Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами
Иноземцев С.А., аспирант Московского государственного университета приборостроения и информатики
РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЖАТИЯ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Необходимый анализ процесса сжатия частотно-модулированных колебаний, используемых в организации автоматических систем экологического контроля (АСЭК), доведенный до наглядного представления, был осуществлен на основе, так называемого, машинного сжатия сигналов с линейной и ступенчатой частотной модуляцией.
Использование ЧМ-сигналов с последующим их сжатием в канале приема наиболее просто может быть реализовано с помощью представления исходных ЧМ-колебаний, модулированных по линейному или линейно-ступенчатому закону. При этом, с целью упрощений алгоритма сжатия и техники его реализации, амплитуды излучаемых различных гармонических составляющих следует принять равными.
На приемном конце такие посылки, в полном соответствии с действие классического сжимающего фильтра (рис.1), разбиваются на отдельные составляющие равной длительности, каждая из которых должна быть подвергнута временной задержке так, чтобы при последующем суммировании всех гармоник их длительности совпадали по времени. Такое совпадение в результате сложения может дать импульсный всплеск, значительно превышающий уровень исходного сигнала.
Требуемый процесс задержки составляющих первичных колебаний и затем их сложения достаточно просто реализовать численными методами на основе применения компьютерной техники.
Для такой схемы реализации процессов сжатия сигналов исходные условия сводятся к следующим.
Графически изменение частот по линейному и линейно-ступенчатому законам представляется рис.2.
Рис.1. Схема построения сжимающего фильтра
Здесь Б(1) — обнаруживаемый сигнал, Иа(ю) — блок с амплитудно частотной характеристикой согласованного фильтра, Нф(и) — блок с фазосдвиговой характеристикой и сигнала после сдвигового фильтра, Уз(0 — желаемый вид сжатого сигнала на выходе оптимального фильтра.
Рис.2. Общий вид сигнала с амплитудой, приведенной к единице «а» - линейная ЧМмодуляция, «б» линейно-ступенчатая модуляция
Вид модуляции, представленной рис.2, математически соответствует условию:
s(t)= sin(®0 +ßt)t ; - T < t < T ; (1)
I I T 0; t > — ,
II 2
_ . - n (oT -a0 (o0 = 2nj 0, а j0 — начальная частота, ß =-t--коэффициент модуляции частоты в
пределах от а0 до oT, Т временная длительность сжимаемого сигнала.
Если представить разбиение его на n составляющих, то изменение частоты Аа в пределах каждой части всего сигнала будет равно:
Aa=ßT / n . (2)
Нетрудно установить при этом, каждая к-я часть колебаний буде соответствовать равенствам: Для непрерывных значений а
а = а0 + ßt ; T
а1 =а0 + ß—+ ßt ; n
+ (к - 1)ß-
В случае ступенчатой модуляции имеем:
aic = а0 ;
Т
а2с =а0 +ß—n ;
ак =а0 +(к - I)ß— + ßt . (3)
n
( 2n - 1Л_ T
®KC =®0 +1 —2— \ß~n • (4)
Начальные значения фаз окажутся равными: Для линейно модуляции
= 0 ; =(®0 +РТ IТ
I п ) п
2 n ) n
Для ступенчатой модуляции, соответственно,
P = 0 ;
(к =(k -1} а 0 + К ß- IT. (5)
0 T ß(TЛ2 n 2 I n )
<к =(®0 + 3вТ + ®0 + вТ | = 2ио + вТ IТ . I 2 и и п ! п
(6)
Эффект фазовой задержки, вызванной распространением волн вдоль расстояния L сводится к выражению:
< , (7)
где С — скорость распространения волновых колебаний.
Результат требуемого сложения, с целью сжатия ЧМ — сигнала, можно представить условием:
у(Ё81п(а^ + <ко + <) .
к=1
Для ступенчатой модуляции
П
ус (() = X ^ (аКСI + <кс о + < ) .
(8)
(9)
В качестве характерной точки можно взять отсчет, соответствующий суммарному уровню сжимаемого сигнала в момент времени
Т
п
(10)
Т
что соответствует середине сжатого импульса длительностью т = — . Тогда для ступенчатой
п
модуляции с учетом акс и <ркс0 можно получить:
п
ус (()/ = Т =Х
81П(
1 2п к =1
т. к. а
КС
П (2п -1 + 2к) + ж(к - 1)2п + к -1) 2к -1 Т 2к -1 а0 Т
= ао +—-Р- = а +———-
2 п 2 Т п
А/0Т
п
(11)
(12)
при в =
Аа а
ТТ
Анализ последнего выражения показывает, что условие, когда все складываемые части сигнала будут синфазными и будет получен максимальный уровень импульсов сжатия, сводится к следующему важному равенству:
А/0Т
= 1
п
(13)
где А/0 — общая полоса частот сжимаемого сигнала.
Отсюда устанавливается связь между длительностью сигнала, излучаемого, и числом п требуемых разбиений для реализации машинного сжатия .
Для получения максимального эффекта необходимо, чтобы
т = А/0-1п2 =
п
А/0
(14)
Если
А/0Т
п
< 1 условие, когда все амплитуды сигнала должны быть синфазны, не выпол-
няется ни при каком 1 .
Т. к. по физическому смыслу коэффициент сжатия по уровню амплитуды
т = п2 = ТА/0 , (15)
то реализация (61.2) и будет соответствовать оптимальному сжатию ЧМ- сигнала.
к =1
Таким образом, можно сделать вывод: оптимальный прием сигнала вида (1) можно осуществить путем приема его с временными задержками каждой составляющей отно-
Т
сительно друг друга на — при общей длительности Т исходных колебаний и числа
п
разбиений п, связанных условием (14).
