ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 1, с. 49-64
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
УДК 681.51
РОБАСТНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ: ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД* © 2014 г. А. Н. Жирабок, А. Ю. Суворов, А. Е. Шумский
Владивосток, Дальневосточный федеральный ун-т, Институт прикладной математики ДВО РАН Поступила в редакцию 04.06.12 г., после доработки 18.09.13 г.
Рассматривается задача построения робастных по отношению к неконтролируемым возмущающим воздействиям средств диагностирования для нелинейных стационарных дискретных систем с одним запаздыванием. В основу решения положен логико-динамический подход, позволяющий решить задачу диагностирования нелинейных систем линейными методами без ухудшения качества решения. Робастность процедуры диагностирования достигается за счет совместного использования оптимизационного подхода и усреднения сигнала невязки по времени. Изложенное проиллюстрировано примером.
БО1: 10.7868/80002338814010144
Введение. Использование методов диагностирования, в частности функционального диагностирования (ФД), позволяющего производить проверку правильности функционирования системы в процессе выполнения ею своих основных функций, является одним из средств повышения эффективности эксплуатации сложных технических систем ответственного назначения. За последние десятилетия были предложены и глубоко проработаны методы ФД для разнообразных технических систем, описываемых как линейными, так и нелинейными моделями с дискретным и непрерывным временем (см., например, монографии [1, 2]). Принятая структура процесса диагностирования предполагает формирование сигнала невязки как результата рассогласования поведения диагностируемой системы и ее эталонной модели и затем принятие решения по результатам анализа этого сигнала. В настоящей работе внимание концентрируется на этапе формирования сигнала невязки.
Традиционно для генерации невязки используются диагностические наблюдатели в виде асимптотически устойчивых наблюдателей состояния или фильтров Калмана, а также так называемых соотношений паритета [2]. При этом если соотношения паритета ориентированы только на решение диагностических задач, то диагностические наблюдатели также могут быть использованы непосредственно в контуре управления для оценивания состояния управляемой системы. В настоящей работе для генерации невязки используются асимптотически устойчивые наблюдатели состояния.
К важному классу динамических систем относятся системы с запаздыванием, описывающие гидравлические, пневматические, коммуникационные технические системы, а также химические реакторы и биологические системы (см., например, [3, 4]). Такие системы с точки зрения решения для них задачи ФД, особенно при наличии внешних неконтролируемых возмущений, когда необходимы робастные методы диагностирования, рассмотрены еще далеко не достаточно; из известных здесь можно отметить работы [4, 5].
Кроме использования традиционных методов обеспечения робастности, основанных на привлечении принципов адаптации, полной развязки и оптимизации [6, 7], при определенных характеристиках возмущающих воздействий робастность процесса диагностирования также может быть обеспечена за счет усреднения сигнала невязки по времени, этот вопрос представляется интересным, до настоящего времени он мало изучен.
Целью настоящей работы является решение задачи синтеза диагностических наблюдателей для нелинейных динамических систем с запаздыванием в условиях неконтролируемых возмуща-
* Работа поддержана грантами Дальневосточного федерального университета.
4
49
ющих воздействий. При этом робастность процедуры диагностирования достигается за счет совместного использования оптимизационного подхода и усреднения сигнала невязки по времени.
1. Постановка задачи. Предполагается, что рассматриваемые системы описываются моделью с дискретным временем, которая в результате отделения линейных и нелинейных членов друг от друга может быть приведена к следующему виду:
(1.1)
x(t + 1) = Fx(t)+Fdx(t - т) + Gu(t) + Сф (x(t), x(t - т), u(t)) + Lp(t) + Dd(t), y(t) = Hx(t).
Здесь t = 0,1,2,... — дискретное время, x e X ç Rn, u e U ç Rm и y e Y œ R' — векторы состояния, управления и выхода, F, Fd, G, С, L, D, H — известные постоянные матрицы, т — известное запаздывание, выраженное целым положительным числом; ф(-) — известная ^-мерная нелинейная вектор-функция следующего вида
ф (x(t), x(t - т), u(t)) =
Ф 1(A1x(t), B1x(t - т), u(t))
^p(Apx(t),Bpx(t - t),u(t))
в котором Aj и Bj, j = 1, p, — постоянные матрицы-строки соответствующих размеров; C — матрица размера n x p : если в правую часть уравнения для i-й компоненты вектора состояния исходной системы входит нелинейная функция фj(Ajx(t), Bjx(t - т), u(t)), то С(i, j) ^ 0, в противном случае С (i, j) = 0 ; d(t) — вектор, описывающий дефекты, которые могут появиться в системе: при их отсутствии d(t) = 0, при возникновении d(t) становится неизвестной функцией времени; p(t) — неизвестная векторная функция времени, описывающая внешние возмущающие воздействия на систему. Некоторые дополнительные требования к функциям d(t) и p(t) будут сформулированы ниже. В целях упрощения обозначим xT = x(t - т). Характерной особенностью систем с запаздыванием является то, что начальные условия для них должны задаваться в целочисленных точках {-т; -т + 1;...; 0} отрезка [-т, 0].
