ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2013, том 114, № 2, с. 115-119
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
УДК 530.145.7
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ МАГНИТНОГО СОЛИТОНА
© 2013 г. С. В. Баталов, А. Г. Шагалов
Институт физики металлов УрО РАН, 620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
e-mail: svbatalov@gmail.com Поступила в редакцию 25.06.2012 г.
Найдены условия резонансного захвата магнитного солитона внешним циркулярно поляризованным полем, необходимые для реализации процесса авторезонансного управления солитоном. Определена вероятность захвата и допустимые расстройки частот солитона и накачки.
Ключевые слова: легкоосный магнетик, нелинейное уравнение Шредингера, солитон, авторезонанс. DOI: 10.7868/S0015323013020034
1. ВВЕДЕНИЕ
Солитоны спиновых волн широко исследуются в настоящее время экспериментально в магнетиках с одноосной анизотропией. Разработаны методики возбуждения как изолированных соли-тонов [1, 2], так и создания последовательностей солитонов [3]. Основной проблемой в настоящее время остаются способы генерации солитонов с априори заданными характеристиками и управления параметрами солитонов. В частности, важнейшей задачей является генерация солитона с заданной амплитудой, а так же усиление первоначально слабого солитона до значительных амплитуд. В работе [4] предложен метод управления амплитудой солитона с помощью резонансного воздействия слабого переменного магнитного поля. Показано, что если в начальный момент времени солитон является захваченным внешним переменным полем с резонансной частотой солитона, то, при выполнении определенных пороговых условий на амплитуду этого поля, резонанс соли-тона и волны будет поддерживаться системой даже при медленном изменении частоты внешнего поля. Поскольку амплитуда солитона определяется его частотой, то в условиях самоподдерживающегося резонанса (авторезонанса) можно управлять амплитудой солитона, медленно меняя частоту внешнего поля накачки. Эффект авторезонанса, лежащий в основе этой методики, в настоящее время активно обсуждается в различных областях современной физики нелинейных явлений [5, 6, 7], в том числе изучался экспериментально [8].
Основной проблемой для приложения авторезонанса к управлению волнами конечной амплитуды является начальный захват солитона в резонанс с внешней накачкой. Это может быть осуществлено лишь в достаточно узком диапазоне расстроек частоты накачки и собственной часто-
ты солитона, кроме того, необходимо выполнение и фазового синхронизма накачки и солитона [9]. Эти условия, как правило, трудно реализуемы на практике, так как требуют предварительного измерения с достаточной точностью амплитуды и фазы солитона для выбора параметров накачки, необходимых для осуществления захвата. В связи с этим, ключевым вопросом является величина допустимого диапазона расстроек частот и фаз соли-тона и накачки, при которых захват может быть осуществлен. Определению этого допустимого порога расстроек и посвящена данная работа.
Для магнетика, имеющего ось легкого намагничивания вдоль оси г (с константой одноосной анизотропии в > 0), в работе [4] получено следующее уравнение:
1 2
iut +1 Uxx + u u = e/(0, 0 <6 ^ 1,
(1)
описывающее волну намагниченности в слабом переменном циркулярно поляризованном поле, ориентированном в плоскости, ортогональной оси легкого намагничивания, H = (Нх($), Ну (?), 0). В этом уравнении
u(xt) = Mx - iMy u(x,t) V2M0
e, e/(t) = -
Hx - iH
72pM0
y it
-e ,
(2)
где Мх, Му — компоненты вектора намагниченности, М0 = а безразмерные время I и координата х нормированы, соответственно, на частоту однородной прецессии ю^ = 2рцвМ0/Й и магнитную
длину = ^/2а/р, а — константа неоднородного обмена. Слабость переменного поля означает: |Н|/л/2р М 0 ~ е <§ 1. Уравнение (1) определяет малое отклонение вектора намагниченности от легкой оси под действием внешнего магнитного поля и является одной из стандартных моделей,
описывающих динамику солитонов в магнитных средах [10, 11]. Переменное магнитное поле представляет собой поле накачки, с помощью которого и будет осуществляться управление волной намагниченности.
При е = 0 это уравнение имеет решение в виде солитона
/ -ч a ю
u = Ws(x, t) = — e , chz
(3)
где
z = a(x - x0), 0 = at + 0O, ю = a2¡2, (4) a — амплитуда солитона, 90 и £,0 — начальная фаза солитона и координата его центра масс. Величина ю является собственной внутренней частотой солитона. Если частота внешнего переменного поля близка к частоте солитона, возникает сильное резонансное воздействие на солитон, которое, несмотря на малость накачки, позволяет существенно влиять на параметры солитона. Именно эти эффекты исследуются в данной работе.
2. МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОГО МАЯТНИКА Поскольку циркулярно поляризованное поле может быть представлено как Hx(t) — iHy(t) = = H±exp(¿^(t)), то в дальнейшем будем рассматривать возмущения следующего вида:
f(t) = eiv(t); 6 = HjV2pMo < 1, (5)
где мы предполагаем, что частота накачки Q(í) = является медленной функцией времени: Qt ~ s. Резонанс возникает, когда частота накачки проходит через частоту солитона Q(t) ~ ю.
