Автоматика и телемеханика, Л- 7, 2007
РАС Б 02.30 Уу
© 2007 г. А.Ю. ТОРГАШОВ, канд. техн. наук (Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток)
РОБАСТНО-СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ГОРИЗОНТЫ РЕГУЛЯТОРА НА ОСНОВЕ ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛИ С УСЕЧЕННОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Рассматривается задача определения робастпо-стабилизирующих значений горизонтов управления (М) и прогнозирования (Р) для системы с регулятором, реализующим стратегию прогнозирующего управления. Найденный ¿-образ регулятора с прогнозирующей моделью позволяет исследовать асимптотические свойства замкнутого контура и получить условие робастпой устойчивости системы для объектов, обладающих астатизмом и последействием. Преимущество предлагаемого метода нахождения М и Р продемонстрировано па примере.
1. Введение
В последнее время получает стремительное развитие концепция управления на основе прогнозирующих моделей (ПМ) [1 3]. которые принято условно разделять на два типа [4]. К первому типу относятся модели в пространстве состояний, а ко второму усеченные импульсные переходные функции (УИПФ) в виде конечномерных векторов или матриц. Методы синтеза регуляторов с моделями первого типа наиболее развиты и удобны для исследования робастной устойчивости системы [5 6]. Однако они обладают существенными недостатками, сдерживающими их применение в реальных условиях.
Во-первых, необходима непрерывная оценка вектора состояний модели объекта с целыо осуществления прогноза [7]. но применение калмановской фильтрации или методов оценивания на основе инверсной динамики требуют знания статистических характеристик сигналов, что не всегда доступно. Кроме этого, действующие неизме-ряемые возмущения вносят существенную погрешность в процесс оценивания, а для сложной оптимизационной задачи совместной идентификации вектора состояний и возмущений не гарантируется отыскание глобального экстремума [8]. Во-вторых, методы оценивания вектора состояний для систем с запаздыванием еще не до конца проработаны теоретически [9].
Используя второй тип ПМ, можно просто учесть последействие (запаздывание) объекта: соответствующие элементы вектора УИПФ будут равны нулю. В этом случае не требуется оценивание состояний объекта [10], и при реализации алгоритма управления необходимо хранить в оперативной памяти ЭВМ вектор коэффициентов УИПФ (для объекта с одним входом и одним выходом) размерности Ж. Это N принято называть глубиной модели. В большинстве практических приложений выбирается N = 30 [11, с. 252].
Исследование робастной устойчивости системы управления мотивировано несоответствием между реальной динамикой объекта и его моделью. Робастность здесь понимается как грубость, нечувствительность некоторого показателя функционирования системы (например, степени устойчивости замкнутого контура), если объект
Настоящее
« Прошлое Будущее Задание
к - 1 кк + 1 к + 2-
••• к + Р
Горизонт прогнозирования Р
к - 1 кк + 1к + 2...
к + М
Горизонт управления М
Рис. 1. Стратегия управления с прогнозирующей моделью.
управления известен приближенно, т.е. задан в виде семейства объектов. В [12] сформулированы условия робастной устойчивости системы с алгоритмом управления на основе модели в виде УИПФ, но они имеют следующие принципиальные недостатки:
1) нет учета влияния горизонта управления М на робастную устойчивость системы:
2) допущение об элементах УИПФ Н = 0 для г > N делает неприменимыми условия устойчивости для астатических объектов:
3) рассмотренный показатель максимального несоответствия модели реальному объекту недостаточен для вывода условия робастной устойчивости системы с последействием (доказано ниже в разделе 2 настоящей работы):
4) условия получены на основе леммы Джури. которая не всегда точно указывает на местоположение корней характеристического полинома в ¿-плоскости.
Графическая иллюстрация стратегии управления с прогнозом на основе модели представлена на рис. 1. На каждом к-м такте определяется будущая оптимальная (в смысле заданного критерия) последовательность управляющего воздействия, стремящаяся обеспечить совпадение прогнозируемых значений выходной переменной с сигналом задания. Конечное количество шагов времени, на которое осуществляется прогнозирование или вычисление будущих значений переменной, называется горизонтом. Величины М и Р можно интерпретировать как настроечные параметры регулятора, имеющие важное практическое значение, но методика их совместного выбора вообще не разработана. Цель настоящей работы устранение всех указанных выше недостатков и разработка метода численного определения робастно-
МР
Рассмотрим некоторый объект с одним входом и одним выходом. Его уравнение модели имеет вид (дискретное представление интеграла свертки)
2. Показатель несоответствия ПМ реальному объекту
N
(1)
г=1
где у - выходная переменная модели; и - управляющее воздействие. Номинальная ПМ представляется как УИПФ в виде конечномерного вектора Ь = [0 Ь1 ... ЬN]т-Введем в рассмотрение также вектор Ь = [0Н1 ...Ь^]т, характеризующий динамические свойства реального объекта. Следуя [12], опишем семейство объектов п, содержащее внутри вектор Ь,
(2)
п = {Ьг < К < Ьг, г = 1,..., N},
где Ь и Ь - векторы нижних и верхних границ изменения Ь. Номинальная ПМ
п
(3)
Ьг
г =
Несоответствие ПМ реальному объекту выражается суммой модулей разностей
N
(4)
Ф = Ьг -Ьг
1
Каждый элемент Ьг ограничен посредством Ьг и Ьг, поэтому справедливо неравенство:
(5)
Ьг — Ьг
< ДЬг, г = 1,...,^
где ДЬг = Ьг — Ьг. Учитывая (4) и (5), запишем максимальное значение несоответствия как
N
(6)
Фп = ДЬг.
