ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 3, с. 19-26
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 579.7
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ОГРАНИЧЕННЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ И ПОМЕХ © 2014 г. А. М. Цыкунов
Астрахань, Астраханский государственный технический ун-т Поступила в редакцию 13.02.12 г., после доработки 27.01.14 г.
Рассмотрена задача робастного управления объектом, когда вектор состояния измеряется с помехами, а на объект действуют параметрические и внешнее ограниченное возмущения. Выделен класс объектов, для которых возможна компенсация помех и возмущений на регулируемую переменную с требуемой точностью. Приводится числовой пример и результаты моделирования спроектированной следящей системы.
Б01: 10.7868/80002338814030159
Введение. Одной из основных проблем теории автоматического управления динамическими объектами является проектирование алгоритмического обеспечения регулирующих устройств в условиях априорной неопределенности параметров математических моделей объектов и при наличии внешних неизмеряемых возмущений. В таких условиях проектируемая система управления должна обеспечивать выполнение основной цели управления, например, слежение за эталонным сигналом с требуемой точностью, что возможно осуществить, если скомпенсировать параметрические и внешние возмущения.
Впервые на возможность создания систем управления, не чувствительных к внешним воздействиям, было указано в [1]. Впоследствии такие системы были названы инвариантными [2—4]. По этой проблеме имеется большое число публикаций. Достаточно подробно эта проблема изложена в [5], где приводится классификация задач проектирования инвариантных систем управления и различных типов возмущений.
Бурное развитие теории робастных систем управления началось с публикации [6], в которой были доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости интервальных полиномов. Разработаны различные подходы и методы построения робастных систем управления и исследования их устойчивости [7—9]. Это — минимаксные методы [10, 11]. В [5] с помощью алгебраических методов получены условия разрешимости задачи построения инвариантных систем с помощью обратной связи.
Синтез робастных систем с помощью матричных неравенств изложен в [12]. Применение адаптивных систем вместе с внутренней моделью возмущений рассмотрено в [13, 14]. В [15, 16] используются специальные фильтры, которые позволяют компенсировать возмущения, а также путем идентификации параметров гармонического сигнала получить его оценку для формирования компенсирующего управления. В [17] излагается подход к синтезу статических робастных регуляторов для линейных систем на основе решения линейно-квадратичной задачи, основанной на параметризации уравнения Лурье—Риккати.
Применение метода инвариантных эллипсоидов для подавления возмущений рассмотрено в [18]. В [19] разработана концепция гарантированного управления неопределенными объектами. Особенно следует отметить различные подходы, базирующиеся на "2-Риккати подходе". Данный метод был предложен в [20], и он является способом решения задачи оптимального управления в норме Нп. При этом постановка задачи осуществляется в частотной области, а решение ищется в пространстве состояний путем решения двух уравнений Риккати. В этом же направлении выполнены исследования в [21, 22]. В [23, 24] для компенсации возмущений выделяется сигнал, несущий информацию о всех возмущениях. Этот сигнал служит для получения их оценки, на базе которых формируется управляющее воздействие.
В данной статье предлагается принцип построения робастной системы управления с измеряемым вектором состояния, все компоненты которого подвержены действию помех, которые генерируются одним источником. Предлагаемый подход позволяет получить оценку значения по-
19
2*
мех, в результате чего появляется возможность спроектировать систему управления, в которой осуществляется компенсация помех и подавление параметрических и внешних ограниченных возмущений с требуемой точностью. Естественно, что на математическую модель объекта управления накладываются определенные ограничения, которые будут приведены в следующем разделе.
Задача построения системы управления решается в два этапа. Строится подсистема, позволяющая получить оценку помех. При этом рассматриваются два случая. Вначале предполагается, что матрицы в математической модели имеют такую структуру, когда не требуется дополнительных преобразований, а сразу можно приступать к построению подсистемы оценки помех. Выбирается вспомогательный контур, с помощью которого выделяется сигнал, несущий информацию только о помехе. Использование этого сигнала позволяет получить оценку помехи. Во втором случае требуются дополнительные преобразования, в результате которых получается математическая модель, имеющая такую же структуру, которая была в первом случае. Принцип формирования подсистемы оценки остается такой же, как в первом варианте.
После того, как получена оценка помехи, производится ее компенсация, в результате появляется возможность получить оценку регулируемой переменной, которая применяется для построения системы управления.
1. Постановка задачи. Пусть математическая модель динамических процессов в объекте управления имеет вид
x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Df (x, t), z(t) = x(t) + N¡^(t), y(t) = Cx(t), (1.1)
где x(t) e Rn — вектор состояния; z(t) e Кn — вектор измерения; u(t) e К — управляющее воздействие; y(t) e R — регулируемая переменная; fyt) — сигнал, который является источником помех в каналах измерения вектора состояния; f (x, t) — скалярная функция, в которой сконцентрированы параметрические и ограниченные внешние возмущения; A, B, D, N, C — числовые матрицы соответствующего порядка; N — матрица интенсивности действия помех в каналах измерения вектора состояния. Сформулируем хорошо известную задачу слежения.
Требуется спроектировать алгоритмическое обеспечение системы управления для слежения за эталонным сигналом ym(t) таким образом, чтобы выполнялось целевое условие
\y(t) - ym(t)\ <s, когда t > To, (1.2)
где величина 5 характеризует точность слежения, T0 — время, по истечении которого с момента начала роботы системы должно выполняться целевое неравенство.
Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.
Допущения.
1. Пара (A, B) — управляема, а пара (A, C) — наблюдаема.
2. Передаточная функция от управления к регулируемому выходу Wu(X) = C(Ik — A)-1B = = kG(k)/Q(k) является минимально-фазовой, k > 0. Функция f (x, t) ограничена по всем переменным x(t) или удовлетворяет глобальным условиям Липшица, а по переменной t — гладкая ограниченная функция. Здесь X — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
3. Матрицы A, B, D, N, C известны.
4. В уравнении (1.1) имеется хотя бы одна i-я строка, в которой d¡ = 0, а полиномы
n
Х- a¡¡, N¡X- ^ a¡jNj i = i
— гурвицевы.
5. Эталонный сигнал ym(t) — гладкая ограниченная функция времени, а сигнал помехи £(t) — ограниченная непрерывная функция.
Следует отметить, что условия 1—4 выделяют класс математических моделей объектов управления, для которых разрешима задача компенсации возмущений и помех.
Ясно, что для выполнения целевого условия (1.2) с требуемым значением величины 5 необходимо скомпенсировать влияние возмущений и помех на регулируемую переменную. Однако вектор измеряемых переменных z(t) несет информацию о возмущениях и помехах. Поэтому пер-
вый этап решения сформулированной задачи состоит в выделении сигнала, который бы нес информацию только о помехах или только о возмущениях.
2. Компенсация помех с использованием исходной математической модели объекта. Сформируем новый вектор измерения
z(t) = z(t) + Nv(t). (2.1)
Здесь v(t) — управляющий сигнал, предназначенный для компенсации влияния помех. Пусть в i-й строке векторного уравнения (1.1) выполнено четвертое допущение
n
X(t) = X ûyXj (t) + b;u(t). (2.2)
J = i
Принимая во внимание второе уравнение в (1.1), из (2.2) получим уравнение для i-й компоненты вектора z(t) :
n n
zi(t) = auZi(t) + X a jZj(t) + but) + N&t) - XajN&t), (2.3)
j = 1, j *i j = 1
где z, b, N — i-е компоненты векторов z, B, N соответственно. Компонента bt вектора B может равняться нулю. Будем считать, что bt Ф 0.
Введем вспомогательный контур, математическая модель которого имеет вид
n
Zb(t) = auzb(t) + £ a jzj(t) + bu(t), Zb(0) = 0, (2.4)
j = 1, j *i
где zb(t) e R, и составим уравнение для сигнала рассогласования Ç(t) = z(t) - zb(t), вычитая (2.4) из (2.3):
Z(t) = auZ(t) + N&t) - am. (2.5)
Здесь
n
an = X aijNj . j=1
Из уравнения (2.5) следует, что если пропустить сигнал Ç(t) через фильтр с передаточной функцией (À - aii ) / (NiX - an ), то получим оценку é,(t) помехи 2,(t). Эта процедура равносильна решению системы уравнений
Z(t) = aftZ(t) + N&t) - ank(t),
N kt) - aM = Z(t) - aiiZ(t), |(0) = 0.
Решив эту систему уравнений, будем иметь
|(t) = Ç(t) - exp [ft )ЗД>. (2.6)
Тогда справедливо следующее утверждение.
Ут верждение. Если выполнены допущения 1—5, то устройство, функционирующее в соответствии с формулами
n
PZb(t) = aazb(t) + X ayZj(t) + bu(t), Z(t) = z;(t) - Zb(t),
j = 1, j * i
(NP - an)|(t) = (P - au)Z(t), обеспечивает оценку |(t) значения помехи 2,(t), которая удовлетворяет условию
lim |(0 = t,(t). (2.7)
t
Здесь P = d / dt — оператор дифференцирования.
Тогда, сформировав вспомогательное управляющее воздействие v(t) = t), принимая во внимание формулу (2.6), из (2.1) получим оценку регулируемой переменной
y(t) = Cz(t) = Cz(t) + CNv(t) = y(t) + a p(t),
где ap(t) = CN exp {ant/Nt ) ^(0).
Блок-схема системы компенсации помех представлена на рис. 1, где L0 = [0—010—0] — матрица-строка с единичным i-м элементом, a = [aib —, 0, ai{i+1),—, ain]. Все устройства на блок-схеме технически реализуемы. Нет необходимости использовать производные сигналов.
3. Компенсация помех с применением преобразованной математической модели объекта. Рассмотрим общий случай получения оценки сигнала {(), когда во всех строках векторного уравнения (1.1) не выполнено допущение 4. Это означает, что в уравнении (1.1) матрица D такая, что любые i-е к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.