ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 3, с. 39-44
= ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ИДЕНИТИФМКАЦИЯ
УДК 681.51.015
РОБАСТНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА
© 2007 г. С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. С. Кремлев, Г. В. Лукьянова
Поступила в редакцию 12.09.06 г., после доработки 01.11.06 г.
Рассматривается проблема идентификации неизвестной частоты синусоидального сигнала. Предлагается новый подход оценки частоты синусоидального сигнала, который является робастным относительно неучтенных возмущений, присутствующих в измерении полезного сигнала.
Введение. В статье исследуется проблема идентификации частоты синусоидального сигнала м>(Х) = а 8т(юх + ф) + 5(0 для любых неизвестных постоянных значений а, ф, ю >0 и ограниченного возмущения 5(0, представляющая значительный теоретический и практический интерес [1]. Можно выделить ряд работ, посвященных идентификации неизвестной частоты синусоидальной функции а 8т(юх + ф) [1-7]. Следует отметить, что на сегодняшний день подходы к оценке параметра ю > 0 не ограничены изучением случая одной синусоиды [1, 2]. В частности, в [3-7] рассматривается общий случай гармонического сигнала, представляющего собой сумму п синусоидальных функций с различными частотами. Однако в отличие от данной статьи в [1-7] не затрагивалась проблема идентификации частоты в условиях присутствия неопределенного возмущения в измерениях полезного сигнала а8т(юх + ф).
1. Постановка задачи. Имеется измеряемый сигнал вида
w (t) = G sin О t + ф) + 5( t),
(1.1)
lim |ю - (ö(t)| = 0 при 5(t) = 0,
(1.2)
сигнала можно использовать дифференциальное уравнение вида
d y(t) _ „2
dtt
= -w2 y (t) = 0 y (t),
p2y (t) = 0 y (t),
(2.1)
(2.2)
где р - оператор дифференцирования, 0 = -ю2 - постоянный параметр.
Лемма 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.1), (2.2). Для этого введем вспомогательный фильтр
m (1 (t) = t),
¿2( t) = -2(¡2(t) - Qi( t) + y(t),
((t) = (i(t)
(2.3)
или
представляющий собой синусоиду с неизвестными амплитудой а, частотой ю, фазой ф и ограниченным возмущением 5(0. Сформулируем цель, как решение задачи синтеза алгоритма идентификации, обеспечивающего для любых а, ф, ю >0 и 5(0 выполнение условий
((t) =
1
(p +1 )2
2 у (t).
(2.4)
lim |ю - ю(t)|<50 при 5(t0, (1.3)
t ^
где (((t) - текущая оценка параметра ю, а число 50 представляет собой некоторую область, зависящую от амплитуды возмущения 5(t).
Допущение. При идентификации параметра ю в условиях действия возмущения 5(t) будем полагать, что амплитуда сигнала 5(t) меньше амплитуды полезного сигнала G sin(wt + ф).
2. Предварительные результаты. Хорошо известно, что для генерирования синусоидального
Тогда модель (2.1), (2.2) может быть представлена в виде
у (X) = 2< (X) + <( X) + 0<( X) + £у (X), (2.5)
где еу(0 - экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми начальными условиями.
Доказательство. Переходя к изображениям Лапласа для уравнения (2.2), получаем
¥(5) = —Ц0¥(5) + ¥(5)- °(5) -
(s + 1)
(s + 1)
(s + 1)
= 0 ——- Y( s) + Y( s) + (2.6)
(s +1Г 1
+
■ Y (s) +
(s +1Г
D (s)
(s +1)2 (s +1)2'
t ^
3 2 1 0 -1 -2 -3
Выход системы (2.3), (2.5)
0
Рис. 1. Графики задающего сигнала у(Х) и выхода системы (2.3), (2.5).
£y
3 2 1 0 -1 -2
-3
0
2 3
Рис. 2. График экспоненциально затухающей функции £y(t).
где 5 - комплексная переменная, У5) = Ь{у(1)} -образ Лапласа сигнала у(0, а полином Б^) обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия. Из уравнения (2.6) имеем
y (t) = 0-—2y (t) +
(p +1 )2
+ -
2 p
(P +1 )2
2 У (t )■
1
(2.7)
(P +1 )2
2 y (t) + £ y( t),
Ы t) = t),
t) = -2^ (t) - t) + W (t), 4( t) = 4 (t)
(2.9)
или
4(t) =
1
2 w (t) .