Для эволюции параметров солитона под действием накачки в работе [4] получены следующие уравнения:
5t = AQ- — cos 5; t Q
2
sna • с at =--sin 8,
t 2Q
(6)
(7)
где 8 = 9 — у — разность фаз солитона и внешней накачки, Afi(t) = a2/2 — fi — разность частот солитона и накачки. Рассмотрим изменение параметров солитона вблизи резонанса, когда разность частот между солитоном и накачкой является малой величиной
AQ ~ 4г. (8)
Предположим также, что частота накачки меняется линейно со временем
Q(t) = Q0 + y.t, ц ~ 6. (9)
При условии (8) эволюция параметров солитона будет медленной, поэтому удобно ввести "мед-
ленное" время т = >/#. Ищем решения уравнений (6), (7) в виде рядов
8(х) = 8с(х) + л/б61(х) + б82(х) +(10)
а(т) = а0 + л/ш1(х) + ба2(х) + ..., а(0) = а0, (11) а частоту накачки представляем в виде
0. = 0.0 + л/бух, у = ц/б ~ 1. (12)
Здесь = аЦ2 — резонансная частота. Расстройка частот в начальный момент времени есть
А0(0) = л/бП1. (13)
Подставляя (10)—(12) в уравнения (6), (7) и
приравнивая члены при одинаковых порядках л/б, получаем в наинизшем приближении
SojT = aa - Q - ух,
na0 2Q o
sin 5 0.
(14)
(15)
Отсюда следует, что разность фаз между солито-ном и накачкой описывается уравнением
8о>тт = -лао8т8о -у. (16)
3. ЗАХВАТ СОЛИТОНА ВНЕШНЕЙ НАКАЧКОЙ
Уравнение для разности фаз вида (16) впервые появилось в работе [12] для описания явления ав-тофазировки. Оно представляет собой хорошо известное уравнение нелинейного маятника и описывает движение "квазичастицы" в потенциале
К(80) = -яа0со8 80 +у80. (17)
Фазовый портрет этого уравнения изображен на рис. 1. Если параметр
X
= Y na0
(18)
по модулю меньше единицы, то потенциал имеет минимумы, в которые квазичастица может быть захвачена (замкнутые траектории вокруг точки минимума потенциала 8 = Sc внутри области, ограниченной сепаратрисой). Это означает, что разность фаз в этой области может меняться в ограниченном диапазоне 8- < 80(х) < S+. Т.е. фаза солитона оказывается "захваченной" внешней накачкой. Такой захват может происходить только при особых начальных условиях, когда в начальный момент времени энергия системы
E (So,S о>т ) = 2 82т + V (So) (19)
попадает в интервал
E(8C, 0) < E(8o(0), 8о>т(0)) < E(5_, 0), (20)
ai,T =
РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ
117
V5)
5m
5
5+ \
5c
-V1 -X2 - |X| arcsin |X| < - cos 80(0) + + X80(0) < V1 -X2 + (-п + arcsin|X|).
(25)
В работе [9] это условие захвата солитона проверялось численно в рамках исходного уравнения (1).
0.8 0.6 0.4 0.2
0
-0.8 -0.4 0 1
0.4 0.8
Рис. 1. Потенциал К(50) и соответствующая фазовая плоскость уравнения (16). Штриховые линии на нижнем рисунке — сепаратрисы.
а разность фаз
5 + < 50(0) < (21)
т.е. начальная точка (50(0),5 т(0)) должна попасть внутрь области, ограниченной сепаратрисой (см. рис. 1). Здесь
EM), 50>т(0)) = 0^2 - na0 cos 60(0) + 780(0), (22) E(S0) = na04l -X2 + \у\ (-п + arcsin |X|), (23)
E(5c, 0) = -najl - X2 - Y arcsin |X|. (24)
Если параметры солитона заданы, т.е. известна его амплитуда и фаза, то условия (20), (21) накладывают ограничения на параметры накачки, с помощью которой солитон может быть захвачен.
Рассмотрим два частных случая. Пусть в начальный момент времени частота накачки совпадает с частотой солитона (Qx = 0), тогда условие (20) накладывает ограничения на разность фаз S0(0) солитона и накачки в начальный момент времени т = 0:
Рис. 2. Вероятность захвата солитона при совпадении частот солитона и накачки (сплошная линия, ^ = 0). Штриховая линия 1 — вероятность захвата при = 1, линия 2 — при = 1.41.
Было получено хорошее соответствие численных и аналитических результатов, подтверждающее, что модель нелинейного маятника (16) адекватно описывает процесс захвата солитона накачкой типа (5). Трудностью при практической реализации захвата подобного типа является необходимость синхронизации в начальный момент времени фаз солитона и накачки, так чтобы удовлетворялось условие (25). Обычно фаза солитона является неизвестной, в результате чего солитон может быть захвачен лишь с некоторой вероятностью. Предположим, что разности фаз солитона и накачки в начальный момент распределены равновероятностно в диапазоне 8_ < 80(0) < 8т (8т — 8_ = 2я), тогда очевидно, что вероятность захвата есть
P(X) = |S + -S _|/2
П.
(26)
Эта зависимость приведена на рис. 2. Из рисунка видно, что вероятность захвата достаточно велика и при |Х| < 0.6 солитон захватывается с вероятностью Р > 0.5. Отметим, что вероятность увеличивается и стремится к единице при дальнейшем уменьшении |Х|. На рисунке приведены также вероятности захвата, полученные из общего уравнения (20), когда имеется ненулевая расстройка частот солитона и накачки Ф 0). При этом вероятность захвата меньше единицы даже при X ^ 0.
Далее мы рассмотрим альтернативный случай захвата, когда разность фаз в начальный момент фиксирована: 80(0) = 8С, а расстройка частот солитона и накачки ДЛ(0) имеет произвольное значение. Тогда условие захвата переписывается в виде
/AQ(0^2
V
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.