научная статья по теме РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА УПРУГИХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ТЕЛАХ И ОБОЛОЧКАХ Физика

Текст научной статьи на тему «РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА УПРУГИХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ТЕЛАХ И ОБОЛОЧКАХ»

АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА

534.26

РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА УПРУГИХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ТЕЛАХ И ОБОЛОЧКАХ

© 2014 г. А. А. Клещёв

С.-Петербургский государственный морской технический университет 190008С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3 E-mail: alexalex-2@yandex.ru Поступила в редакцию 10.10.2013 г.

На основе динамической теории упругости с использованием потенциалов Дебая найдены резонан-сы упругих сфероидальных тел (вытянутых и сжатых) как сплошных, так и в форме оболочек. Помимо аналитических решений приведены результаты расчетов на компьютерах угловых характеристик и сечений рассеяния упругих сфероидальных тел.

Ключевые слова: резонанс, упругий рассеиватель, граничные условия, сечение рассеяния, потенциал Дебая.

DOI: 10.7868/S0320791914030101

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 253-261

УДК

Впервые Дебай предложил разложение векторного потенциала A на скалярные потенциалы U и V в работе [1], посвященной изучению поведения световых волн вблизи точки или линии фокусировки. Позднее такой подход успешно был использован при решении задач дифракции электромагнитных волн на сфере, круглом диске и параболоиде вращения [2—7], а также дифракции продольных и поперечных волн на упругих телах сфероидальной формы [8, 9].

Применительно к задачам, базирующимся на динамической теории упругости, введение потенциалов Дебая происходит по следующей схеме. Вектор смещения u упругой изотропной среды подчиняется уравнению Ламе:

(X + ^)graddivu - ц rot rot u = -рю2и, (1) где X и ц — коэффициенты Ламе; р — плотность упругой изотропной среды; ю — круговая частота гармонических колебаний.

По теореме Гельмгольца вектор смещения u представляется в виде скалярного потенциала Ф и векторного потенциала A:

u = - grad Ф + rot A. (2)

Подставляя (2) в (1), получим уравнения Гельмгольца для потенциалов — скалярное для Ф и векторное для A:

Дф + Н2Ф = 0, (3)

ДА + к2 A = 0, (4)

где h = ю/ c1 — волновое число упругой продольной волны, c1 — скорость этой волны; к = ю/ c2 — волновое число упругой поперечной волны, c2 — скорость поперечной волны.

В скалярном уравнении (3) в трехмерном случае переменные разделяются в 11 координатных системах, что же касается уравнения (4), то из него в трехмерной задаче удается получить три независимых уравнения для каждой из компонент векторной функции A только в декартовой системе координат. Для преодоления этого препятствия и используются потенциалы Дебая и и V, подчиняющиеся скалярному уравнению Гельмгольца:

ДУ + кV = 0, Ди + к2и = 0. (5)

Векторный потенциал A (по Дебаю) следующим образом раскладывается с помощью потенциалов и и V:

А = гоио^К и) + 1к го^И V), (6)

где R — радиус-вектор точки упругого тела или упругой среды.

Покажем эффективность использования потенциалов Дебая при решении трехмерной задачи дифракции на упругом сфероиде [9]. Трехмерная задача дифракции на упругом сфероидальном рассеивателе решается с помощью потенциалов Дебая и и V, через которые выражается векторная функция A в соответствии с представлением (6):

А = гоио^ и) + /к2го^У), где к2 — волновое число поперечной волны.

Эффективность такого представления становится очевидной, если учесть, что потенциалы и и V подчиняются скалярному уравнению Гельмгольца. Удобно сначала записать компоненты A в сферической системе координат, выразив их через и, Vи R, а затем по формулам векторного анализа перейти к сфероидальным компонентам.

П = еош1

А, = [Н ((-1 + п2)]

д01 дЯ дЪ2

+

д^ дц д2В д^ дц д2 В + дцдцд^А + 50, дЯ д^дп дЯ д01 д£,дп дЯ д01 дп2

+ дВ д+ дВ д 2п д\ дЯд01 дп дЯд01

2 -,2

+ 1к2 (ап 01 )-1 дф, дф

-(дк\ дВ + 2 дп д В

■ +

\ЭЯ! д%2 дЯ дЯ дпд%

+ (()+4 дВ + д2п дВ + к^в,

1дЯ/ дп2 дЯ2 дЯ2 дп 2

а = [(( -1 + п2 )п ел

1 А2 О 1

- к

-1

д£, д2В + дп д2В дЯ д^дф дЯ дпдф_ Я2

д^дГ + дпдт _де1 д£, де1 дп_

где Н = НД2 -пУ20;2 -¿п = ко& -П2)^2 х

х (1 -пУ2.

