ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2014, том 54, № 1, с. 23-26
УДК 537.8;537.5
РОЛЬ КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ИОНОВ В ГЕНЕРАЦИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО СВЕЛЛИНГА
© 2014 г. О. А. Похотелов1, О. Г. Онищенко1 2
1Институт физики Земли РАН, г. Москва 2Институт космических исследований РАН, г. Москва e-mail:pokh@ifz.ru, onish@ifz.ru Поступила в редакцию 14.05.2013 г.
После доработки 25.08.2013 г.
Неустойчивость магнитного свеллинга (распухания) является одной из наиболее важных неустой-чивостей в плазме в которой электроны горячее, чем ионы. В отличие от диамагнитной (зеркальной) неустойчивости, принадлежащей ветви медленных магнитозвуковых волн, неустойчивость магнитного свеллинга соответствует ветви быстрых магнитозвуковых волн. В идеализированном пределе нулевой температуры ионов теория этой неустойчивости была развита в работах [Basu and Coppi, 1982, 1984] в начале 80-х годов в рамках магнитогидродинамической модели. Для большей реалистичности модели необходимо включить в теорию эффекты конечной температуры ионов. Кроме того мы проведем рассмотрение теории магнитного свеллинга в рамках более наглядного квазигидродинамического подхода, хорошо зарекомендовавшего себя при рассмотрении зеркальной неустойчивости. При этом оказывается необходимым воспользоваться только условием поперечного баланса давления плазмы и теоремой Лиувиля для вычисления вариации поперечного давления. Такое рассмотрение является более простым и наглядным и позволяет глубже понять физическую природу неустойчивости и подготовить необходимую базу для интерпретации наблюдательных данных.
DOI: 10.7868/S0016794014010131
1. ВВЕДЕНИЕ
В 80-х годах предыдущего столетия было показано, что медленная и быстрая магнитозвуковая моды в плазме с горячими электронами и холодными ионами могут возбуждаться в результате генерации нового класса неустойчивостей электронной диамагнитной неустойчивостью и неустойчивостью магнитного свеллинга [Basu and Coppi, 1982, 1984]. В отличие от обычной ионной диамагнитной неустойчивости [Pokhotelov et al., 2002] эти неустойчивости не связаны с резонансными процессами, связанными с эволюцией небольшой группы частиц и потому могут быть описаны гидродинамическими уравнениями. Эффекты плазменной неоднородности анализировались в работе [Marchenko et al., 1988]. Отметим, что анализ проведенный во всех этих работах довольно громоздкий, включает довольно длительные вычисления и потому может затемнять физическую суть процесса.
Основной целью данной работы является развитие сравнительно простого подхода позволяющего лучше понять физику неустойчивости магнитного свеллинга. С этой целью мы применим квази-гидродинамический подход, который успешно применялся для изучения зеркальной неустойчивости в работе [Pokhotelov et al., 2000, 2002]. В отличие от работ [Basu and Coppi, 1982, 1984] мы
введем в рассмотрение учет эффектов конечной температуры ионов. Это позволит сделать теорию более полезной для интерпретации наблюдений.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
По аналогии с зеркальной неустойчивостью начнем с линеаризованного уравнения перпендикулярного баланса давлений [РокЬо1е1оу й а1., 2002]
Sp
B SB
Ц0
ю
2
- k f1+ь-ft
2 2 ,2 1
/22 /2 k±cA
B SB
(1)
Ц0
где В — внешнее магнитное поле, 8р± — возмущение перпендикулярного давления, 8 В — возмущение магнитного поля, все возмущения считаются зависящими от времени и координат по закону ~ехр(-/ю? + /к • г), ю — частота колебаний, р±,ц =
= 2цВ2 — отношение перппендикулярного (параллельного) давления плазмы к давлению магнитного поля В2/2ц0, ц0 — магнитная проницаемость вакуума, к± и кц — компоненты волнового вектора поперек и вдоль магнитного поля, сА =
= B/ (|i0
i0p)^2 — скорость Альфвена и р — массовая плотность плазмы.
24
ПОХОТЕЛОВ, ОНИЩЕНКО
Для вычисления изменения функции распределения при изменении энергии частиц и магнитного поля воспользуемся теоремой Лиувилля [Northrop and Schardt, 1980; Southwood and Kivel-son,1993]
SF, = -
в дЛ-8W^i
Щ
dW '
(2)
5W = -q, Ч + -
ю
ю - k||
Подставляя (4) в (2) получаем
(Ч + Ц8В||) . (4)
щ = -
ц5Я | dF, , , dF: ю(q,¥ + ц5Я Л dF.
-и-J_ + q, ¥-i---W-4L-J
—. (5) dW
В 5ц дЖ ю - к\ ^
Для би-Максвелловской функции распределения с параллельной температурой Ту и поперечной температурой Тц имеем
(
dF,- = jiSB |
1 -■
T,
T-
F
T
(6)
T
ю - k |V | |
Tj
3. УСЛОВИЕ КВАЗИНЕИТРАЛЬНОСТИ
Считаем плазму квазинейтральной, т.е.
5ne _ Sn, n n
(7)
где возмущения электронной Ъие и ионной Ъщ плотности вычисляем интегрируя функцию распределения (5) по всему пространству скоростей
Sn =Щ-L^ f в^ Щ
n B 2Te lrle B
Z '(Z e),
(8)
8n _ + Ll fe^ + Mi | Z .(g,).
n в L Li в 1
Здесь Z — плазменная дисперсионная функция [Fried and Conte, 1961]
B d|
где ц и W магнитный момент и энергия частицы сорта j, Fj — невозмущенная функция распределения и dFj — ее возмущение, 8Вц — продольное (по отношению к B) возмущение магнитного поля.
Изменение энергии частиц, вызванное наличием продольного электрического поля E|| = -d^/dz и возмущением магнитного поля 8Вц согласно адиабатическому уравнению
dtW = -qjvll8 z Ч + цд t дЩ. (3)
Здесь заряд qj принимает значение e для ионов и -e для электронов, dt = дt + v^dz — адвективная (Эйлеровская) производная по времени, dt = d/dt, д t = д/д t и д z = д/д z. Для возмущений зависящих от времени и координат как ~exp(-/®t + /k • г) из уравнения (3) получаем
Z (Z) = П « 2 "f d eXP 2 ).
J t-Z
(10)
Апостроф в (9) означает производную по аргументу, ^ е(,) = ю/к||уТио и у'тш — тепловая скорость электронов (ионов).
Подставляя (8) и (9) в (7) получаем условие квазинейтральности в виде
Те Г^ 1 * '(с е)+Ъ f 1 * % >=о. (ш
Te U ,
в
T, IT,
в
[1е -"У -»||г М И
Неустойчивость магнитного свеллинга существует в диапазоне ^е ^ 1 и ^I ^ 1 [Ва8и, Сорр1,
1982, 1984]. При этом справедливы следующие
» » —2
разложения Z (^ е) ~ -2и1 (^ 1) « СI .
