ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 1, с. 35-48
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 681.51
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ КЛАССОМ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СЕТЕЙ*
© 2014 г. И. Б. Фуртат
Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербургский национальный исследовательский ун-т информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербургский
государственный ун-т Поступила в редакцию 09.04.13 г., после доработки 25.06.13 г.
Решена задача робастного управления динамическими сетями с неминимально-фазовыми подсистемами, у которых доступны измерению только скалярные входы и выходы. Получены условия на значения параметров модели сети и системы управления, при выполнении которых алгоритм управления, созданный для минимально-фазовых сетевых систем, будет работоспособен для неминимально-фазовых сетевых систем. Рассмотрено управление динамической сетью при наличии и отсутствии в ней ведущей подсистемы. Приведены примеры моделирования, иллюстрирующие результаты работы.
Б01: 10.7868/80002338814010053
Введение. Одним из фундаментальных предположений при управлении системой (объектом управления) в условии параметрической неопределенности, когда доступны измерению только скалярные вход и выход системы, является предположение о ее минимально-фазовости. Линейную систему (объект управления) будем называть минимально-фазовой, если числитель ее передаточной функции гурвицев, и неминимально-фазовой, если числитель ее передаточной функции негурвицев [1]. При разработке схем адаптивного или робастного управления выполнение требования к минимально-фазовости системы обусловлено построением устойчивых регуляторов [1].
На сегодняшний день предложено мало решений задачи управления параметрически неопределенными неминимально-фазовыми системами со скалярными входом и выходом. Так для управления таким классом объектов в [2] используется метод шунтирования. Однако данный метод применим только для линейных устойчивых объектов. Причем метод шунтирования оказывается неэффективным в условиях возмущений из-за регулирования по расширенному сигналу, который равен сумме выходов объекта управления и шунта. В [3, 4] независимо предложен последовательный компенсатор, применение которого позволяет получить новую расширенную модель объекта с векторным управлением и тем самым скомпенсировать положительные нули передаточной функции объекта управления. Однако алгоритм [3, 4] эффективен лишь для стабилизации неминимально-фазовых систем, не подверженных внешним неконтролируемым возмущениям.
Задача управления неминимально-фазовыми системами значительно усложняется, если управление осуществляется не одним объектом, а совокупностью взаимосвязанных объектов. Под динамической сетью будем понимать совокупность динамических подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями. Под неминимально-фазовыми (минимально-фазовыми) динамическими сетями будем понимать динамические сети, подсистемы которых являются неминимально-фазовыми (минимально-фазовыми) системами.
Одной из примет времени является повсеместное распространение динамических сетей. Среди многочисленных примеров можно упомянуть многопроцессорные системы передачи и обработки информации, различные транспортные сети, высокотехнологичные производственные
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы ОЭММПУ РАН "Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и сетевого управления в условиях неопределенности" № 14, РФФИ (грант № 13-08-01014), а также в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 гг.", проводимой в РГУ нефти и газа им. М.А. Губкина, и соглашений № 8855; 8846; 14.B37.21.0871; 14.B37.21.1480.
35
3*
сети, сложные кристаллические решетки, наноструктурные объекты и т.д. Среди неминимально-фазовых динамических сетей можно отметить системы координированного управления движением летательных, подводных аппаратов и подвижных роботов, распределенные системы управления электроэнергетическими сетями и т.д.
На сегодняшний день для управления динамическими сетями применен практически весь арсенал известных методов и подходов, разработанных для управления одним объектом. Так в [5] рассмотрена задача группового координатного управления динамической сетью с учетом топологии сети, исследованы свойства робастности сети, предложено обобщение критерия Найкви-ста для сетевых систем. В [6] для решения задачи синхронизации сети объектов с измеряемыми векторными входом и выходом используется метод модального управления при условии, что граф, ассоциированный с сетью, содержит остовное дерево. Получены необходимые и достаточные условия синхронизации сети, которые накладывают ограничения на параметры и топологию сети, а также коэффициенты регулятора. В [7] использован метод модального управления сетью линейных объектов, когда орграф, ассоциированный с сетью, содержит ориентированное остовное дерево. Под ориентированным остовным деревом понимается ориентированное дерево, составленное из ребер орграфа и такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину [7, 8]. В [9] для синхронизации сети нелинейных объектов используются нейросетевые методы при предположении, что орграф, ассоциированный с сетью, сильно связен.
В [5—7, 9] при управлении сетью динамических объектов предполагалось, что подсистемы сети описываются минимально-фазовыми системами. Причем, насколько известно автору, еще нет результатов по управлению неминимально-фазовыми динамическими сетями в условиях неопределенности и при измерении только скалярных входов и выходов подсистем сети. Поэтому настоящая статья посвящена решению данной задачи.