г=1
Обозначим
С7\ Л Т Ьг + Ьг Ьг + Ьг , • 1 Ат
(7) Лг = Ьг--^— = —2--^ г = 1'...'N.
С учетом (3). выражение (7) примет вид
(8) Лг = Ьг — Ьг = Ь — Ьг,
откуда
(9) Ьг =Лг + Ьг.
Утверждение 1. Если объект имеет запаздывание на й тактов, то справ е 0л и во ч г ера в енст во
(10) ФП > Фп,
г()е фП - максимальное значение показателя несоответствия ПМ реальному объекту с запаздыванием.
Доказательство. Для системы без запаздывания вычислим Фп, используя (6) и (8).
N N
Фп = hi + Лi — (hi — hi) = + hi,
i=i i=l
где. принимая во внимание (9). окончательно получим
N
(И) Фп = 53hi.
i=i
Если объект обладает запаздыванием, то hi = 0 для i = 1,... ,d. Нижняя граница в (2) становится равной 0. В результате имеем
d N
(12) ФП = £hi + ^hi.
i=1 d+l
Вычитая из (12) правую часть выражения (11), всегда получаем положительную d
разность ФП — Фп = Y1 Лi, что и подтверждает справедливость (10). i=i
Из утверждения 1 следует, что присутствие запаздывания в реальном объекте
d
увеличивает значение показателя максимального несоответствия ПМ на Л.1. Сле-
i=i
дуя условиям робастной устойчивости из [12 13], в этом случае невозможно гарантировать существование стабилизирующего регулятора на основе номинальной ПМ. Тем не менее ниже будет показано существование запаса устойчивости системы, когда справедливо (10).
3. Описание регулятора на основе ПМ
В настоящей работе рассматривается алгоритм управления на основе ПМ, принадлежащий классу алгоритмов Dynamic Matrix Control (DMC) [10 13]. DMC получил широкое распространение при решении задач стабилизации параметров химико-технологических процессов [4], поэтому весьма актуально продолжение исследований по робастной устойчивости систем с данным регулятором.
Изложим основные положения рассматриваемого алгоритма управления, переходя к приращениям Auk-i в уравнении (1)
N-1
(13) yk =^2 SiAuk-i + SNUk-N,
i=i
i
где Auk-i = Uk-i — Uk-i-v, Si = Y^ hj.
j=i
Прогнозирование выходной переменной на j шагов вперед с использованием (13) выполняется по уравнению
j N-i
(14) yk+j = ^2 SiAuk-i+j + SiAuk-i+j + SNUk-N+j + dk+j,
i=i i=j+i
где с1]~+з = ¿к = ук —ук есть ошибка прогноза (разность между измеренным на реальном объекте ук и полученным по модели (13)). На ] шагов вперед предполагается, что ¿к является неизменной величиной. Ошибка прогноза обусловлена влиянием неизмеряемых возмущений и наличием несоответствия ПМ реальному объекту.
Запишем (14) в векторно-матрнчной форме, учитывая конечные горизонты прогнозирования Р и управления М:
(15) У = 8; Ди/ + 8рДир + им + 3,
где Ди; = [Дик Дик+1 ••• Дик+м-1]Т; Дир = [Дик-1 Д«к-2 ••• Дик-м+2]Т; им = = [ик-м +1 ик-м+2 • • • ик-м +р]Т; 8; - матрица свертки
/ в1 0 0 ••• 0 0 \
в2 в1 0 ••• 0 0
\ йр «р-1 вр-2
в]-М +1
вр-м+1 )
размерности Р х М. Матрица 8Р размерностп Р х (Ж — 2), отражающая вклад предыдущих изменений управляющего воздействия на будущие значения выходной переменной, имеет вид:
/
«2 «3
й3
в4
в4
«5
йм-1
«м-2 «м-1
«м-1 0
0 0
0 0
\ вр+1 вр+2 • • • 0 • • • 0 )
Разность между сигналом задания И и прогнозом (15) находится по уравнению
Е = И — У = Е — 8; Ди;,
где Е = И, — (8рДир + вмим + с1) является невынужденной составляющей ошибки, не включающей в себя эффект от будущих изменений Ди/. Цель управления состоит в отыскании такой последовательности Ди/, которая минимизирует среднеквадратичную целевую функцию
(16) 3 = ЕТЕ + ДиГдДи/,
где Е = [ек+1 •••ек+р]Т; Р - диагональная матрица весовых коэффициентов. Решением задачи минимизации критерия 3 из (16) методом наименьших квадратов является
(17) Ди; = КЕ,
где К = (8Т8/+Р)-18Т размерности МхР. Физическая реализуемость (17) состоит в том, что на текущем шаге управления к возможно использование только первой К
(18)
Дик
К1Е •
На следующем такте осуществляется пересчет (17) (18) из-за изменений в векторе
4. Анализ влияния горизонта М на прогнозирующее управление
Проведем исследование влияния горизонта управления М на функционирование регулятора на основе ГШ.
Теорема 1. Пусть заданы элементы УИПФ, при которых > 0 I = 1,..., Р,
тогда с увеличением значения горизонта управления М от 1 до Р коэффициент р
передачи (КП) К^ = 5^ К1э- также увеличивается и достигает максимального 3=1
значения (К^)тах = 1/в1.
Доказательство. Нахождение матрицы К совпадает с поиском псевдообратной матрицы для Бу, т.е. К = Б++. Если М = 1, то Бу = Бу является вектором. Согласно методу Гревилля [14] имеем
(19) (Б^)+ = (8}тБ})-1Б}Т = Б 1Т/ ||Б 1 . Из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.