместо х взять £ = 1 — x, то придем к оператору, рассмотренному в [5], [6]. Он замечателен тем, что все его собственные значения двукратные и для каждого собственного значения имеем одну собственную и одну присоединенную функцию.
В результате указанного в [9] резольвентного подхода получаем классическое решение задачи (1)—(4) при минимально необходимых требованиях на 9(x): ф^) e С2[0, 1] и
Ф'( 0) + ß9' (1) + а1 Ф( 0) + ß1 Ф( 1) = 0, аФ( 0) + Ф( 1) = 0, аф"(0) + ф''( 1) - аq(0)ф(0) - q( 1 )ф( 1) = 0.
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Метод Фурье в применении к (1)—(4) связан со спектральной задачей для оператора L:
Ly = -y"( x) + q (x )y (x), U (y) = y'( 0) + ß y'( 1) + а^ (0) + ß1y (1) = 0, U2 (y) = а y( 0) + y( 1) = 0.
Будем изучать задачу (1)—(4) при дополнительном условии 1 + аß Ф 0.
Это условие необходимо и достаточно для регулярности краевых условий операторов L и L0 (см. [11, с. 73]).
22
Теорема 1. Собственные значения оператора L образуют две последовательности An = pn и А« = pn (А = р2, Reр > 0) и имеют асимптотики
Pn = 2nn + £,1 + Sn, рП = 2nп + £,2 + е«, « = «0, «0 + 1,•■■,
где
2 = -iln(d ±JJ-l) , d = -(а + ß)/(1 + аß), Sn = о(1), s« = o( 1).
(Это известный факт, см., например, [11, с. 74].)
Замечание. В [11] содержится более точная асимптотика собственных значений, но она нам не потребуется.
Обозначим через уП объединение двух непересекающихся окружностей {р | |р - (2пп + ^)| = 8}, ] = 1, 2, если Ф или один такой контур, если = £,2 и 5 > 0 достаточно мало. При этом п0 таково, что внутри каждого уп находятся р„ и рП п при п > п0. Пусть у„ — образ уп в А-плоскости. Да-
лее, пусть Rx = (L —XE) 1 — резольвента оператора L, где Е — единичный оператор, X — спектральный параметр. Формальное решение задачи (1)—(4) по методу Фурье возьмем в виде (см. [12], [13])
u(x, t) = —— I"(Rl ф)cosptdX - V — I"(Rl ф) cosptdX, (6)
2niJ 2n/J
Yr n -"<> Yn
где yr = {X||X| = r}, r > 0, фиксировано и таково, что внутри yr находятся все собственные значения оператора L, не попавшие в уи при n > n0.
Если все собственные значения простые, то очевидно, что обычное формальное решение задачи (1)—(4) по методу Фурье можно представить в виде (6). Если же есть кратные собственные значения, то (6) мы будем называть формальным решением задачи (1)—(4) в этом случае.
Отметим, что теперь в (6) не фигурируют явно ни собственные значения, ни собственные функции.
Лемма 1. Пусть — фиксированное число, не являющееся собственным значением оператора L, и у — один из контуров yr, yn при n > n0 (ц0 вне у). Тогда
f( R^) cos p tdX = I"----1— (Rx g) cos p tdX, (7)
J JX - ^o
YY
где g = (L - ^Е)ф.
Доказательство. Функция ф(х) принадлежит DL — области определения оператора L. Поэтому из g(x) = (L — ХЕ)ф + (X — ц0)ф следует Ryg = ф + (X — ^0)R^. Отсюда следует (7). По лемме 1 формальное решение u(x, t) представим в виде
u(x, t) = -^i( 1+ V j) ЩТ (R*g)cosptdX. (8)
Yr n - no Yn
Далее, будем считать, что не является также и собственным значением оператора L0, и n0 таково, что все собственные значения и оператора L0 при n > n0 попадают лишь в yn. Тогда имеет смысл представление
Uo(x, t) = -^i(I+ V j) XX-^^(R^g)cosptdX, (9)
Yr n - no Yn
где Rl = (L0 — E)—1.