(2.10)
где экспоненциально затухающая функция времени £y(t) = L-1{D(s)/(s + 1)2} определяется ненулевыми начальными условиями. Поставляя (2.4) в (2.7), получаем
y (t) = 2<; (t) + q( t) + 0q( t) + £y( t),
что и требовалось доказать.
Для иллюстрации правомочности использования результатов леммы 1 приведем следующий пример.
Пример 1. Рассмотрим синусоидальный сигнал вида y(t) = 2 sin(3t + 1.5) и, построив систему в соответствии с выражениями (2.3) и (2.5), проведем моделирование. На рис. 1 представлены графики задающего сигнала y(t) и выхода системы (2.3), (2.5), а на рис. 2 - график экспоненциально затухающей функции £y(t). Графики иллюстрируют правомочность использования леммы 1 для генерирования синусоидального сигнала.
Теперь сформулируем лемму, в которой пойдет речь о новой модели представления сигнала (1.1).
Лемма 2. Рассмотрим измеряемый сигнал
w (t) = a sin (ю( t) + ф) + 5( t) = y (t) + 5( t), (2.8)
где функция y(t) - решение дифференциального уравнения (2.1). Введем вспомогательный фильтр
(Р +1)
Тогда для (2.8) можно записать
w (X) = 2 4 (X) + X) + X) + 8( X) + £у (X), (2.11) где сигнал
2 _ 0
8( X) = -Р—^ 8( X), (Р +1 )2
а ey(X) - экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми начальными условиями.
Доказательство. В силу доказательства леммы 1 имеем
У (X) = 2р+-0-+1У (X) + еу( X) = (Р + 1)
_ 2 р + 0 + 1
+
= 0 1
2 (w(t) - 8(t)) + £y(t) =
(P +1 )2 y
_J_ w (t) + -2Ц W (t) + (p +1 )2 (p +1 )2
(2.12)
2 w (t)-2p + 0+218( t) + £y (t) = 2 4 (t) +
(p +1Г (p +1)
+4(t) + 04(t) - 8(t) + 8(t) + £y(t)
8
6
7
где
РОБАСТНЫИ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТЫ 41
Доказательство. Рассмотрим ошибку
- 5( t) + 8( t) =
(p +1)
Ц0 8(t)
и,следовательно, 2 p
8(t) = 8( t) -
-Ц0 S( t) = 8( t).
(Р+1Г (Р+1)
Из уравнения (2.12) получаем
у (X) + 8( X) = 2 4 (X) + 4( X) + 04( X) + 8( X) + еу (X) или
w (X) = 24 (X) + 4( X) + 04( X) + 8( X) + еу( X),
что и требовалось доказать.
Пренебрегая экспоненциально затухающим членом е^), будем полагать, что сигнал w(X) = а sin(юX + ф) + 8(X) = у^) + 8(X) может быть представлен в виде
w (X) = 24 (X) + 4( X) + 04( X) + 8( X), (2.13)
где 8 (X) - ограниченная функция, в силу гурвице-вости полинома (р + 1)2 и ограниченности 8(X), а сигнал 4^) формируется с использованием вспомогательного фильтра (2.9), (2.10).
3. Робастный алгоритм адаптивной идентификации частоты синусоидального сигнала. Для синтеза идентификатора неизвестного параметра 0 введем новую переменную - измеряемый сигнал вида
2(X) = 4(X) = w(X) -24(X) - 4(X).
Тогда для модели (2.8) с учетом уравнения (2.13) имеем
z (t) = 04( t) + 8( t).
(3.1)
z (t) = 0 (t )4( t),
(3.2)
где Z(t) - оценка сигнала z(t), а 0 (t) - настраиваемый параметр, одновременно являющийся оценкой параметра 0.
Утверждение. Пусть параметр 0 (t) настраивается следующим образом:
0(t) = k4(t)(z(t) - Z(t)), (3.3)
тогда при
8(0 = 0 справедливо lim |0(t) - 0 = 0,
8(0 Ф 0, имеем lim |0(t) - 0| < 80 о
t ^^
0 = 0 - 0. Дифференцируя (3.4), получаем
0 = 0- 0 = 0- k 4( z - z) =
= - k4(04 + 8 - 04) = - k42 0 + k 48.