Используя эти разложения из (11) получаем
еУ = (Т^е/Т\\е + к|22Ш) Щ (12)
Т||е 1 - к2с2/ш2 В
где с, = Т\\е/т1 )^2 — скорость ионного звука. В случае неустойчивости магнитного свеллинга ю > к^с,, и соотношение (12) редуцируется к виду
he
Т~ Tue
1+k2 с,2 (i+T^p
ю
5B|| L Щ
в
Te в
или
e*¥ 8вп
L
le
в
(13)
(14)
4. ПОПЕРЕЧНЫЙ БАЛАНС ДАВЛЕНИЯ
Используя выражение для возмущения функции распределения (6) вычислим возмущение давления плазмы
Sp± = 2 pLi
Г T \
1 - ^
L
V L||, У
щ в
2 p1
1 — T1e
T
в
p||
Z PijL^
|e У
1 + Z '(Z j )/:
T \
LU le L- T /
e У
e^
Tîie '
(15)
бв^ в
, Y
T,
и
или
РОЛЬ конечной температуры ионов в генерации неустойчивости
25
к о дВ\\+п bpL = 2pLi—f + 2 ple
B
( T ^
1 _ 1 le
T
V IIe J
SBi | ev
-" + Pie-+
B Te
+ Tu7ur /SB|+ ev)
+ PiTZ(Z i} VB + 2Ti J •
Подставляя (14) в (16) получаем
( m m л
SPl = 2p±e
(16)
1 — Tle + TH
2T TI I e 11 I i
SB
B
(17)
5. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Перегруппируя уравнение (1) и пренебрегая малыми членами порядка k^jk2L < 1 с помощью соотношения (17) находим дисперсионное соотношение для неустойчивости магнитного свел-линга в виде
2 p±
_ Tle + Tli
2TIe T,
SBH BSBH + -
ю
le
B и 0
k,vA и о
или
2 ,22 ю = k,v A
1 + ß,
— T,e + T,i
\ 2TII e TLe У
(18)
(19)
Уравнение (19) описывает дисперсионное соотношение неустойчивости магнитного свеллин-га с конечной температурой ионов. Неустойчивость имеет место, если
T,
> 2-^
Te
Tt! + T,
,e , _2_
T,
(20)
температуры ионов. Учет этого обстоятельства приводит к повышению порога неустойчивости, то есть наиболее благоприятные условия генерации неустойчивости реализуются при малой температуре ионов. В данной работе оставлены за кадром эффекты неоднородности плотности и температуры плазмы, что естественно вводит в
игру такие новые параметры как k| -1d ln n/dx и
k| -1dln T/dx, где n и T характерные плотность и температура плазмы, соответственно. Первые шаги в изучении этих эффектов сделаны были в работе [Marchenko et al., 1988], где исследовалась так называемая дрейфовая неустойчивость магнитного свеллинга в рамках точного кинетического рассмотрения.
Магнитозвуковые волны, возбуждаемые неустойчивостью магнитного свеллинга по-видимому наблюдались в работах [Tsurutani et al., 1982, 1984] в магнитослое, где, однако, эта неустойчивость может конкурировать с так называемой гало неустойчивостью [Pokhotelov et al., 2005]. В принципе, эти две неустойчивости взаимно дополняют друг друга. Первая приводит к генерации волн в длинноволновом диапазоне при длинах волн значительно превышающих ларморовский радиус ионов, а вторая в коротковолновом диапазоне при длинах волн меньших ларморовского радиуса ионов. В обоих случаях плазма считалась бесстолк-новительной. Роль частоты столкновений в магнитослое обсуждалась в работе Popel et al. [1995].
Работа выполнена при поддержке Программ Президиума РАН № 4 и № 22, и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-05-00920).
Оно отличается от условия выведенного в работах [Basu and Coppi, 1982, 1984] дополнительным членом учитывающим температуру ионов. Видно, что учет конечной температуры ионов играет стабилизирующую роль повышая порог неустойчивости.
6. ВЫВОДЫ
В данной работе исследовалась неустойчивость анизотропной плазмы большого давления с конечной температурой ионов. Показано, что использование квази-гидродинамического подхода позволяет вывести общее дисперсионное уравнение для неустойчивости магнитного свеллинга из первых принципов таких как теорема Лиувилля и баланс поперечного давления. Полученное нами дисперсионное уравнение (19) похоже на аналогичное дисперсионное уравнение работ [Basu and Coppi, 1982, 1984], но отличается дополнительным членом, учитывающим эффект конечной
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
— Basu B., Coppi B. Field-Swelling Instability in Anisotro-
pic Plasmas // Phys. Rev. Lett. V. 48. № 12. P. 799-801. 1982.
— Basu B., Coppi B. Theory of Field-Swelling instability in
Anisotropic Plasmas // Phys. Fluids. V. 27. № 5. P. 1187—1193. 1984.
— Fried B., Conte S.D. The Plasma Dispersion Function //
Academic, San Diego, Calif. 1961.
— Marchenko V.A., Nezlina Yu.M., Pokhotelov O.A. Drift
fiel
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.