ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2004, том 23, № 2, с. 100-109
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 537.311.3
РЕЗОНАНСНОЕ И АНТИРЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ НА ДЕФЕКТНЫХ УРОВНЯХ В КВАЗИОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
© 2004 г. Ä. Ä. Зембеков
Институт химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук, Москва
Поступила в редакцию 16.11.2002
На основе метода матрицы перехода (transfer matrix) и формализма матрицы рассеяния разработан метод расчета электронной проводимости в квазиодномерных системах. Метод применяется к трех-терминальной системе, имеющей T-образный квантовый контакт. Показано, что задача может быть сведена к проблеме электронного переноса в эффективной одномерной системе, в которой две квантовые проволоки соединены квантовой точкой -контактом, содержащим дискретные уровни. Таким системам свойственна сложная структура осцилляций в проводимости, характеризуемая резонансами t = 1 и антирезонансами t = 0. Система с N атомами в боковой цепи характеризуется N антирезонансами и N - 1 резонансами, возникающими вследствие гибридизации локализованных состояний квантовой точки с состояниями непрерывного спектра, составляющими зону идеальной квантовой проволоки. Положение антирезонансов на энергетической шкале совпадает с положением уровней энергии квантовой точки.
1. ВВЕДЕНИЕ
Недавние достижения в экспериментальных исследованиях электропроводности квазиодномерных углеродных нанотубуленов и двумерных графитовых полос (так называемых "галстуков") [1, 2] возрождают интерес к проблеме электронного транспорта в квазиодномерных системах с дефектами. Дефекты в зоне проводимости можно разделить на два типа. Первый соответствует изменению атомной орбитали при сохранении общего числа орбиталей. Это достигается заменой одного атома однородной цепочки на посторонний атом. Второй тип дефекта возникает при добавлении одной или нескольких орбиталей к зоне путем внедрения примеси в образец. В применении к квазиодномерным системам, какими являются углеродные нанотубулены, это может происходить при адсорбции посторонних атомов и молекул на их поверхности. Другой пример связан с наличием в нанотрубке топологических дефектов, например дефектов типа пентагон-гептагон. Квазиодномерную систему в этом случае можно представить следующим образом. К вытянутой вдоль оси трубы однородной цепочке атомов углерода присоединена цепочка атомов углерода, но с другими параметрами взаимодействия. Пример однородной цепочки с отростком имеет и самостоятельное значение. Во-первых, небольшой отросток может служить источником локальных мод, т.е. является квантовой точкой и поэтому представляет интерес при исследовании процессов прохождения электронов через квантовую точку. В этом контексте он интересен и с практической точки зрения при конструировании электронных наноустройств. Во-вторых, этот пример
моделирует так называемое трехтерминальное электронное наноустройство - систему трех квантовых проволок с одним местом контакта, служащим центром рассеяния мод, распространяющихся по каждой проволоке.
Данная работа посвящена расчету плотности состояний и коэффициента проводимости в многотерминальных системах в рамках модели сильной связи. Будет показано, что общую проблему электронного переноса в многотерминальных системах можно свести к проблеме электронного транспорта в эффективной двухтерминальной системе. Будет показано, что коэффициенты прохождения и отражения имеют сложную структуру, зависящую от числа атомов в отростке и типа взаимодействия. Эта структура является следствием интерференции баллистического канала в квантовой проволоке с резонансными модами в квантовой точке. В результате внутри зоны проводимости возникают многочисленные осцилляции коэффициента проводимости г, характеризуемые резонансами (идеальное прохождение, г = 1) и антирезонансами (идеальное отражение, г = 0).
2. МОДЕЛЬ И МЕТОД РАСЧЕТА
Гамильтониан системы и описание прохождения волн
через одиночный дефект с помощью матрицы перехода
Базовой моделью здесь служит идеальная бесконечная одномерная цепочка атомов, в середине которой имеется дефектный атом. Гамильтониан
системы в приближении сильной связи можно записать следующим образом:
Н = Ю^Х^ + а(|5_1>(?о| + |^о><^_1|) +
+ ^
+ Р(ко><^| + М<£о|) + > е|^Ж| +
п = п Ф 0
+ > х (Ю<^ + 1| + кп +1><^п|).
п = п Ф 0 Ф 1
(1)
>
Е) = > С, (Е)^р>.
(2)
хСп-1 + (£ - Е)Сп + хСп + 1 = 0,
х С-2 + (£ - Е) С-1 + а С0 = 0, х С-1 + (ю - Е) С0 + р С1 = 0, х С0 + (е - Е) С1 + а С2 = 0.
\п\ > 1,
(3)
к» =
Сп
Сп -1
жения для элементарных пропагаторов в цепочке с одним дефектом в ячейке с номером г = 0:
Рп (Е) =
Р0 (Е) =
Е-е х 1
-1 0
Е---- ю
в 1
-а " в
0
Р-1 (Е) =
Р1 (Е) =
Е-е а 1
Е----е-
х 1
х а 0
-в
х
0
(4)
Гамильтониан определяется набором пяти параметров, а именно е, х, ю, а, в, где ю является энергией для атомной орбитали |я0>, моделирующей дефект цепочки (примесный атом), а(в) определяет взаимодействие примесного атома с его левым (правым) соседом, е является энергией для атомной орбитали в упорядоченной цепочке, а х определяет энергию взаимодействия атомов в регулярной цепочке.