По лемме 1, примененной к Rl вместо R^ и ф1 = R^g вместо ф, формула (19) принимает вид
Uo(x, t) = -2-Л/| j+ V jj(R^i)cosptdX,
Yr n - no Yn
т.е. u0(x, t) есть формальное решение следующей задачи:
SV-^ = e>2H(x,, u(x, o) = ф!(x), u'(x, o) = o, (10)
dt dx
u'x( o, t) + в u'x(1, t) = a u(o, t) + u(1, t) = o, (11)
которую мы назовем эталонной.
Относительно формального решения справедлива
Теорема 2. Формальное решение u(x, t) задачи (1)—(4) представимо в виде
u(x, t) = uo(x, t) + u1(x, t) + u2(x, t),
где и0(1) определяется по формуле (9),
ui(x, t) = - -г", ir^- ( - Rlg)cos Ptdk >
2 я i J A - ц 0
Yr
U2(X, t) = --Ц У f- i (RXg - R^g) COS ptdA.
2яi ^ JA - ц0
-- Ио
n > «о y„
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Рассмотрим уравнение
2
y" - q(x)y + p y = о. (12)
Пусть z1(x, p), z2(x, p) — решения уравнения (12) с начальными условиями
Zi(0,P) = 1, (о, p) = о, Z2(о, p) = 0, z2(о, p) = 1. При q(x) = 0 этими решениями являются
Zi(x, р) = cospx, z2(x, p) = ^sinpx.
p
Теорема 3. Для R f имеет место формула
Rf = Vi(x, P)(f Zi) + V2(x, P)(f Z2) + Mpf, (13)
где
Mf = jM(x,£,p)/(^, M(x,^,p)
Zi(x, p) Z2(x, p) Zi(£, p) Z2(£, p)
V!(X, Р) = -Ц{ [Щ(12)(Р¿2(1, р) + Р1 1, Р)) - V(12)12(1, р)](х, Р) +
+ [и1 (11)г2( 1, Р) - V(11 )(Р¿2(1, Р) + Р1 г2( 1, Р))]г2(х, р)}, V2(X, р) = -Ц* [-Щ(¿2)(Рг1 (1, р) + р 1 ¿1( 1, р)) + Щ(¿2)¿1 (1, р)]] (X, р) +
д(р)
+ [-Щ (¿1)¿1( 1, Р) + ^(¿2)(в¿1( 1, р) + РА (1, р))]](X, р) } ,
1
— (р) = ^(¿1) Щ2(¿2) - V (¿2) ^(¿1), —(р) Ф 0, (/ ¿) = .
0
Доказательство. Пусть у(х) = Я^. Тогда у(х) есть решение краевой задачи
у" - д (х) у + р2у = -/(х), Щ (у) = 0, и2(у) = 0. (14)
Общим решением уравнения (14) является
у(х, р) = СА(X, р) + С2^(х, р) + М/. Подставив эту формулу в краевые условия задачи (14), найдем с1, с2 и получим (13). Теорема 4. Для Я имеет место формула
Я/ = V?(х, р)/ ¿1) + v2(х, р)(/, ¿2) + Мр/,
x
О
где
v\(x, р) = -5-{[ и2 )pz2'c i, Р) - Ui(z02 )z2( i, р)] zl (x, p) + До (Р)
+ [U(z0)z0(i, Р) - U»(z0)pz0'(i, p)]z0(x, Р)} ,
V(x, Р) = -f-{ [-U»(z0)Pz0'(i, Р) + U°(z°0)z0(i, Р)]z0(x, Р) + Д0 (p)
+ [-U(z0)zi(i, Р) + U(z0)Pz0'(i, Р)]z2(x, Р) },
x 0 0 Mpf = j^x, РЖ%)Ъ, M>(x, p) = zJ(x, p) z02(x, p) 0 zip) z0p)
Д0(р) = U0(z°) U°0(z0) - U^z») U°2(z?) = -[a + p + (i + aP)cosp],
U (z) = z' (0) + pz'( i), U2(z) = U2 (z), Д0 (p)* 0.
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.
Теорема 5. В полосе |Imр| < h, где h > 0 и любое, имеют место асимптотические формулы
zi(x, р) = cos px + O(р , zi (x, р) = -p sin px + O(i),
z2(x, p) = sinppx + o(-Q, z2(x, p) = cospx + o(-p) ,
где оценки O(...)равномерны, поx e [0, 1]. (Эти оценки содержатся в [11, с. 59].) Теорема 6. Для z(x, р), j = 1, 2, имеют место формулы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.