ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 444, № 4, с. 385-389
МЕХАНИКА
УДК 532.529.6:534.12
РЕЗОНАНСНЫЙ МЕХАНИЗМ ДРОБЛЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ © 2012 г. B. B. Вановский, А. Г. Петров
Представлено академиком В.Ф. Журавлевым 31.10.2011 г. Поступило 09.12.2011 г.
ВВЕДЕНИЕ
Несферические колебания пузырька исследовались во многих работах, например, [1—3]. В линейной теории колебание пузырька представляет собой сумму гармонических колебаний радиальной и деформационной мод. Если учесть нелинейные члены уравнений движения, то при резонансе частот возникает эффект перекачки энергии одной моды в другую, что представляет значительный интерес. Наиболее важным физически резонансом является резонанс радиальной моды колебаний пузырька и деформационной 1:2. Для описания перекачки энергии в этом случае в уравнениях движения достаточно учесть только квадратичные по амплитуде члены [4—6]. В этих работах использовались метод двух масштабов и другие довольно громоздкие методы решения. Задачу о свободных эллипсоидальных колебаниях газового пузырька исследовали аналитически методом гамильтоновой нормальной формы [7] в работе [8]. Методом гамильтоновой нормальной формы в [9] найдено асимптотическое решение для перекачки энергии в произвольную осесим-метричную моду. Найдены зависимости амплитуд колебаний от времени и период перестройки колебаний. Задачу о вынужденных эллипсоидальных колебаниях газового пузырька при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с учетом квадратичных по амплитуде членов в уравнениях исследовали численно в работе [10].
В настоящей работе приведено аналогичное [8, 9] исследование для перекачки энергии колебаний радиальной моды в произвольную трехмерную деформационную моду. Показано, что при перекачке энергии происходит аномальное увеличение амплитуды деформационной моды и это может быть одним из механизмов дробления пузырьков.
Московский физико-технический институт (государственный университет) Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Пусть пузырек обладает двумя степенями свободы и его уравнение поверхности
r(ф, 0, t) =
= a0( 1 + a( t) + (t) cos тф + s2( t) sin тф)),
(1)
где n = cos0, P'm (n) — n, m-й присоединенный полином Лежандра, n = 2, 3, ..., m = 0, 1, ..., n.
Потенциал скорости Ф(г, 0, t) в области Q, заполненной жидкостью, находим из решения задачи Неймана
ДФ = 0, ^
дп
(2)
да
В сферических координатах граничное условие (2)
записывается так:
дФ
д r
1дг дФ
r2 д 0 д 0
1 д r дФ
r sin
0дфдф
= а0 (а + Рт тф + ¡з281п тф)). (3)
Мы находим с точностью до второго порядка малости по а и б1, б2 решение краевой задачи (2).
ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ПУЗЫРЬКА
Найдем кинетическую энергию жидкости
K = Р
2
Л
да
Ф v dS =
2 п
= _ Р
2 | йф | Фг2(ф, 0, ^г(ф, 0, 0йц. (4)
ф = 0 п = -1
Подставляя (1) и потенциал жидкости в (4), получаем с точностью до третьего порядка малости по а и б1, б2 кинетическую энергию жидкости. Следуя методу нормальной формы, можно резко упростить выкладки, если в третьем порядке малости по а и б1, б2 принимать во внимание только резонансные члены, т.е. те члены, куда входят пе-
a0, мкм 1000 г
100
10
10
Рис. 1. Зависимость радиуса воздушного пузырька в воде а0 от номера моды п.
ременные обеих мод (и а, и бь б2). Поэтому мы выписываем кинетическую энергию без нерезонансных членов:
■ 2
51 a
K = 4 яра51 — +
N(¿2+ ¿2)
52
+ 4npaoN
3 а (¿2 + ¿2) +
+
(4 ( n + 3) - m n(2 n + 1)) а (М1 + S2 S2 ),
(5)
N2 =
(1 + Sm 0)(n + m)!
2(п + 1)(2п + 1 )(п - т)' где 5т0 = 1 при т = 0, 5т0 = 0 при т Ф 0.
Для нахождения потенциальной энергии пузырька необходимо сначала посчитать объем V и площадь Б пузырька, потом подставить их в формулу
и = а(^ - Бй) + рт(V- ¥0) +
+
Ро Vo
Y - 1
Vo)Y -V
-1
(6)
Ui = 4яao[ 2 a + p - Ро) ao ] a.
(7)
Из условия равновесия Лапласа р0 = рш + — сле-
а0
дует и1 = 0. Подставляя условие равновесия и пренебрегая нерезонансными членами, получаем потенциальную энергию до второго и третьего порядка малости по а и б1, б2:
U2 = 4 naao
3y - 1 + 3РЩ a2 + 2a /
+(n - 1) ( n + 1 ) (n + 2 ) n2(S2 + S2 )'
2
U3 = 4naao • 2(n + 1) x : N(3Y - 1 + 3paY) a(S2 + S2).
(8)
(9)
Из решения линейной системы находим частоты колебаний радиальной юа и п, т-й деформационной мод (см., например, [14, 15])
roa = ^ (3 y -1+^ oY a Р ao( Y 2 a
ю
2 = 2 a (n - 1) ( n + 1 ) (n + 2 )
3 2 .
Р ao 2
(10)
Так как и в кинетической, и в потенциальной энергии присутствуют перекрестные члены
-2
Юa
только вида аб, остается только резонанс — =
юЕ
= 2:1. Условие резонанса можно записать как
- 1, а* = — .(11)
= 2 (n - 1 ) (n + 1) (n + 2 ) + 1
где индекс 0 соответствует равновесным значениям соответствующих характеристик.
В формуле (6) первый член отвечает за энергию поверхностного натяжения, второй и третий — за работу против сил давления. При этом считаем, что газ расширяется по закону адиабаты pV = const. Раскладывая V и S до третьего порядка малости, получаем потенциальную энергию пузырька в форме
U = U1 + U2 + U3 + O4 (a, S1, S2),
а * 3у рт
Для газовых пузырьков в воде а* ~ 1.4 мкм. От номера т присоединенной лежандровой моды резонансное соотношение не зависит. На рис. 1 изображена зависимость (11) радиуса воздушного пу-
— а о 1
зырька а0 в воде от п при резонансе — = 2:1, а =
юЕ
= 73 дин/см, рш = 106 дин/см2, у = 1.4. Для малых пузырьков радиусом менее 1 мм получим ограничение п < 10.
В безразмерных переменных т = юе?, х = а, у12= ^б12 с точностью до членов 3-го порядка
малости по х и у при резонансе — = 2:1 функция
юЕ
Лагранжа Ь = К — и имеет вид
Т К.2 .2 .2 . 2 2 2Ч 3Х/ .2 .2ч £ = 2 (х + -VI + У2 - 4х - У1 - У2) + 2 (У1 + у2) +
тп(2п + 1 •, • -ч
3--^--) X (-1-У1 + У2У2) -
+ n +
- 4( n + 1) х (>>2 + y2).
(12)
1
6
8
n
РЕЗОНАНСНЫЙ МЕХАНИЗМ
387
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА
Из лагранжиана (12) можно получить гамильтониан с помощью известной процедуры [7]. Оставляя в гамильтониане третьей степени только резонансные члены, получаем следующее выражение для гамильтониана системы:
H = Ho + F, Ho = 1 (u2 + v2 + v2 + 4x2 + y2 + y22), (13)
r 3 f 2 24 ( 0 mn(2n + 1
Fi = - ^( V + V2) - (n + 3---TJ x
X u (y 1 v1 + y2 v2) + 4 (n + 1)x(y 1 + y2). (14)
Аналогично тому, как в [11] были изучены трехмерные колебания качающейся пружины, воспользуемся процедурой инвариантной нормализации гамильтониана, описанной в [7]. Для резонанса 2:1 достаточно получить нормальную форму только в первом приближении. Согласно методу инвариантной нормализации сначала находим общее решение невозмущенной системы с гамильтонианом H0:
x (t) = Xcos2t + 1,
У1, 2 (t) = Yx> 2cos t + V^2sin t, (15)
u(t) = Ucos21- 2Xsin21,
V1, 2(t) = V1, 2COs t - Y1, 2sin t.
Нормальная форма в первом приближении получается путем усреднения возмущения вдоль траекторий порождающей системы, т.е. при подстановке вместо x, y, u1, v1, u2, v2 решений из (15) и последующего усреднения функции (14) получим
F = 4n + mn ( 2 n + 1) - 1 x 1 = 8
x (X( Y2 + Y2- V2- V2) + U( Y1V1 + Y2 V2)). (16) В переменных Биркгофа z1 = U + J2 iX, z2 = V1 +
72
+ iY2, z3 = V2 + iY2 нормальная форма первого приближения будет иметь вид H = Ho + F, где
Ho = i(2z1 z 1 + z2 z 2 + z3 z 3), H_ (4n + nm(2n + 1) - 1 )л/2 s
F —--X
16
2 2
х (z 2 + z 3) - z 1(z2 + z3)). (18)
В силу того, что слагаемые Но, Г коммутируют между собой {Но, Г} = 0, решение системы с га-
мильтонианом HH = HHo + FH является суперпозицией решений системы с гамильтонианом (17)
¿1 = 2 ÍZ1 Z1 = Z e
2 it
¿2 = i¿2
i
¿2 = Z e
(19)
(20)
= iz3 z3 = —3е и системы для гамильтониана (18)
7 _ (4п + пт(2п + 1) - 1 )л/2(гу2 72)
—1 = -тт-(-¿2 + —з ),
16
~ (4п + пт(2п + 1) - 1 )л/2~/.~
—2 = - ---—------—2 + —3 ).
8
п ~ 4п + пт(2п + 1) - 1, При замене I =-------I система уравнении (20) переходит в систему уравнений для задачи о трехмерной качающейся пружине [11, 12], для которой найдено общее решение. Имеется интеграл энергии Ж = 2Z1 —1 + Z2 —2 + Z3 —з, а для суммарной энергии п, т-й колебательной моды Z2 —2 + + Z3 —з = получается второй интеграл
П + ^ = Е, 2
П = ( 4п + пт( 2 п + 1) - 1 )2(^3 - ^2).
В предельном случае Е ^ 0 система (20) имеет решение в виде солитона. Поэтому для колебаний с начальными условиями х(0) = х0, у1(0) = у01, У2(0) = У02, и(0) = 0, ^(0) = ^2(0) = 0 при 6 =
22 yo1 + yo2
<§ 1, так же как и для пружинного ма-
ятника [11], получаем огибающие для колебаний по радиальной и лежандровой моде при 6 ^ 0 в виде суммы солитонов, отстоящих друг от друга на период Т:
X( t) = Xo(
+
th (( Т -1) ln3-2) +
(( T 2) s )
t 3 -1),
т 2 s ) )
(17)
Vy2 (t) + Y22(t) = 2xo (sech ((T - 2) Inf) + (21)
T=
+ sech | | -- - r) ln32
( ln3-2 + O (б)). (4n + nm(2n + 1) - 1 )x0 ( s )
На рис. 2 изображен результат численного моделирования для п = 7, т = 0, х0 = 0.007, у0 = 0.0013
x
o
a 0.01
s
0.15
Рис. 2. Сравнение численного и аналитического решений при резонансе радиальной моды и деформационной при п = 7, т = 0.
исходной системы уравнений, а также полученные аналитически огибающие амплитуд колебаний, где а(0 = х(0, е(0 = , х(0, у(0 взяты из
N
(21). Как мы видим, они хорошо согласуются с графиком численного решения. Аналитическая формула периода по (21) дает Т ~ 144, оцененный по графику период перекачки — Т ~ 142. Напоминаем, что для получения периода в секундах надо текущий безразмерный период поделить на ше (11). Полученные результаты хорошо согласуют-
ся с [8], где рассмотрена перекачка колебаний при п = 2.
Так как в общем случае одновременно выполняется условие резонанса для всех 2п + 1 присоединенных мод, энергия будет перекачиваться в ту моду, для которой период перекачки наименьший. Предположим, что энергия, запасенная в каждой моде, одинакова. Тогда очевидно, что перекачка будет происходить в п, т = п-ю присоединенную моду. Как следует из (21), отношение периодов п, т-й и п, 0-й мод для п = 7 дается формулой
T
4n - 1
140 t, c
To 4n + nm(2n + 1) - 1
Tm
(22)
График отношения — от индекса m при n = 7 T
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.