научная статья по теме РЕЗОНАНСНЫЕ АНСАМБЛИ СТАЦИОНАРНЫХ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ОДНОМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ Физика

Текст научной статьи на тему «РЕЗОНАНСНЫЕ АНСАМБЛИ СТАЦИОНАРНЫХ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ОДНОМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ»

АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 5, с. 559-575

НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА

УДК 534.222

РЕЗОНАНСНЫЕ АНСАМБЛИ СТАЦИОНАРНЫХ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ОДНОМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ © 2015 г. Д. А. Ковригин*, С. П. Никитенкова**

*Нижегородский государственный технический университет им Р.Е. Алексеева, 603950 Н. Новгород, ул. Минина 24 **Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, радиофизический факультет, 603950 Н. Новгород, пр. Гагарина 23 E-mail: spnikitenkova@yandex.ru Поступила в редакцию 26.08.2014 г.

На базе простейшей математической модели, построенной исходя из геометрических представлений о центральных и нецентральных взаимодействиях между материальными частицами в одномерной ангармонической цепочке, изучаются нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических волн в так называемом гармоническом приближении. Исследование проводится стандартными асимптотическими методами нелинейной динамики. В первом приближении выявляются резонансные тройки волн, которые формируются при характерном типе квадратичной нелинейности системы благодаря выполнению условий фазового синхронизма. Установлено, что резонансные триады могут быть только трех различных типов, причем каждая резонансная тройка может состоять только из одной продольной и пары поперечных мод колебаний. В общем случае в цепочке реализуется нетривиальное взаимодействие различных резонансных триплетов трех разных типов и спектральных масштабов. Каскадные процессы обмена энергией между модами колебаний характеризуются не только сложной хаотической динамикой, присущей гамильтоновым неинтегрируемым динамическим системам, но и наличием многоволновых стационарных движений, устойчивых по Ляпунову. В идеальных кристаллических структурах такие стационарные когерентные волновые ансамбли могут существенным образом повлиять на свойства теплоемкости и иные феноменологические параметры системы, особенно при низких температурах. В этом состоит актуальность их теоретического и экспериментального изучения.

Ключевые слова: каскадный процесс, трехволновые взаимодействия, устойчивость по Ляпунову, стационарные движения, солитоны огибающих.

DOI: 10.7868/S0320791915050135

ВВЕДЕНИЕ

Интерес к низкоразмерным материалам вызван, прежде всего, их уникальными свойствами, которые уже сегодня начинают использоваться в на-ноэлектронике при создании чрезвычайно чувствительных квантовых счетчиков для практической реализации алгоритмов квантовых вычислений, позволяющих решать задачи экспоненциальной сложности. Теоретические и экспериментальные исследования показали, что фононы в двумерных и одномерных кристаллах демонстрируют специфичную динамику, которая обусловливает рекордные показатели теплопроводности материала [1]. Поэтому становится очевидной потребность в более глубоком теоретическом и экспериментальном изучении ряда ключевых вопросов акустики, вытекающих из концептуальных моделей атомных цепочек и решеток. Модель, изучаемая в работе, хотя и является предельно упрощенной для запросов нелинейной динамики, тем не менее все же позволяет выявить

основные свойства физической кинетики одномерных кристаллов [2—4].

Обычно основные методики экспериментального исследования сводятся к изучению отклика динамической системы на монохроматический сигнал. Спектр отклика на достаточно интенсивный высокочастотный сигнал из-за нелинейных процессов может оказаться достаточно сложным для идентификации структуры объекта исследования. Поэтому одной из важных теоретических проблем является задача описания тех частотных диапазонов, где динамика системы будет протекать наиболее предсказуемо.

В данной работе приводится полная классификация трехволновых резонансов в простой модели ангармонической цепочки с учетом как центральных, так и нецентральных взаимодействий между атомами в гармоническом приближении. Показано, что низкочастотные квазигармонические продольные волны растяжения—сжатия, обусловленные центральными взаимодействиями, по-

; жп

! п + 1 Ъх

ип а

Фп - 1

Рис. 1. Цепочка с частицами одинаковой массы, совершающими продольные и поперечные колебания.

чти всегда неустойчивы. При распространении они распадаются на пару поперечных низкочастотных волн, если только групповая скорость последних не превысит групповой скорости продольной волны.

Для коротковолновых продольных волн картина трехволновых взаимодействий существенно усложняется. В том случае, когда групповая скорость распадных поперечных волн превышает групповую скорость продольной волны, формируется каскадный процесс с участием большого числа мод колебаний, находящихся в фазовом синхронизме. Это означает, что высокочастотные поперечные волны, групповая скорость которых превышает групповую скорость продольной волны, всегда оказываются неустойчивыми по отношению к малым возмущениям. Однако с ростом числа волн, вовлеченных в резонансное взаимодействие, спектральные параметры мод колебаний не возрастают. Это означает, что энергия движения перераспределяется в основном из высокочастотной в низкочастотную часть спектра колебаний, а число мод колебаний, вовлеченных в каскадный процесс, — всегда конечное или счетное число, по меньшей мере в первом нелинейном приближении.