В статье рассмотрено решение задачи робастного управления определенным классом неминимально-фазовых динамических сетей в условиях параметрической неопределенности и внешних неконтролируемых возмущений. Решение строится при измерении только скалярных входных и выходных сигналов в каждой локальной подсистеме сети. Для учета топологии сети вводится орграф, каждая вершина которого ассоциирована с соответствующим узлом сети, а дуги орграфа ассоциированы с информационными связями между соответствующими подсистемами сети. Для синтеза закона управления используется метод вспомогательного контура, впервые предложенный в [10, 11] и обобщенный для управления динамической сетью в [12—14]. Вначале рассмотрено решение задачи для сети с ведущей подсистемой (лидером), которая определяет желаемое поведение остальных локальных подсистем сети. Затем рассмотрено решение задачи для сети без ведущей подсистемы и с запаздыванием в каналах связи. Разработанные системы управления обеспечивают синхронизацию сети с требуемой точностью. Получены условия, зависящие от параметров сети и системы управления и при выполнении которых алгоритм, созданный для минимально-фазовых систем, будет работоспособен и для неминимально-фазовых систем. Приведены численные примеры, иллюстрирующие работоспособность алгоритма.
1. Постановка задачи управления динамической сетью с ведущей подсистемой. Рассмотрим динамическую сеть S, состоящую из k подсистем Si, I = 1, к, и ведущей подсистемы (лидера) SL. Цель управления (синхронизации) динамической сетью с ведущей подсистемой состоит в поиске регуляторов, обеспечивающих сближение решения каждой локальной подсистемы с решением ведущей подсистемы [6, 9, 13].
Введем в рассмотрение орграф Г = (V, E), ассоциированный с сетью ^ где вершины орграфа Г ассоциированы с соответствующими подсистемами Si и лидера SL, V = { у1, ..., vL} — множество вершин, Ее Ух V — множество ребер. Пусть C = (с,у), S = — матрицы смежности орграфа Г, такие, что Су = 1 и siL = 1, еслиу е иначе Су = 0 и siL = 0, где = { V е V: V,), (V,, vL) е Е} — множество смежных вершин для узла V. Запись (V, V,) , (V,, е Е означает, что информация поступает от подсистемы Si к подсистеме Sj и от лидера SL к Si. Также рассмотрим орграф Г0, ассоциированный с сетью ^ где исключена ведущая подсистема SL.
Пусть в каждой ведомой подсистеме Si динамические процессы описываются уравнением
О1(р)У1® = кА(р)и() + т, р"-1у1(0) = ую > 1 = й, (1.1)
где у ¡У) е Я — регулируемая переменная, ы^) е Я — сигнал управления, fi(t) е Я — гладкое внешнее неконтролируемое ограниченное возмущение, й(р), Я,(р) — линейные дифференциальные операторы, ёе§0,(р) = п, ёе§Я,(р) = т, п — т > 1, ki > 0, р = — оператор дифференцирования по времени, ую — неизвестные начальные условия.
Модель лидера описывается уравнением
Оь(р)Уь(?) = кьт(?). (1.2)
Здесь у£(г) е Я — измеряемый выход, г(г) е Я — ограниченное задающее воздействие, QL(p) и > 0 — известный оператор и коэффициент соответственно, ёе§QL(p) = п.
Необходимо синтезировать непрерывный закон управления, обеспечивающий синхронизацию сети Б с заданной точностью 8 > 0, т.е. выполнение целевого условия
|М) - Уь($] <8 при г > т, (1.3)
где Т > 0 — время, по истечении которого с начала работы системы должно выполняться неравенство (1.3).
Будем решать сформулированную задачу при следующих предположениях. Предположение 1. Неизвестные коэффициенты операторов О,(р), Я,(р) и число к1 > 0 принадлежат известному ограниченному множеству возможных значений 5.
Предположение 2. В системе управления доступны измерению сигналы у,(г) и и (г), но не их производные.
Предположение 3. Орграф Г содержит ориентированное остовное дерево, в корне которого находится ведущая подсистема (1.2).
2. Декомпозиция уравнений ведомых подсистем сети. Представим оператор Я,(р) в виде следующего произведения:
Я(р) = Я+(р)Я-(р), (2.1)
где Я+(Х) — многочлен с положительными вещественными частями корней и порядком т1, Я-(Х) — многочлен с отрицательными вещественными частями корней и порядком т2, X — комплексная
переменная. Предположим, что оператор Я+(р) можно представить в виде следующей суммы: Я+(р) = Ди(р) + е, рДДсАр), (2.2)
где Я0,(Х) — произвольный известный гурвицевый многочлен с коэффициентом без X, как у Я+(Х), йе£Я01(р) = т1, 9,- > 0 — малый параметр, АЯ0,(Х) — остаток суммы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.