Выберем в качестве рассеивателя упругую изотропную сфероидальную оболочку (рис. 1). Все потенциалы — потенциал плоской волны Ф0, потенциал рассеянной волны Фь скалярный потенциал оболочки Ф2, потенциалы Дебая и и V, а также потенциал Ф3 газа, заполняющего оболочку, — раскладываются в ряды по волновым сфероидальным функциям:

(7)

Рис. 1. Упругая сфероидальная оболочка в поле плоской гармонической волны.

Выражения для сферических компонент векторной функции А(АЯ, А01, \) через потенциалы Дебая имеют следующий вид [9]:

Ф0 = 2ХХ' "гС По)><

т=0 п>т > ^т ,п

С п) яШ,п (Сь ^)ео8 Шф,

да да

Ф1 = 2ЦВЛп (С1, п)яШ3П (С1, ^)ео8 Шф, (8)

ш=0 п>т

(9)

Ф 2 = (С, п)ео8 ШфХ

ш=0 п>т

Х ГСш,пЯт,п (С,, $) + (С,, $)],

да да

Ф 3 = 2ХХ^ш,пЯШП (С2, ^ (С2, п)ео8 Шф, (10)

Ш=0 п>т

и = (С, фт шфх

ш=1 п>т

х [^ш.пЯШ.п (С,, %) + 0ЩпЯ®п (С,, £)],

да да

V = 5Щп (С,, п) ео8 Шф X

Ш=0 п>т

(11)

(12)

Х \_Нт,пЯШп,п (С,, + 1 т,пЯш,п , ,

где С, = к1Н0, С, = к2Н0, С1 = кН0,к — волновое число звуковой волны в газе-заполнителе, Вшп, Сшп, Бтп, Еш,п, Рт,п, От,п, ищю 1тп - неизвестные коэффициенты разложений; Smn(C1, п) — нормированная вы-

тянутая угловая сфероидальная функция; я!Щ,п(С1, £)

•(2)

и ЯШпп(С,, £) — радиальные вытянутые сфероидальные функции 1-го и 2-го родов соответственно. Коэффициенты разложений отыскиваются из роидальные координаты, они изменяются в пре- физических граничных условий на обеих поверх-

где В = Н0 (2,2 - 1 + п2) и; 2,, п, Ф — вытянутые сфе-

делах: 1 < 2, < да; -1 < п < +1; 0 < ф < 2п.

Сфероидальные компоненты функции А(А^, Ап, Аф) будут равны [9]

л л ¿0 е/е2 , , 2-Л12 х А ¿0/^2 л , 2,^2 501

А = АЯ--- 1 + П У + Ав1 , -1 + П У тт

Не Не д^

л л Н0 /е2 , , 2,112 , . Н0 ,у2 , , глп д01

А = Аят0-1 + П)1 + - 1 +

Н Н дп

АФ = Ар,

ностях (^ 0 и см. рис. 1):

1) непрерывность нормальной компоненты смещения на обеих границах 2,0 и

2) равенство нормального напряжения в упругой оболочке звуковому давлению в жидкости (£, 0) или газе (^1);

3) отсутствие касательных напряжений на обеих границах оболочки 2 0 и

В соответствии с этим граничные условия примут вид [9]

(к, )-11 (фо +ф! ) = (к, )-1 д-ф

(КпКФ)

-1

(13)

(к) -ZT = (к) -тг +

(hnhp)-1

Ldn(h'41 )-¿(k41)

-X0k2 (Ф0 + Ф1) = -А^Ф2 +

¡K1

+ 2и

+ 2^1

)-11П U + (К)-1ff j

-X 2^2Ф 3 = 2 +

, 4-1 dht . 4-1 dut (кК) Un + (h) -f

о =

0 =

дц

Кп A Un + К. Ui К 52, hn к dn hi

Кф Ue. + К. Ui

h; 52, 5ф

i=i0 i=i1

Í=Í0 Í=Í1

^0

¡Ha

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Здесь ^ и ^ — коэффициенты Ламе материала оболочки, X 0 — коэффициент объемного сжатия жидкости, X 2 — коэффициент объемного сжатия газа, заполняющего оболочку,

U = (hi )"

Un = (h) Uí> = (КФ)

1 5Ф2 -1дФ

-1

дц

1 дф2 5ф

+ (hA) + (hh)-1 + (hh)-1

Ld^(K4 )-|(4) Jk h 4 )-~k{h 4)