Каскадные процессы обмена энергией между модами колебаний характеризуются не только сложной хаотической динамикой, присущей га-мильтоновым неинтегрируемым динамическим системам, но и наличием многоволновых стационарных движений, устойчивых по Ляпунову. В микросистемах такие стационарные когерентные волновые ансамбли существенным образом могут повлиять на свойства теплоемкости и иные феноменологические параметры системы, особенно при низких температурах. В этом состоит актуальность их теоретического и экспериментального изучения. Существенный прогресс в теоретическом и экспериментальном изучении подобных

нелинейных процессов достигнут в гидромеханике [5—7]. С точки зрения акустики твердого тела эта теория еще требует своего дальнейшего развития.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Будем рассматривать колебания простой одномерной цепочки, содержащей частицы равных масс т, которые в состоянии покоя находились бы на прямой линии на равном расстоянии а друг от друга (см. рис. 1). Каждая частица обладает двумя степенями свободы в плоскости колебаний. Силы, действующие между атомами, являются как центральными, так и нецентральными. Учет нецентральных взаимодействий между частицами приводит к появлению так называемой изгибной, или поперечной, моды колебаний. Абсолютное удлинение сегмента Х„ цепочки и мера изменения кривизны кп срединной линии цепочки в окрестности частицы с номером п выражаются следующим образом:

Я,

= ^ (а + (ып

к п

аг^

■Мп-

п—1

а + (ип - Ып—1)

1)) + (

л г

- аг^

\ 2

Мп-1)

Мп+1

■ а,

Мп

а + (ип+1 - ип )

где ип = ип(0 и wn = wn(t) — соответственно продольная и поперечная компоненты смещения центров масс частиц. Тогда функция Лагранжа системы в гармоническом приближении принимает следующий вид:

I = т Е ( + *1)-1 £ (п п), (1)

где феноменологические константы а и в характеризуют меры растяжения и изгиба цепочки соответственно, точка обозначает производную по времени t. Число элементарных ячеек Z в цепочке полагается достаточно большим, то есть Z ^ да. В целом математическая модель, вытекающая из характеристической функции (1), является геометрически нелинейной. Ниже в настоящей работе будут изучаться динамические эффекты лишь первого нелинейного приближения, имеющие место при небольших значениях продольных и изгибных деформаций цепочки.

Из вариационного принципа Эйлера-Лагран-жа выводятся уравнения динамики цепочки атомов. Для удобства проведения последующей процедуры осреднения в выражении функции Лагран-жа (1) смещения масштабируются безразмерным малым параметром ц < 1 с помощью преобразования подобия: ип($) ^ цип(0, м>пф ^ (0. Конкретная форма малого параметра произвольна - к примеру, допустимо считать, что ца = max(un(t),wn(t)).

В линейном приближении, когда ц ^ 0, уравнения движения имеют вид

(2)

müп = а(ипЛ - 2и„ + и„+1);

mwn = в (-Wn-2 + 4wn-i - 6wn + 4wn+i - Wn+2). Выражение для функции Лагранжа в первом нелинейном приближении:

Z Z

\ 2 в

_J_ V

l = m + w 2 )-а X (ün-1 - ün )2

n=-Z

n=-Z

2a

X X (n-1 - 2wn + wn+1) +V— У (ün-Wn - ünW2n_i +

2a

n=-Z n=-Z

Z

+ 2Wn-iWn(ün - ün-i)) + ^f У (wn-1 - 2wn + wn+1) X

a

n=-Z

X ((ün - ün-1) Wn-1 + (ün+1 - ün) Wn+1 + (ün-1 - ün+1) Wn) .

Нелинейные уравнения движения получаются из этой функции Лагранжа стандартным образом, но из-за громоздкости здесь не приводятся, тем более что для получения эволюционных уравнений методом медленно изменяющихся амплитуд они не требуются.

Пусть число атомов в цепочке неограниченно, тогда решение системы будем искать в интегральной форме:

ю

Un (t) = | [A, (k) ехр(|Ф/ (k, t)) +

—ю

+ A,* (k) exp (-Ф, (k, t ))]dk,

ю

Wn (t) = | [Ab (k) exp ( (k, t)) +

+ A* (k) exp (—ф (k, t ))]dk,

где A¡(k) и Ab(k) — комплексные амплитуды (A*(k) и

A*(k) — соответствующие комплексно-сопряженные величины), фг(к, t) = w¡(k)t + kan и фь(к, t) = = ®b(k)t + kan — быстровращающиеся фазы продольных и поперечных волн, соответственно w¡(k) и wb(k) — собственные частоты нормальных гармонических волн, зависящие от волнового числа k. Спектральные параметры системы (2) полностью характеризуются дисперсионными соотношениями, графики которых представлены на рис. 2:

(3)

ю, (k) = J— а (1 - cos ka); \m

юь (k) = — Е(1 - cos ka

(4)

\ш а

Дисперсионные кривые имеют три характерные точки:

— точку группового синхронизма в длинноволновом диапазоне 01 (отмечена на рис. 2 крестом), где групповая скорость продольной волны совпадает с групповой скоростью поперечной волны:

ю 2.0

1.5

1.0

0.5

Gi

G2

Рис. 2. Дисперсионные кривые продольных и поперечных волн в цепочке.

KJ =

arcsin

Va/pa \

— точку группового синхронизма в коротковолновом диапазоне 02 (отмечена на рис. 2 квадратом), где групповая скорость продольной волны совпадает с групповой скоростью поперечной волны:

Удра ^

V ^^

— точку синхронизма фазовых скоростей Р, отмеченн

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком