РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 7, с. 647-652
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
РЕЗОНАНСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА В МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СЛОЯ МЕТАМАТЕРИАЛА © 2014 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1 Е-таИ: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 20.05.2013 г.
Численно исследована двумерная задача возбуждения нитевидным источником полого кругового цилиндра из метаматериала, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого — отрицательные величины. Установлено, что при значениях относительной диэлектрической проницаемости, близких к минус-единице, в полых цилиндрах электрически малого диаметра существуют высокодобротные резонансы. Показано, что если источник цилиндрической волны расположен внутри полости, то на резонансной частоте происходит преобразование ненаправленного излучения в мультипольное излучение с большим числом одинаковых лепестков в диаграмме направленности. Рассчитаны картины ближних и дальних полей. Исследовано влияние потерь на характеристики резонанса.
БО1: 10.7868/80033849414070031
ВВЕДЕНИЕ
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Задача дифракции электромагнитных волн на телах из метаматериала является одной из наиболее обсуждаемых в современной научной литературе. Первоначально термин "метаматериал" применяли только к средам Веселаго [1], т.е. к средам, у которых одновременно отрицательны диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости. Позднее этот термин стали использовать и для обозначения искусственных сред, у которых б < 0, ц > 0 или б > 0, |< 0 [2, 3].
В работе [4] исследована двумерная задача дифракции цилиндрической волны на полом цилиндре из метаматериала с параметрами б < 0, ц < 0. Были обнаружены и исследованы высокодобротные резонансы, которые возникают в цилиндрах электрически малого диаметра при значениях диэлектрической проницаемости, близких к минус-единице (для случая ТМ-поляризации). Показано, что такую структуру можно рассматривать как высокодобротный кольцевой резонатор на сильно замедленной поверхностной волне цилиндрического слоя. В отличие от [4] в данной работе исследуется случай, когда нитевидный источник расположен внутри полого цилиндра.
Рассматривается задача возбуждения нитевидным источником кольцевого слоя метаматериала с параметрами б < 0, ц < 0. Исследуется случай ТМ-поляризации; предполагается, что источник расположен внутри кольца (рис. 1).
Сформулированная задача сводится к нахождению скалярной функции и (г, ф) = Hz (г, ф), которая должна удовлетворять неоднородному уравнению Гельмгольца
д дг
1 д+1
9 ' 9 9
г дг г дф 41,
к е(г)|д(г)
и(г, ф)
(1)
= —8(г - г0)8(ф), г
где к — волновое число в свободном пространстве, функции е(г) и ц(г) определяются следующим образом:
е(г) =
ц(г):
1, 0 < г < а,
е, а < г < Ь,
1, г > Ь,
1, 0 < г < а, ц, а < г < Ь,
1, г > Ь.
Рис. 1. Геометрия задачи.
На границах r = a, r = b должны выполняться условия
U(a - 0,ф) = U(a + 0,ф), U(b - 0,ф) = U(b + 0,ф),
^(a - 0,ф) = 1 dU(a + 0,ф), dr s dr
1 dU(b - 0,ф) = dU(b + 0,ф).
s dr dr
(3)
Поле и (г, ф) должно также удовлетворять условиям излучения, т.е. при кг ^ да иметь вид
и (г, ф) = Ф(ф) (2/ пкг)1/2 ехр (-1кг +1, (4)
где Ф(ф) — диаграмма направленности.
Поле падающей цилиндрической волны является решением уравнения (1) при б = 1, ц = 1 и определяется по формуле
и0(г, ф) = Н02) (ку/г2 + г02 - 2гг0 ео8 ф), (5)
где Н02) — функция Ганкеля. Диаграмма направленности поля и 0(г, ф) имеет вид
Ф (ф) = exp(/kr0cos ф).
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Сформулированная в разд. 1 задача допускает аналитическое решение методом разделения переменных (ряд Рэлея [5]). Приведем основные формулы метода Рэлея.
Введем следующие обозначения:
Ат(кЬ) = Гт(кЬ)1т(кпЬ) - п1т(кЬ)Гт(кпЬ),
6
Bm(kb) = J'm(kb)Hl2>(knb) - nJm(kb)H[m>\knb),
s
Cm(kb) = H(m)\kb)Jm(knb) - nH(mXkb)J'm(knb),
(7)
s
n n-(2),
Dm(kb) = H^kbW^knb) -nH^(kb)H^(knb),
s
где
= л/ёЙ,
(8)
(6)
] т — функции Бесселя, штрих означает дифференцирование по аргументу.
Поле внутри полости (0 < г < а) может быть представлено в виде
U (r, Ф) = U 0(r, Ф) + X
m=0
5mJm(krp) [Cm(kb)Dm(ka) - Cm(ka)Dm(kb)] Jm(kr)cos(mф) Sm(ka, kb) ,
(9)
где
Sm(ka,kb) = Am(ka)Dm(kb) - Bm(ka)Cm(kb), (10)
8 m = f m = 0'
[2, m > 1.
(11)
n
X)
РЕЗОНАНСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА
649
Поле внутри кольца (a < r < b) имеет вид
2i " 5mJm(krü)\Dm(kb)Jm(knr) - Cm(kb)H(m\knrj\cos(mp)
U(r, Ф) = — I-!=-J-
nka
m=0
Sm(ka, kb)
(12)
Поле вне цилиндра (r > b)
(2)
-4 5 mJm(kro)Hm (kr) cos(m9)
U(r, Ф) = 2k2 b п k abe
I
m=0
Sm(ka, kb)
Диаграмма направленности поля
-4 ^ (i)m5 mJm(kro)cos(m(p)
ф(ф)
2 2 n k abe
I(
i=0
Sm(ka, kb)
(13)
(14)
(kbm )
2 _ m(m - 1)
2a
(1 - a 2)(s + 1) ±
±4(1 + a2)2(6 + 1)2 -16a2m+2
(18)
m > 2.