Рассмотрим функцию Ляпунова вида
- = f
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Дифференцируя (3.6) с учетом (3.5), приходим к неравенству
V = -2k4-V + k480 < -2k42V+ + 1 k4202 + -k82 < -k42 V+
+ 1 k 82 < - k 42 v + с0,
(3.7)
Построим адаптивный наблюдатель для сигнала
(3.1)
1 -2
где число C0 > -k8 . Интегрируя (3.7), имеем
V(t) < V(t0)e~ky(t't0) + C0Je-kY(^dT, (3.8)
где функция
tt
Y(t, t0) = J42(T)dT и y(t, t0) = lim [4-(t)dT —-
J t ^
t0 t0
Из неравенства (3.8) легко показать, что при 8(t) = 0 (и, следовательно, при 8 (t) = 0)
lim |0 (t) - 0 = 0, а при 8(t) Ф 0 выполняется усло-
t ^^
вие lim |0(t) - 0 < 80 < Утверждение доказано.
t
Замечание 1. Из доказательства утверждения следует, что, увеличивая коэффициент k в алгоритме (3.3), можно достичь повышения скорости сходимости параметра 0 (t) к 0.
Для иллюстрации правомочности использования алгоритма идентификации (3.3) приведем следующий пример.
Пример 2. Рассмотрим синусоидальный сигнал вида w(t) = 3 sin(2t + 1). В соответствии с выражениями (2.9), (3.1)—(3.3) построим устройство оценивания частоты сигнала
0
t ^
л
е
t
Рис. 3. График функции 0 (Г) при к = 2.
Ы Г) = Г),
г) = -2^2(Г) - Г) + *(Г), < 5(Г) = 0(Г)£(Г), (3.9)
*( Г) = £ (Г),
0 ( Г ) = к£( Г )(5 ( Г ) - 5 ( Г )).
Графики функции 0 (Г) для различных коэффициентов к (рис. 3-4) иллюстрируют, что увеличение к ведет к повышению быстродействия оценки неизвестной частоты.
Замечание 2. Из доказательства утверждения можно видеть, что с уменьшением сигнала
5 (Г) величина С0 уменьшается, а следовательно,
увеличивается точность оценки 0 (Г) относительно неизвестного параметра 0. Подобное рассуждение позволяет сделать вывод о том, что возможность уменьшения влияния возмущения 5(Г) способна повысить точность идентификации. Последнего можно достичь путем введения низкочастотных фильтров для уменьшения влияния высокочастотных возмущений 5(Г). Очевидно, что если частота ю полезного сигнала а 8т(юГ + ф) меньше, чем частотная составляющая возмущения 5(Г), то при низкочастотной фильтрации сигнала w(Г) = а 8ш(юГ +ф) + 5(Г) частота ю не изменяется, а влияние 5(Г) уменьшается.
Для иллюстрации правомочности использования низкочастотных фильтров обратимся к следующему примеру.
Пример 3. Рассмотрим синусоидальный сигнал вида w(Г) = 3 8ш(2г + 1) + 5(Г). Построим устрой-
л
е
t
Рис. 4. График функции е (t) при к = 10.
ство оценивания аналогично системе (3.9), при этом дополнительный отфильтрованный сигнал
*(t) = тр+тw(t):
w (0 = TpTTw (0, 4т (t) = 4 2 (t),
^2 (t) = -2 %2( t) - (t) + w ( t), (310) г (t) = (t),
г (t) = е (t)%( t),
i(t) = k%(t)(z(t) - z(t)).
Промоделируем систему (3.10) для различных значений параметра T и возмущения 5(t) = = 0.1 sin(25t + 1.5) + 0.2 sin 10t. Графики функции
е (t) (рис. 5-7) иллюстрируют, что с увеличением
постоянной времени T фильтра w (t) = ^ | w(t)
влияние высокочастотного возмущения ослабевает и повышается точность оценивания параметра е.
Замечание 3. Покажем, что с использованием алгоритма идентификации (3.3) можно получить удовлетворительную оценку полезного синусоидального сигнала. Для этого возьмем сигнал (2.11)
y (t) + 8( t) = 2 % (t) + %(t) + е%( t) +
+ 8( t) + £y (t)
РОБАСТНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТЫ
43
л 0
2 1 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.