изотропной вытянутой сфероидальной оболочки (см. рис. 1), облучаемой плоской гармонической волной вдоль оси вращения (осесимметричная задача). Все потенциалы, включая потенциал плоской падающей волны Ф0, потенциал рассеянной волны Фь скалярный потенциал оболочки Ф2, компоненту Аф векторного потенциала A и скалярный потенциал Ф 3 газа, заполняющего оболочку, разложим по сфероидальным волновым функциям [9—13]:

да

Ф 0 = 2^/ 0,В(С1,1)5 0,„(С1, г)В®п(Сь £);

п=0

да

Ф1 = 2^ ВПЯ 0ЛС1, т^С 9;

п=0

да

Ф2 = 2^ ^0,К(С,, г)[СХ?п(С,, ^ + В„421(С,, §];

п=0

да

А = 4Х Я 0, «(С(, , 9) + ^(С, §];

n=0

Подстановка рядов (7)—(12) в граничные условия (13)—(18) дает бесконечную систему уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов. Из-за ортогональности тригонометрических функций cos тф и sin тф бесконечная система уравнений распадается на бесконечные подсистемы с фиксированным индексом т. Каждая из подсистем решается методом усечения. Число удерживаемых членов разложений (7)—(12) тем больше, чем больше волновой размер для данного потенциала.

Частоты первых резонансов упругих колебаний сфероидальных тел могут быть достаточно точно определены с помощью их полных и относительных сечений излучения и рассеяния (интегральные характеристики) [9—13]. Эти характеристики могут быть получены с помощью угловых характеристик излучения F(0, ф) и рассеяния D(0, ф) этих тел. Рассмотрим рассеиватель в форме

Фз = 2^ Д,<(С2, & 0,„(С2, П),

п=0

где Вп, Сп, Бп, Еп, Оп, Еп — неизвестные коэффициенты разложений.

Коэффициенты разложений определяются из физических граничных условий на обеих поверхностях оболочки (2,0 и 2^):

1) непрерывность нормального смещения на двух границах (2,0 и 2^);

2) равенство между нормальным напряжением в оболочке и звуковым давлением в жидкости (2,0) или газе (2^);

3) отсутствие касательных напряжений на обеих границах (2, 0 и 2^).

В соответствии с этими граничными условиями будем иметь соотношения [9—13]:

-К)-1 д (Ф 0 +Ф1) = -(hi)-1 ^ +

dq dq

-1 д

+ (ККр) — (hvAv) при С = С0, дц

(19)

^Ar^M,) (2Q)

при 2, = 2,1,

да

Рис. 2. Модули угловых характеристик рассеяния сфероидальных тел.

Рис. 3. Модули угловых характеристик сфероидального рассеивателя.

X 0к 2(Фо + Фь) = ХН2Ф2 + ^ X

I _ дП (Нц)-1 + (к,к,)-1 д (к, А)

дп ос,

(21)

+ (к,)

-1 о

ос

-(к)-1 + (кку1ф (к, а,)

ос оц

при с = Со,

Х1к12Ф3 = Хк 2Ф 2 + 2|а< -(кД,)-1 X 1 дп

(кп)-1 ^ + (к,к,)-1 ^ (к, А,)

дп дс

+

(22)

+ (к,)-1д 1 дс

-(к, )-1 дФ2 + (кф,) (к, А,) дп

дс

при с = 2,1,

(кфп)1 ^ - к)'

д%

+ (ЬЮ-д (кА)

1 д

(кп)

1 дФ2

+

+

"(к,кп)-1 ^ - (кп)-1 £

дп

дп_

(23)

-(к^)-1 + (кпк)-1^ (к, А,)

д% дп

при £ = % и £ = £,1.

= 0

Такие же угловые распределения, но при С1 = 3.1 (упругая оболочка, С1 = 3.0 для идеального сфероида) и С1 = 10.0 соответственно, представлены на рис. 3 и 4. Обозначения кривых на всех трех рисунках идентичны. Анализ полученных численных результатов позволяет заключить, что при угле облучения 0 0 = 0° и волновом размере тел С1 = 1.0 (см. рис. 2) угловая характеристика упругой оболочки подобна угловой характеристике жесткого сфероида. При С1 = 3.1 и угле облучения 00 = 0° складывается промежуточная ситуация: угловая характеристика оболочки носит дипольный характер, как и у жесткого сфероида, но конфигурация теневого лепестка у оболочки не такая, как у жесткого сфероида (см. рис. 3).

Л20°

90°

Ф = 0°

150°

1Дв)|

60°

30°

Характеристики вытянутой сфероид

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком