научная статья по теме РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЗАХОДНЫХ ПРОВОЛОЧНЫХ СПИРАЛЕЙ, ЗАПОЛНЕННЫХ МЕТАМАТЕРИАЛОМ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЗАХОДНЫХ ПРОВОЛОЧНЫХ СПИРАЛЕЙ, ЗАПОЛНЕННЫХ МЕТАМАТЕРИАЛОМ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 5, с. 437-444

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^

И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

УДК 538.566.2;621.372.8

РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЗАХОДНЫХ ПРОВОЛОЧНЫХ СПИРАЛЕЙ, ЗАПОЛНЕННЫХ МЕТАМАТЕРИАЛОМ

© 2014 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров

Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190, Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1 E-mail: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 11.10.2013 г.

Рассмотрена двумерная задача возбуждения нитями электрического и магнитного токов многоза-ходной проволочной цилиндрической спирали, заполненной метаматериалом. Обнаружены и исследованы высокодобротные резонансы в низкочастотной области. Показано, что в зависимости от значений материальных и геометрических параметров анизотропно-проводящего цилиндра поля в резонансе могут иметь как круговую, так и линейную поляризацию. На основе строгих расчетов рассмотрены амплитудно-частотные характеристики такой структуры, картины ближних и дальних полей. Получены приближенные аналитические выражения для резонансных частот.

Б01: 10.7868/80033849414040019

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] исследованы свойства двумерных электромагнитных полей, возникающих при дифракции плоских волн на анизотропном цилиндре с идеальной электрической проводимостью поверхности вдоль винтовых линий. Модель цилиндрической поверхности с анизотропией проводимости "винтового" типа хорошо описывает проволочные спирали (однозаходные и многоза-ходные), если расстояние между осями соседних проводников много меньше длины волны, а величина зазоров лежит в определенном интервале [2, 3]. При этом в [1] было показано, что на низких частотах (диаметр цилиндра много меньше длины волны) имеют место резонансные явления, которые возникают только при определенном знаке вращения плоскости поляризации падающей кругополяризованной волны [1, 3].

Заполнение цилиндра магнитодиэлектриком с материальными параметрами е > 0 и ц > 0 приводит к тому, что в резонансе при облучении кругополяризованной волной рассеянное поле имеет эллиптическую поляризацию [4]. Однако при условии = 1 поляризация становится круговой, а значения резонансных частот совпадают с резонансными частотами полого цилиндра. В дальнейшем полым цилиндром будем называть анизотропный цилиндр, у которого внутренняя среда характеризуется параметрами б = ц = 1.

В работе [5] численно исследована двумерная задача возбуждения нитевидным источником кругового цилиндра из метаматериала (б < 0, ц < 0).

Показано, что в цилиндрах малого диаметра существуют высокодобротные резонансы. Для ТМ-поляризации они возникают при значениях s, близких к минус единице, а в случае ТЕ-поляриза-ции — при значениях ц, близких к минус единице.

Естественно предположить, что в объекте, содержащем киральную структуру в виде металлической спирали и метаматериальное заполнение, проявятся новые специфические эффекты. Цель данной работы — исследование резонансных свойств электрически малого цилиндра из мета-материала в предположении, что поверхность цилиндра имеет идеальную анизотропную проводимость вдоль винтовых линий.

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается задача возбуждения нитевидным источником кругового цилиндра, выполненного из метаматериала с параметрами s и ц. Используется цилиндрическая система координат (r, ф, z) (рис. 1). Предполагаем, что на поверхности цилиндра r = a выполняются двухсторонние граничные условия идеальной анизотропной проводимости вдоль винтовых линий [3]:

К = Ez, К = еф ,

Ez cos у + Еф sin у = 0, (1)

(H - H-)cos¥ + (( - H-)sin¥ = 0,

где знаки "плюс" и "минус" соответствуют внешней (r > a) и внутренней (r < a) сторонам поверх-

Б, Ц = 1

U = (U1,U2).

(3)

Векторная функция U(r, ф) удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца

Г2 +11+ 1 A + к ^«r)

dr r dr r 5ф

= -—A5(r - Го)8(ф), r

U (r, ф) =

(4)

Величины Еф и Иф, входящие в граничные условия (1), могут быть выражены через и1 и и2:

Д, = U, н9 =-L.. (6)

iks(r) dr ikyj(r) dr

Поле и(г, ф) должно удовлетворять условию излучения, т.е. при кг ^ да иметь вид

и {г, ф) = Ф (ф) (—)/ ехр (-¿кг + I п/ 4). (7)

\пкг)

Возбуждающее поле и0 является решением неоднородного уравнения Гельмгольца в свободном пространстве и определяется по формуле

и 0(г, Ф) = ЛИ02) (кл]г2 + г02 - 2гг0ео8 ф), (8)

где И0(2) — функция Ганкеля. Диаграмма направленности поля и 0(г, ф) имеет вид

Рис. 1. Геометрия задачи.

ности, ф — угол скрутки спирали. Для определенности винтовые линии полагаем правыми (0 < ф < п/2).

Цилиндр возбуждают нити электрического и магнитного токов, которые расположены вне цилиндра в точке г0 > а, ф0 = 0 (рис. 1). Предполагаем, что возбуждающие токи не зависят от координаты г. В этом случае рассматриваемая задача является двумерной, но двухпотенциальной. В качестве потенциалов выберем функции

и (г, Ф) = Е, (г, Ф), и 2 (г, Ф) = И, (г, Ф). (2)

Далее будем использовать векторные обозначения, например

Ф (ф) = A exp(ikr0cos ф).

(9)

Уравнение (4), граничные условия (1) и условия излучения (7) полностью определяют краевую задачу для поля и(г, ф).

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Сформулированная задача допускает аналитическое решение методом разделения переменных [1, 4, 5].

Введем векторы Ит), М(т), N(т) и скаляр Ж(т): Цт) = {н{т)\ка)51п ф, 1И{т)(ка)ео5 ф}, (10)

M(m) = j#m2)'(ka)sin ф, -iHmXka) cos ф}, (11)

,-7T(2)/

N(m) = {nJ'm(kna)sin ф, iJm(kna)cos ф}, (12)

W(m) = H{m}(ka)Jm(kna)

- H^ikaJmikna)

nH(m\ka)J'm(kna) -LS

2... . П tt(2)'

cos2 ф + -Hm (ka)J,m(kna) x (13)

S

где k — волновое число в свободном пространстве, функции e(r) и ^(r) определены формулами

e(r) = {* 0< r < a, M(r) > 0< r < a, (5)

[1, r > a, [1, r > a,

8(...) — дельта-функция Дирака, компоненты A1 и

A2 вектора A задают амплитуды электрического и магнитного возбуждающих токов.

ПHf (ka)Jm(kna) - Him)\ka)Jm(kna)

sin ф,

где

= л/ёц,

(14)

1т(кна) — функции Бесселя, штрих означает дифференцирование по аргументу.

z

x

n

Полное поле внутри цилиндра (г < а) можно представить в виде

да

Щг, Ф) = £ 8 тН(т\кг0)Б {т)1т(кпа)^(тч>), (15)

m=0

где

8 m =

1, m = 0,

2, m > 1,

B (m) =

2i (A, MM(m))

nkaW

(m)

N(m).

(16)

(17)

Через (A, M(m)) в (17) обозначено скалярное про-

изведение

(A, M(m)) = A1M1(m) + a2m:

(m) 2 .

(18)

Поле вне цилиндра (r > a) состоит из двух слагаемых — падающего и рассеянного полей:

U(r, ф) = U 0(r, ф) + U s(r, ф). (19)

Рассеянное поле определяется по формуле

Us (r, Ф) = X 5 mtfm2)(ko) (с(m) + D(m) )x

m=0

(20)

(2)

x Hm (kr)cos(mф),

где

С(m) = \ -A Jm(ka) _A2 ■ J'm(ka)

D (m) =

Hm(ka) Hm(ka) 2i (A MM(m)) - J m(kna)J'm(kna)

(21)

Lm). (22)

Далее будем рассматривать только электрически малые цилиндры, т. е. когда выполнены условия

ка < 1, кпа < 1. (24)

Используя асимптотические представления для функции Н(т'(ка) при малых значениях аргумента, получим, что векторы Ит) и М(т) с точностью до множителей имеют при т > 1 вид

"(m) _ \mtgy _

L =

ka

, -l},

(m)_imtgV ;

M(m) =

ka

, i

(25)

В результате из формул (20), (22) следует, что на частоте

ka = m tg у, m > 1

(26)

пкаНт2) (ка)Н<т)\ка)Ж(т) Слагаемые в формуле (20), содержащие векторы

С(т> и Ъ(т), будем условно называть нерезонансной и резонансной частями рассеянного поля. Заметим, что нерезонансная часть поля совпадает с полем, возникающим при рассеянии на изотропно проводящем металлическом цилиндре.

Диаграмма рассеяния Ф *(ф) может быть представлена в виде ряда:

да

ф' (Ф) = X 8 т(0тнт2)к0) (с(т) + Ъ(т) )cos(mф). (23)

т=0

Полученные в этом разделе формулы применимы как для цилиндров из обычных материалов (б > 0, ц > 0), так и для цилиндров из метаматериалов (е < 0, ц < 0). Показатель преломления п (см. (14)) для этих случаев будем считать положительным.

гармоника номера т резонансной части рассеянного поля имеет правую круговую поляризацию, и эта гармоника не возбуждается левокругополя-ризованным полем, когда Л2 = А

3. НИЗКОЧАСТОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ

Выражения для ближних (15), (19) и дальних (23) дифракционных полей содержат резонансные знаменатели Ж {т)(ка), определяемые формулой (13). Исследуем зависимость этих знаменателей от частоты. Выражение (13) является комплексной функцией параметра ка, и оно не обращается в нуль при вещественных значениях ка. При выполнении условий (24) вещественная часть выражения (13) значительно превышает его мнимую часть. Вещественная часть знаменателей

Ж {т)(ка) обращается в нуль в точках, которые и являются резонансными частотами. На этих частотах в дифракционном поле будет доминировать единственная азимутальная гармоника cos(mф).

Для определения резонансных частот воспользуемся известными асимптотическими разложениями цилиндрических функций при малых значениях аргумента. Используем два члена разложения по положительным степеням для функций Бесселя и два члена разложения по отрицательным степеням аргумента для функций Ганкеля. В результате получим следующее биквадратное уравнение для определения резонансных частот ка:

(ka)2 М + е) +

(ka)2

2

- m

2m

1 +1]_ (ka)2

1

И

2m

m -1 1

• +

m +1

cos у -

+ -

m +1.

sin у = 0,

(27)

_т -1 т > 2.

Напомним, что применение этого уравнения ограничено условием ка < 1.

х>

ка

Рис. 2. АЧХ полого цилиндра при е = ц = 1; Л\ = 1, А = у = 0.1; ф = п; /0 = 1.2а, г = 0.99а. Сплошная кривая — и1; пунктирная кривая — и2; цифры соответствуют номерам резонансов т.

Рассмотрим случай, когда выражения (1 + е) и (1 + ц) не являются малыми величинами. Эти условия всегда выполняются для материалов с е > 0 и ц > 0. Тогда вторыми слагаемыми в фигурных скобках выражения (27) можно пренебречь. В результате получим

ка = т. tg ¥. (28)

V 1 + 6

Это выражение согласуется с результатами работы [4]. Если бц = 1, то формула для резонансных частот (28) совпадает с условием (26), обеспечивающим кругополяризованность гармоники номера т. Таким образом, в этом случае рассеянное поле будет иметь правую круговую поляризацию на всех резонансных частотах.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Представленные ниже численные результаты получены путем суммир

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком