ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 5, с. 146-160
УПРАВЛЕНИЕ В ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
УДК 681.5.01
РОБАСТНОЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В СЕТЯХ ПОСТАВОК В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВНЕШНЕГО СПРОСА И ИНТЕРВАЛОВ ЗАДЕРЖКИ ПОПОЛНЕНИЯ ЗАПАСОВ © 2014 г. Ю. И. Дорофеев, Л. М. Любчик, А. А. Никульченко
Украина, Харьков, Национальный технический ун-т "Харьковский политехнический институт" Поступила в редакцию 20.04.13 г., после доработки 25.04.14 г.
Рассматривается задача синтеза робастной стратегии управления запасами в сетях поставок в условиях неопределенного ограниченного спроса и неопределенности интервалов задержки пополнения запасов, а также наличия асимметричных ограничений на состояния и управления. Управление строится на основе метода инвариантных эллипсоидов в виде линейной нестационарной обратной связи по отклонению текущего уровня запасов от выбранного страхового уровня. Условия разрешимости задачи синтеза сформулированы в виде системы линейных матричных неравенств и сводятся к решению задач полуопределенного программирования и одномерной выпуклой оптимизации. Полученная стратегия управления обеспечивает подавление влияния интервально ограниченного внешнего спроса и робастную стабилизацию замкнутой системы. В качестве примера рассмотрено управление сетью поставок из трех узлов.
БО1: 10.7868/80002338814050060
Введение. Сеть поставок представляет собой сложную систему, состоящую из совокупности взаимосвязанных объектов, осуществляющих добычу сырья, производство, хранение, транспортировку и распределение продукции с целью удовлетворения потребительского спроса [1]. Обычно сеть поставок представляют в виде ориентированного графа, вершины которого, соответствующие узлам сети, определяют виды и объемы управляемых запасов, а дуги представляют управляемые и неуправляемые потоки в сети. Управляемые потоки описывают процессы переработки и перераспределения ресурсов между узлами сети и процессы поставок сырья извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы, который формируется внешними потребителями. Существуют различные структуры сетей поставок, которые определяются размещением производственных звеньев, потребителей и промежуточных складов. Если некоторые виды сырья или полуфабрикатов используются в нескольких процессах, проходящих одновременно, система приобретает эшелонированную структуру, подобные системы называют распределенными сетями поставок.
В результате функционирования производственных звеньев, ассоциированных с узлами сети поставок, и воздействия спроса со стороны внешних потребителей уровни запаса ресурсов в узлах сети изменяются с течением времени. Целью функционирования рассматриваемых систем является полное и своевременное удовлетворение спроса со стороны внешних потребителей при условии минимизации собственных издержек. В результате возникает необходимость в разработке методов управления сетями поставок с целью построения оптимальных стратегий управления запасами с учетом различных факторов неопределенности. При этом под стратегией управления сетью поставок понимается структура правил определения моментов и объемов заказа на пополнение запасов.
С точки зрения управления сетью поставок объемы спроса на конечную продукцию, поступающие на узлы сети из внешней среды и формирующие неуправляемые потоки, целесообразно рассматривать в качестве внешних возмущающих воздействий, подавление влияния которых является одной из основных функций системы управления сетью.
В настоящее время для синтеза стратегии управления запасами с заданной моделью спроса широко применяется метод прогнозирующего управления (Model Predictive Control, МРС) [2, 3], который позволяет строить управление как в программном виде, так и в виде обратной связи, а
также учитывать ограничения на состояния и управления. При этом синтез закона управления обычно сводится к решению в режиме on-line последовательности задач квадратичного программирования.
На практике, как правило, отсутствует информация для построения адекватной модели внешнего спроса, которая необходима для построения прогнозирующего управления. Поэтому для решения задач управления сетями поставок целесообразно привлечь методы управления в условиях неопределенности.
В работе [4] была предложена концепция "неизвестных, но ограниченных" воздействий (un-known-but-bounded inputs, UBB). Отметим, что начиная с [4] описание возмущений с помощью концепции UBB широко используется во многих областях и приложениях робастной теории управления. При этом соответствующая модель UBB спроса характеризуется интервальной неопределенностью, означающей, что каждая компонента вектор-функции, описывающей спрос, принадлежит некоторому интервалу, границы которого определяются на основании изучения статистических данных.
Методы решения задачи о подавлении неслучайных ограниченных внешних возмущений (rejection of external perturbations) рассмотрены в [5]. Одним из подходов к данной проблематике в современной теории робастного управления является концепция инвариантных множеств [6]. Среди различных форм инвариантных множеств особо выделяются эллипсоиды вследствие их простой структуры и прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова. В [7] на основе МРС-подхода с использованием аппарата линейных матричных неравенств (Linear Matrix Inequalities, LMI) решена задача стабилизации замкнутой системы с ограничениями и построена оценка множества достижимости на основе решения задач полуопределенного программирования (Semi-Definite Programming, SDP). При этом полученная стратегия управления применима лишь в случае, когда ограничения на состояния и управления являются симметричными, в то время как для задач управления сетями поставок характерно наличие несимметричных ограничений.
Другим источником неопределенности в задачах управления сетями поставок выступает наличие запаздываний, обусловленных задержками в пополнении запасов относительно момента выдачи требования. Для описания запаздываний используется модель дискретной задержки, при этом предполагается, что значения временных интервалов, определяющих длительность транспортировки и переработки ресурсов в узлах сети, известны. Однако в процессе функционирования сети эти параметры могут существенно отличаться от своих номинальных значений. В результате возникает необходимость обеспечения робастности системы управления сетью поставок относительно возможных вариаций указанных параметров.
Целью настоящей работы является синтез робастной стратегии управления запасами для распределенной сети поставок в условиях неопределенности внешнего спроса и транспортных запаздываний с учетом асимметричных ограничений на состояния и управления. Предлагается закон управления в виде линейной обратной связи по отклонению текущего уровня запасов от выбранного страхового уровня, который обеспечивает подавление интервально ограниченного внешнего спроса и робастную стабилизацию замкнутой системы.
1. Постановка задачи. Для математического описания управляемой сети поставок используется дискретная модель в пространстве состояний, поскольку предполагается, что получение информации о состоянии сети и формирование управляющих воздействий происходит в дискретные моменты времени с заданным периодом дискретизации At. В качестве переменных состояний рассматриваются наличные уровни запаса ресурсов, переработка которых к текущему моменту завершена и которые помещены в хранилища соответствующих узлов сети. Управляющими воздействиями являются объемы заявок на поставку ресурсов, формируемые узлами сети в текущем периоде, а внешними возмущениями выступают объемы спроса на конечную продукцию, которые поступают на узлы первого уровня сети поставок. Дополнительно задаются ограничения возможных значений состояний и управлений, обусловленные максимально допустимой вместительностью хранилищ и максимально возможными объемами транспортировки ресурсов.
Рассмотрим математическую модель сети поставок, описывающую изменение уровня запасов каждого вида ресурсов. Предполагается, что структура сети известна, а состояния доступны непосредственному измерению. Тогда модель сети поставок задается разностным уравнением с запаздыванием:
(1.1)
t = о
где x(k) е Ип — вектор состояний; u(k) е И т — вектор управляющих воздействий; d(k) е Иq — вектор внешних возмущений; Bt е Rnm, t = 0,Лтах, — матрицы влияния управлений, E е Ипч — матрица влияния возмущений; л1 е n — величина запаздывания управляемых потоков /-го узла; Лтах — максимальное значение величины запаздывания управляемых потоков между всеми парами связанных узлов сети. Очевидно, что структура сети определяется матрицами В, Е, методика построения которых изложена в [8].
В процессе функционирования системы должны выполняться следующие ограничения:
x(k) е X = {x е Rn : 0 < x < xmax}, k = 0,1,2,...,
u(k) е U = \u е Rm : 0 < u < umax},
(1.2)
где векторы хтах и ит, определяющие максимальные вместимости хранилищ узлов сети и максимальные объемы транспортировок, считаются заданными.
Будем предполагать, что векторы внешних возмущений удовлетворяют ограничениям
d(k) е D = {d е Rq: 0 < dmln < d < dm
(1.3)
где векторы d™1" и d™3* определяют граничные значения спроса и предполагаются известными.
Множества допустимых значений состояний X, управлений Uи спроса D представляют собой ограниченные многогранники, которые определяются пересечением конечного числа замкнутых полупространств, т.е. представляют собой компактные выпуклые множества, при этом начало координат не находится внутри этих множеств: 0 g int (X), 0 g lnt (U), 0 g Int (D).
Для системы (1.1) рассматривается задача синтеза стратегии управления уровнем запасов, обеспечивающей для любого начального состояния x(0) е X и спроса d(k) е D минимизацию квадратичного критерия качества, задающего суммарные потери от отклонения текущего уровня запасов от заданного страхового уровня, а также асимптотическую робастную устойчивость замкнутой системы при условии выполнения ограничений на состояния и управления (1.2).
2. Преобразование модели сети постав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.