Собственные функции гамильтониана (1) в базисе локализованных функций |яп> можно записать следующим образом:
Согласно (1) и (2), амплитуды Ср(Е) для соседних ячеек выражаются системой следующих разностных уравнений второго порядка:
Матрицы пропагаторов являются симплектичес-кими. Любое их произведение также является симплектической матрицей. Важное свойство таких матриц состоит в том, что они сохраняют плотность тока. Следует отметить аналогию рассматриваемой дискретной динамической системы с непрерывными динамическими системами, сохраняющими фазовый объем. Описание динамики в дискретных квантовых системах с помощью матриц перехода, составленных из произведений пропагаторов (4), эквивалентно использованию формализма матрицы монодромии в непрерывных динамических системах. Применение пропагаторов позволяет определить амплитуды волновой функции в каждой ячейке цепочки лишь при определенном выборе граничного условия. В частности, если положить известным значение вектора К_1, то все векторы Кп можно получить перемножением четырех элементарных пропагаторов, определенных формулами (4):
К =
Г Рп ~2( Р1 Рс Р1) к
Р+1К-
если п > 2, если п<-1.
(5)
Эта система может быть представлена системой векторных разностных уравнений первого порядка [3-5]. Для этого введем вектор
и пропагатор Рп (Е), соответствующий прохождению через ячейки регулярной цепочки, который для |п| > 1 действует на векторы Кп следующим образом: Кп + 1 = Рп (Е)Кп. Аналогично для г = -1, 0, 1 определим пропагатор, описывающий прохождение через дефект Кг + 1 = Рг (Е)Кг для г = -1, 0, 1. Из формул (3) легко получить матричные выра-
Решения Кп при |п| > 1, т.е. вне дефекта, можно разбить на две плоские волны, движущиеся слева направо и справа налево. Распространение волн,
вызванное действием пропагаторов Рп (Е), сопровождается при этом только сдвигом фаз волновых функций. При таком подходе полезно рассмотреть спектральные свойства пропагаторов
Рп (Е). Будем исходить из следующего тождества: [Рп (Е)]п = и[В (Е)]пи. Здесь и - унитарное преобразование, приводящее матрицу Рп (Е) к диагональному виду В (Е). При этом новые базисные функции Уп связаны со старыми базисными функциями Кп следующим соотношением:
У„ = и К =
(V,
Чтобы различать распространение волн слева от дефекта, вблизи дефекта и справа от дефекта разобьем уравнения для пропагаторов в новом базисе аналогично тому, как это было сделано в (5):
р
[D(E)](n-2)V2, если n > 2, Vn = \ [D(E)](n + 1)V_u если n <-1, (6) P(E)V-1; если n = 2.
Пропагатор Р (Е), характеризующий прохождение через дефект, имеет следующий вид:
P (E) = U- Pi Po P-iU.
(7)
D (E) =
X 0 0 X-1
Непрерывный спектр При А = q2 - 4 < 0, |E - £| < 2x собственные значения матрицы Pn являются комплексными и равными вгб и причем величина б определяется дисперсионным соотношением E = £ + 2х cos б. При исследовании распространения волн в цепочке с дефектами удобно использовать метод матрицы перехода 2T(E), которая связывает амплитуды волн, распространяющихся справа и слева от дефекта [4, 5]:
Удобство метода, основанного на использовании базиса Уп, в котором матрицы Рп приведены к диагональному виду, состоит в том, что он позволяет провести границу между дискретными состояниями, локализованными вблизи дефекта, и состояниями непрерывного спектра, которые соответствуют свободному распространению волн в обе стороны от дефекта. Различие следует из существования действительных и комплексных собственных значений в спектре Рп. В рассматриваемой однока-нальной задаче разбиение спектра на зону проводимости и локальные состояния определяется знаком
дискриминанта матрицы Рп, равного А = q2 - 4, где q = (Е - е)/%.
Дискретный спектр
Рассмотрим сначала случай А > 0, т.е. |Е - е| > 2|х|. Поскольку матрица Рп является симплектичес-кой, ее действительные собственные значения равны X и Х-1. Пропагатор В (Е), характеризующий прохождение решения вдоль однородной цепочки, имеет следующий вид:
%
= ^ (E)
(8)
Волны, распространяющиеся слева направо, обозначены буквами М и %, а волны, распространяющиеся справа налево, обозначены буквами Ш и Э. Поэтому амплитуды волновых функций Сп вне дефекта могут быть представлены следующим образом:
Cn =
1втв +
-in 9
, если n<-1,
Лв
in9 -in9 л
+ w в , если n > 1.
(9)
С другой стороны, с помощью формул (6) эти выражения представляются в следующем виде:
2 гб
in 9
-2 ¡9 -¡п9 ^ л
I е V, е + е w1e , если п <-1, Сп = \ (10)
-¡9 ¡п9 ¡9 -¡п9 ^ л
I е ч2 е + е е , если п > 1.
Из формул (9), (10) и (6), (7) следует, что матрица переноса 2Т(Е) имеет следующий вид:
№) =
Р-3 гб ^ г9
ив P12 в
Р-гб п з г б
v 21 в P22e j
f F( E) G* (E) Л G( E) F* (E)
. (11)
Известно, что матрицу переноса 2Т(Е) можно представить в виде
№) =
Из (6) следует, что при п < -1 амплитуда wn равна wn = Х-(п + 1)^-1. Поскольку решения Кп являются ограниченными на бесконечности, w-1 = 0. Аналогично можно получить другое граничное условие: v2 = 0. Решения спр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.