Результаты сжатия ступенчато модулированных колебаний различного частотного диапазона и длительностей сжимаемых сигналов (на частотах модуляции несущих колебаний, физически распространяющихся в пространстве), полученные вычислительным моделированием приведены далее в виде рисунков.
Анализ выражения (1) показывает, что общий вид зависимости Я(/) = 8т(<э0 + в)) не будет меняться, если будет выполнено условие
/ (®0 в Л (®0 А®/п Л
(0 + 0) = — + п П = — +-- п П , (16)
УП П ) У П Тп )
в котором п есть некоторое число, соответственно уменьшающее номинальное значение начальной частоты и коэффициент модуляции при одновременном увеличении длительности излучаемых сигналов.
Это означает, что результаты, полученные для частотного диапазона, например, порядка 104 -2 • 104 Гц, по форме будут эквивалентными и для частот 100-200 Гц .
В качестве математического обеспечения конкретного алгоритма расчета процесса сжатия сигналов длительностью Т=0,03с с ЧМ — модуляцией в пределах указанного диапазона частот приводится ниже.
Т. к. коэффициент модуляции частоты оказывается равным
0 = ®^ = , (17)
Т 0,03
преобразуем формулы для частоты о>К8 и фазы р°К{,, с учетом заданных параметров, следующим образом:
2к -1 Т 2к -1 ®0 Т
®КС = ®0 +-1-0-=®) +—--(18)
2 п 2 Т п
Аналогично:
0 ( А к -1 ®0 тЛ т / \ ( к -1Л т (Кс =(к -1) ®0 +— -0- Н = (к -1)®01 1 +— I - . (19)
У 2 Т п) п у 2п ) п
Т
Рассмотрим амплитуду суммарного сигнала у, ([) в момент времени I = —, что соответ-
п
Т
ствует середине временного отрезка —:
п
ус (()'=Т = |>( ® (> + ^ ] £ + (е - !)®0 (1 + ) п) =
= 2 ^®0 1-(2п + 2е -1) + 2(-1)(2п + е -1)]
к=1
2п2
2п + 2к -1
-2-+ (к - 1)(2п + к -1)
= I si
sin(
к=1
п
2 (2n -1 + 2к) + п(к - l)2n + к -1)
f) . (20)
Проанализируем каждое слагаемое, стоящее в квадратных скобках (11) , в зависимости от свободно варьируемого параметра-числа разбиения длительности первичного сигнала. Пусть п — четное число: п = 2р , а -к тоже четное и равно; к=2 / , где р и / целые числа.
Тогда: 2n-1 +2к=4р-1+4 ¡ , и — (2n -1 + 2к) = - — + 2п(р + ¡и).
Второе слагаемое: п( ё - 1)(2n+ё-1) = п( 2¡-1)( 4p+2¡-1) = n[2u( 4p+2¡-1)- 4p+2¡+1]: 2n^¡(4 p + 2¡-1)- 2 p¡] + n. Таким образом, под знаком sin стоит следующее выражение: n = 2 p,
к = 2 и ;
+ — + 2п(и(4 p + 2¡-1))-2 p¡
1оТ
n2
2. При нечетных значениях -к: к = 2/ -1.
Тогда, П(2п -1 + 2к)=П(4р + 4/ + 1) = пП + 2п(р + /),
а п(к - 1)(2п + к -1) = 2п/(4р + 2/) = 2п2/(2р +/) . Следовательно, аргумент у синуса (58.2) при ( к = 2/-1) равен:
П + 2п(р + / + 2/(2 р +
Т
Таким образом, при п = 2р в точке t = — (середина отрезка сжатого сигнала) все части
2п
/ Т
сигнала имеют максимальную амплитуду и складываются в фазе, если —0— = 1. Поскольку
п
частота /0 задана (/0 = 102 Гц ), мы получим связь длительности сигнала Т и числа разбие-
п2
' 0
.-2
ний n: 10 Т = n , или T =
102
Итак, при условии четного числа разбиений (п = 2 р ) для получения максимального значения амплитуды сжатого сигнала необходимо выполнение следующего условия ( /0 = 100Гц ):
Т = 102n2.
/ Т Т
Если, например, —0— = 2, то усиления не будет при t = — и, как нетрудно показать, бу-п2 2п
Т 3Т
дут два пика при t = — и t = —.
4п 4п
/0Т . Т 2Т 4Т
Далее, при-= 3 получим три пика, соответственно, при t = —, t = —, t = —.......и т.д.
п 6п 6п 6п
2Т
Причем при t = — синусы равны -1. 6п
/0Т
Если —— < 1, условие, когда все амплитуды сигнала максимальны и складываются в п
фазе, не выполняется при таком 1, поэтому усиления амплитуды сжатого сигнала наблюдаться не будет.
Результаты машинного сжатия сигнала, полученные расчетным путем по реализации компьютерной программы, представлены на рис.3, рис. 4.
Здесь показаны формируемые виды сжатых сигналов при различных выбираемых значениях п и Т. На всех рисунках амплитуды сигналов по оси ординат откладываются в относительных значениях.
Для рис. 3 п = 10, Т = 10-2 с, максимальная амплитуда сжатого сигнала достигает 10.
Т. к. ширина спектра сигнала выбрана, равной А/0=100Гц, то согласно условию оптимального сжатия сигнала по энергии ТА/0 = п2 =т, коэффициент сжатия сигнала по амплитуде составит: тА = л/т , что полностью согласуется с полученными результатами.
Рис. 3. Форма линейно-ступенчатого ЧМ- сжатого сигнала при начальной длительности Т = 10-2 с, с числом разбиений п=10
Рис.4. Форма сжатого линейно-ступенчато ЧМ- сигнала при его начальной длительности Т= 0,236 с и числе разбиений п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.