Условием применения этого выражения является
В качестве примера рассмотрим цилиндр с параметрами
6 = -1.01, |a = -1, а = 0.26.
(19)
Для того чтобы правая часть выражения (18) была положительной, необходимо выбрать знак "плюс". В результате получим
kb4 - 0.32.
(20)
Ряды (9), (12)—(14) содержат резонансный знаменатель Sm(ka, kb). Выразим радиус внутреннего цилиндра a через коэффициент а и радиус внешнего цилиндра b согласно формуле
a = ab, a < 1. (15)
Знаменатель в (9) является комплексной функцией параметра kb. При kb < 1 и nkb < 1 вещественная часть знаменателя Sm значительно превышает его мнимую часть. Вещественная часть резонансного знаменателя обращается в нуль в точках kbm, которые и являются резонансными частотами.
Из результатов работы [4] следует, что для случая ТМ-поляризации качественное поведение низкочастотных резонансов практически не зависит от параметра ц. Поэтому для определенности далее будем полагать
| = -1. (16)
Приближенное уравнение для резонансных частот kbm вытекает как частный случай (ц = -1) из более общего уравнения (29) в [4] и может быть записано в виде
[(kbm)2 + m(m2 - 1)(е + 1)]х
x[a2(kbm)2 - m(m2 - 1)(е + 1)] + (17)
+ 4m2(m2 -1)2a2m = 0, m > 2.
При получении этого уравнения использованы асимптотические представления для цилиндрических функций малого аргумента.
Решение квадратного уравнения (17) имеет вид
малость величин s + 11 и а
Индекс т = 4 является наименьшим, так как при т = 3 подкоренное выражение в (18) становится отрицательным. С увеличением азимутального индекса т значения резонансных частот возрастают.
Рассмотрим другой случай:
6 = -0.99, ц = -1, а = 0.27. (21)
Очевидно, что наименьшее значение частоты кЬт достигается в формуле (18) при выборе знака "минус". В частности, при т = 4 получим
кЬ4 - 0.29. (22)
Как и в предыдущем случае, индекс т = 4 является наименьшим.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Используя ряды Рэлея (9), (12)—(14), исследуем зависимость волновых полей от геометрических и электродинамических параметров цилиндра. Во всех расчетах координату источника полагали равной г0 = 0.5а. На рис. 2 представлена зависимость модуля поля и в точке г = Ь, ф = п, расположенной на внешней поверхности цилиндра, от параметра а = а/Ь, характеризующего относительный размер внутренней полости. При этом величину частоты кЬ предполагали фиксированной, равной 0.3. Видно, что при некоторых значениях параметра а происходит резкое возрастание поля. Нумерация пиков т на этом рисунке выбрана так, что при резонансных значениях параметра а т поле с большой точностью описывается одной азимутальной гармоникой ео8(тф). Таким образом, меняя толщину слоя, можно добиться резонанса гармоники практически с любым значением азимутального индекса т.
Исследуем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) цилиндра, под которой будем понимать зависимость модуля поля в точке г = Ь, ф = п от безразмерного параметра кЬ, пропорционального частоте.
\ЩЬ, п)| 103
102
101
100
0.5 а
Рис. 2. Зависимость модуля поля \и (Ь, п)| от параметра а = а/Ь при £ = -0.99, Ц = -1, кЬ = 0.3 Ц) = 0.5а.
На рис. 3 изображена АЧХ для двух наборов параметров задачи, определяемых формулами (19) и (21). В приведенном диапазоне частот каждая из АЧХ имеет единственный резонансный пик, соответствующий гармонике т = 4, Отметим, что найденные путем строгих расчетов значения резонансных частот кЬ4 = 0.3057988 и кЬ4 = 0.2870887 хорошо согласуются с величинами (20) и (22), полученными по приближенной формуле (18).
Диаграмма направленности на резонансной частоте кЬ4 = 0.287... представлена на рис. 4. Диаграмма состоит из восьми одинаковых лепестков.
На этом же рисунке представлена диаграмма направленности на нерезонансной частоте кЬ = 0.36. Эта диаграмма приближенно описывается функцией |Ф(ф)| « 1, которая совпадает с диаграммой
направленности Ф °(ф) первичного поля (см. (6)), т.е. кольцевой слой всюду, кроме узких резонансных полос, является прозрачным.
Таким образом, рис. 4 наглядно демонстрирует эффект преобразования ненаправленного излучения (кривая 2) в мультипольное излучение (кривая 1) с большим числом азимутальных гармоник. Отметим, что амплитуда диаграммы излучения на резонансной частоте оценивается величиной 6 х 102. При этом распределение поля на внешней поверхности описывается единственной
гармоникой А4 ео8(4ф), где А4 ~ 3 х 106 (рис. 5).
Расчеты полей на резонансной частоте кЬ4 = = 0.3057988 для цилиндра с параметрами (19) дают результаты, которые качественно не отличаются от приведенных на рис. 4, 5.
На рис. 6, 7 изображены зависимости полей резонансных колебаний на частотах кЬ4 = 0.305... и кЬ4 = 0.287... от радиальной координаты г. Кривые на этих рисунках соответствуют различным значениям диэлектрической проницаемости (б = -1.01 и б = -0.99) и различаются поведением поля внутри слоя; они соответствуют противофазному и синфазному распределениям полей на границах г = а и г = Ь [4]. Точка е = -1 разделяет эти типы колебаний. Как и в случае сплошного цилиндра, при 6 = -1, ц = -1 в полом цилиндре высокодобротных низкоча
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.