Формальное разделение членов модели на линейные и нелинейные может вызвать появление в матрице F нулевых строк. Это может привести к невозможности построения диагностических наблюдателей, поскольку, согласно используемому в работе логико-динамическому (ЛД) подходу, описываемому ниже, построение наблюдателей начинается с их линейных частей на основе матрицы F. Избежать этого предлагается следующим образом: для каждой нелинейности фг (Aix, Btxx, u) вводится формальное слагаемое Aix + BtxT - Aix - BtxT, первая часть которого добавляется к линейной составляющей Fx + FdxT + Gu, вторая — к нелинейной. В результате модель (1.1) принимает вид
x(t +1) = (F + CA)x(t)+(Fd + CB)x(t - т) + Gu(t) r фl(A1x(t),B1x(t - т),u(t)) - A1x(t) - B1x(t - т) л
С
чфp(Apx(t), Bpx(t - т), u(t)) - Apx(t) - Bpx(t - т) y(t)= Hx(t),
Lp(t) + Dd((),
(1.2)
J
где А = (А1 А^ ... Ар)т, В = В В^ ... Вр)т. Ясно, что произведенная коррекция усложнила модель, но это оправдано тем, что матрица ¥ + С А теперь учитывает все вхождения компонент вектора состояния в уравнения. В конкретных случаях такую коррекцию рекомендуется производить только тогда, когда некоторые компоненты вектора состояния входят в правые части уравнений исходной модели (1.1) только в составе нелинейных составляющих.
Для решения задачи синтеза диагностических наблюдателей предлагается применить ЛД-подход, предложенный в [8] и использованный в [8—11] для решения ряда задач ФД. Напомним отличительные особенности этого подхода.
2. ЛД-подход. Данный подход позволяет решать задачи для нелинейных систем с произвольными нелинейностями на основе линейных методов без использования линеаризации. При этом во многих случаях качество решений на основе этого подхода не отличается от решений, получаемых вычислительно сложными методами, например, на основе дифференциальной геометрии
или алгебры функций, хотя в ряде случаев может увеличиться размерность диагностических наблюдателей. Основные этапы ЛД-подхода состоят в следующем.
1. Преобразование исходной нелинейной системы (1.1) к линейной путем удаления нелинейной составляющей, что приводит к следующей модели:
x(t + 1) = Fx(t) + Fdx{t - т) + Gu(t) + Dd(t) + Lp(t), y(t) = Hx(t). (2.1)
2. Построение наблюдателя для модели (2.1) на основе одного из известных методов [1, 2] с
дополнительными ограничениями, обусловленными матрицами Fd, Ai и Bt, i = 1, p. Описание полученного линейного наблюдателя имеет следующий вид:
x*(t + 1) = F*x*(t) + F*dx*(t - t) + G*u(t) + Jy(t) + Kr(t), y*(t) = H*x*(t), (2.2)
K — матрица обратной связи, r (t) — невязка, формируемая в виде
r(t) = Ry(t) - y*(t)
для некоторой матрицы R размера 1 х l. Предполагается, что при отсутствии дефектов и возмущений векторы x(t) и x*(t) связаны равенством
x*(t) = Фx(t)
для некоторой матрицы Ф размера k х n (k < n), удовлетворяющей уравнениям
ФF = F*^ + JH, RH = Н*Ф, G* = Ф G, Ф Fd = F*d Ф. (2.3)
Кроме того, для обеспечения нечувствительности к возмущениям и чувствительности к дефектам матрица Ф должна удовлетворять условиям
ФL = 0, ФD ф 0. (2.4)
Отметим, что первые три уравнения в (2.3) известны в теории линейных систем [1, 2], четвертое дополняет их. Поскольку методы решения первых трех уравнений хорошо известны, предлагается в дальнейшем опираться на них, рассматривая четвертое уравнение в (2.3) и эквивалентное ему условие
( Ф ^
гапк(Ф) = rank I ^ I (2.5)
как одно из дополнительных ограничений, упомянутых выше. Два других ограничения будут получены в дальнейшем. Эквивалентность условия (2.5) равенству Ф Fd = F*d Ф следует из того, что, согласно (2.3), строки матрицы ФFd линейно выражаются через строки матрицы Ф.
3. Преобразование полученного линейного наблюдателя (2.2) в нелинейный путем добавления нелинейной составляющей, которая определяется следующим образом. Вычисляется произведение
ФСф^, xTu), (2.6)
в котором объединяются подобные члены (например, сумма Ajxuk + Aj-xuk приводится к виду (Ai + Aj )xuk = AiJxuk, аналогично для матриц вида Bt); из входящих в это произведение матриц-строк вида Ai и Aj, а также Bj и Bij- формируются блочные матрицы
A' = A AI •■• 4^ B' = (4 Bl •■• Bl)T
и проверяются условия
(ФЛ
H
(ф
rank I | = rank
VH
VA' У
rank^) = rank \ ф, j, (2.7)
которые являются оставшимися дополнительными ограничениями, упомянутыми в п. 2; они обусловлены необходимостью сформировать в наблюдателе нелинейную составляющую, согласованную с соответствующей составляющей исходной системы. При их выполнении решаются алгебраические уравнения
A —
b ' = B ф,
(2.8)
из которых определяются матрицы-строки Л., Л. , ..., A ■ и В*., В*. , ..., В*. . Эти матрицы ис-
Л ./2 -/я ./1 ./2 уа
пользуются для формирования аргумента нелин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.