ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. Л. А. Калякин*
РЕЗОНАНСНЫЙ ЗАХВАТ В НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
Исследуется система шести нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений, которая возникает при усреднении быстрых вынужденных колебаний. Построены отвечающие резонансу асимптотические решения с линейно растущими по времени амплитудами.
Ключевые слова: нелинейные уравнения, асимптотика, резонанс, ВКБ-приближение.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается нелинейная неавтономная система с тремя степенями свободы, записанная в переменных амплитуда-фаза:
+ ЪРкР1 sinФ = fj sin{ф-j + <Pj),
d& цч
Pj -¿Q + IjPkPi cos-ф = fj eos(xpj +tpj),
где
гр = Фг + Ф2 + гр3, 7i=l, 72=7з = -1 (j = 1,2,3, j + к + 1 = 6, кф1). В декартовых координатах xj = pj cos 1¡)j, yj = pj sin x/jj уравнения имеют вид
^ + ъ(хкУ1 + VkXi) = fj sin ipj, ^ + 7j{xkxi - ykyt) = fj eostpj.
Характерной чертой задачи является квадратичный рост на бесконечности заданных фазовых функций: (fij{0) = 62cij/2 + 6аj + Qj, так что частоты внешней накачки ¡fj = a j6 + а* растут линейно по времени. Здесь fj, Qj, а*, a° = const, и aj / 0 при fj ф 0.
Если fj — 0 для всех j = 1,2,3, то система, называемая далее невозмущенной, интегрируется в эллиптических функциях, и для любого решения амплитуды Pj{6) ограничены равномерно по в. Возмущенная система (fj ф 0) не интегрируема; возможно исследование асимптотики ее решений при в —> оо с использованием невозмущенного
* Институт математики с ВЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, Уфа, Россия. E-mail: klenru@mail.ru
решения в качестве главного члена. На этом пути ранее было установлено существование шестипараметрического решения с ограниченными амплитудами [1].
Ниже речь пойдет о решениях с растущими амплитудами. В частном случае при <!р^ (в) = а® + а_,#2/2, если исходные константы связаны соотношениями + ¥>2 + ¥>з = 37г/2, = агаз, /| = —а1а3' /з = —«гаг! можно выписать одно точное решение такого типа: Р] = ф] = тг/2 — В общем случае наличие шестипараметрического семейства решений с растущими амплитудами р^ (0) ~ в при в —> оо обнаруживается в численных экспериментах. Целью данной статьи является аналитическое описание асимптотики на бесконечности для такого типа решений. Предлагаемые решения принципиально отличаются от приведенных в работе [1].
Рост амплитуд в колебательных системах обычно связывают с резонансными эффектами. Такую интерпретацию можно дать и здесь: резонанс возникает между вынуждающими колебаниями внешнего возмущения и собственными колебаниями системы. При этом необходимым условием неограниченного роста амплитуд вынужденных колебаний является изменение частоты внешней накачки1^. Растущие решения в главном члене асимптотики при в —► оо представляют собой собственные колебания с частотами, которые меняются в соответствии с накачкой. Именно в захвате системой внешней частоты содержится главное отличие от случая ограниченных решений [1]. Самое удивительное, что такая автоподстройка собственных частот не зависит от скорости изменения внешних частот. Подобное явление автофазировки (авторезонанса) в одномерных системах хорошо исследовано [2], [3]. Для многомерных систем аналитические результаты в этом направлении будут представлены впервые.
Происхождение задачи. Интерес к системам (1) объясняется их ролью в теории нелинейных колебаний. Эти уравнения, хотя и представляются весьма специфическими, являются стандартными при описании резонансных явлений для колебательных процессов разной природы [4]. Обычно уравнения такого типа возникают при усреднении по быстрым колебаниям других, более сложных, систем [5]. Искомые функции pj (в), 'фj (в) представляют собой медленно меняющиеся амплитуды и сдвиги фаз быстрых гармонических колебаний. Нелинейности исходных систем индуцируют нелинейности в усредненных уравнениях посредством главных резонансов. В частности, квадратичные резонансы приводят к квадратичным по амплитудам нелинейностям, указанным в (1). Неавтономность уравнений (1) является следствием медленной деформации параметров исходных систем таких, как частоты и амплитуды внешних сил. Как раз эффект деформации частот для ситуации общего положения содержится в квадратичных слагаемых фазовых функций и в2. Вопрос об асимптотике по "медленному" времени в —► оо возникает в связи с использованием уравнений (1) для описания резонансных процессов в переходных слоях, например, в слое нелинейного резонанса или на начальном этапе авторезонанса [6]. В частности, наличие растущих решений связывается с возникновением авторезонанса, одного из интереснейших явлений в нелинейных колебаниях [7].
^ Накачка с постоянной частотой не дает такого эффекта, поскольку с ростом амплитуд (и энергии) нелинейная система выходит из резонанса.
76
л.а. калякин
Постановка задачи об асимптотике решений на бесконечности является классической. Современное состояние общей теории освещено в книгах [8]. Однако известные результаты непосредственно к уравнениям (1) не применимы из-за осциллирующего характера решений. Используемые нами приемы состоят в модификации разных вариантов нелинейного метода ВКБ [9]. Основной результат сформулирован в теореме 5. Он состоит в том, что построение асимптотики с растущими амплитудами Pj (в) ~ в при в —> оо сводится к решению автономных уравнений для системы связанных маятников.
В разделах 2 и 3 приводятся результаты, схожие с результатами работы [1], которые необходимы для понимания подхода, предлагаемого в разделе 4.
2. НЕВОЗМУЩЕННАЯ СИСТЕМА
Основой для предлагаемых ниже асимптотических конструкций служат решения автономной системы, которая получается из системы (1) при fj = О,
dpj chpj
+ JjPkPl sin ф = 0, Pj -j^- + 7jPkPi eos ф = 0. (2)
Здесь введена независимая переменная г/, значения ф, 7j, j, к, I те же, что в (1). Такая система легко интегрируется.
Теорема 1. Существует общее шестипараметрическое решение системы уравнений (2)
pj = Д^(т/ + 50;Е), 1>j = lfj(T] + So-,E)+T1ílj(E) + Sj, j= 1,2,3, (3)
с шестью произвольными константами: Е = {Ei, Е2, £3}, {So, Si, S2, S3} при
о о
S1+S2 + S3 = 0. Вектор-функции Rj(r¡-, Е), ^j(r¡;Е) являются гладкими, периодическими по r¡ с периодом О = О(Е) и с частотой Г2 = 2tt/Q. В фазовых функциях rpj содержатся линейные по r¡ слагаемые с коэффициентами, которые удовлетворяют соотношению Í2i + Г2г + ^з = 0.
Замечание. Все остальные решения входят в четырехпараметрические семейства и не представляют для нас интереса.
Доказательство теоремы основано на наличии у системы (1) трех первых интегралов P1P2P3 eos ф — Е\, Р2 + Pi = Е2, р1 + р\ = Е3, значения которых используются в качестве параметров. Поскольку уравнения для четырех функций ф, pj, j = 1,2,3, можно отделить от остальных, то первые интегралы обеспечивают решение задачи в терминах эллиптических функций Якоби. Например, выражение одной из компонент через функцию синус амплитуды имеет вид
éifo-.E) = LHm-m)k2sn*(V^vM1/2> fc2 = —-> (4)
L J 7/3 - T?i
где значения r¡i < щ < туз являются корнями полинома r?(i?2 — ту)(£?з — r¡) — Ef. В терминах этой эллиптической функции выписываются остальные компоненты решения pj, фj системы уравнений (2).
При интегрировании уравнений для if)j появляются непериодические слагаемые, обусловленные ненулевыми средними значениями
flj = -ъЕ^^ЩГ^т, = -ъЕг«Я,-)"2). (5)
Очевидно, что коэффициенты ÍÍj ф 0 при Е\ ф 0. Однако ííi + Пг + ÍÍ3 = 0, поскольку
комбинационная фаза гр = xpi + гр2 + Фз является периодической функцией. По той же
причине из трех констант интегрирования Sj лишь две произвольны; связь между кон-
о
стантами определяется способом фиксации средних значений фаз Ф j. Например, можно считать, что Si + S2 + S3 = 0.
В декартовых переменных решение в ситуации общего положения представляется трехпериодическим функциями Xj, у3(т]; Е) с частотами ÍÍ, П;(Е). Имеются исключительные значения параметров: на плоскости Е2 = Е$ при Ei ф 0 решение вырождается в двухчастотное с Пг = ^з и />2 (77) = /Оз(^); на плоскости Е\ = 0 при Е2 Ф Ез решение вырождается в одночастотное с ílj = 0. На пересечении плоскостей решение будет непериодическим. Еще одно исключительное множество в пространстве параметров выделяется условием функциональной зависимости частот:
Следствие. Ранг матрицы, составленной из градиентов частот
Э(П,П1,П2,Пз) 5(E)
зависит от параметров Е: вне плоскостей Е\ =0, Е2 = Е3 его значение г = г(Е) ^ 2, всюду вне поверхности So ранг г = 3 максимален.
3. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ СИСТЕМА
Построение асимптотик на основе решения невозмущенной системы, как обычно, приводит к линеаризованным уравнениям
dRi 000 оо о
+ ij[RkRi cos Ф]Ф + lj\RkRi +RkR¡] sin Ф = HpJ{t)),
000 00000 (6}
^ _ Ъ.Ф ъъ ™ * + 7. cos + =
Rj Rj
Здесь Ф = Ф1 + Ф2 + Ф3 (j - 1,2,3, j + k +1 = 6, k ф I).
В рассматриваемых ниже случаях правые части будут периодическими по rj функциями. Для периодичности решения требуются дополнительные условия на вектор правых частей. Такие условия сформулированы в данном разделе.
ТЕОРЕМА 2. Пусть вектор-столбец
Y (п; Е, S) = {^С? + So; Е), + S0; Е) + Е) + Sj}T
представляет собой построенное выше шестипараметрическое решение нелинейной системы (2) вне плоскостей Ei = 0 и ¿?2 = Е3. Тогда для линеаризованной однородной системы (6) с нулевыми правыми частями существует фундаментальная матрица решений W, столбцы которой имеют следующую структуру.
2
YM, i = 0,1,2; Yi(9)=Yi(r1)+r1 $>«,тУт(»?), ¿ = 3,4,5. (7)
т=О
Вектор-функции Yi(r¡) (i = 0,1,2) и Yi(r¡) (г = 3,4,5) являются периодическими по г] с частотой П(Е). Число линейно независимых непериодических решений равно г - рангу матрицы c?(íí,ííi,íí2, Пз)/с?(Е), через элементы которой выражаются коэффициенты щ!т = const.
Доказательство. Одна тройка линейно независимых решений получается при
о
дифференцировании вектор-функции Y (ту; Е, S) по переменным S¿ и имеет вид Yo = о о
dr,{Rj,^j}T, Yi = (0,0,0,1,0,-1)т, Y2 = (0,0,0,0,1, —1)т. Другая тройка линейно независимых решений получается при дифференцировании по параметрам Е. Непериодичность слагаемых связана с зависимостью частот от параметров Е;
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.