РОЛЬ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ И КУПЕРОВСКОГО СПАРИВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБРАЗОВАНИЯ МОЛЕКУЛ В УЛЬТРАХОЛОДНОМ ГАЗЕ ФЕРМИ АТОМОВ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ДЛИНОЙ РАССЕЯНИЯ
В. С. Бабиченко* Ю. М. Каган
Национальный исследовательский центр «Курчатовский институту 123182, Москва, Россия
Поступила в редакцию о марта 2012 г.
Исследуется влияние многочастичных корреляционных эффектов и куперовского спаривания в ультрахолодном ферми-газе с отрицательной длиной рассеяния на скорость процесса образования молекул. Показано, что куперовское спаривание ведет к росту скорости образования молекул, в отличие от влияния на эту скорость конденсации Бозе-Эйнштейна в бозе-газе. Эта тенденция сохраняется во всем интервале температур, меньших критической.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование ультрахолодных атомарных газов привело к уникальной возможности изучения многочастичных квантовых корреляций и их роли в динамических и кинетических свойствах макроскопических систем. Уже на ранней стадии исследования было предсказано явление резкого уменьшения скорости неупругих процессов при бозе-конденсации за счет принципиальной перестройки квантовых корреляций [1]. Так, локальный трехчастпчный коррелятор Л'з, ответственный за рекомбинацию в разреженном газе, с понижением температуры Т < Тс уменьшается и отношение Кз (Г) /Л'з (Тс) достигает значения приблизительно 1/6 при Т —¥ 0. С ростом газового параметра пи3 (и длина рассеяния) эффект уменьшается и реально исчезает при плотностях, отвечающих бозе-жидкости.
Экспериментально явление наблюдалось в работе [2], в которой изучалась кинетика распада ультрахолодного газа Ш) в ловушке при реализации бо-зе-конденсации. Результаты оказались в качественном и количественном соответствии с теоретическими предсказаниями. Фактически, результаты этой работы представляли собой наблюдение формирования квантовых корреляций в процессе кинетики бо-
* Е-та11: таЬаЬи'Ьрпко'й'ЫЛтаП.сот
зе-копдеисации системы при ограниченном времени жизни системы.
Интересно, что аналогичные явления в полной мере проявляются и в двумерном случае при конечной температуре Т < Гс, хотя конденсат отсутствует при Т ф 0 [3]. Результат отражает определяющую роль локальных корреляционных свойств, которые и при Т ф 0 остаются близкими к свойствам в случае истинного конденсата.
В ультрахолодном двухкомпонентном газе Ферми атомов с притяжением при достаточно низких температурах образуется конденсат куперов-ских пар. Естественно возникает вопрос, как куперовское спаривание и конденсат пар влияют на трех-частичную рекомбинацию. Анализируя эту проблему, будем предполагать, что притяжение, т. е. отрицательная длина рассеяния и < 0, возникает в рамках (является результатом) резонанса Фешбаха при «-характере межатомного рассеяния. При этом, как обычно, можно считать, что взаимодействие имеет место только между атомами разных компонент. Полученные в настоящей работе результаты привели к неочевидному на первый взгляд заключению: куперовское спаривание ведет к росту вероятности трех-частичной рекомбинации и скорости распада системы.
Чтобы сделать рассмотрение прозрачным, ограничимся случаем сильно разреженного газа, предпо-
лагая выполненными условия
\u\kp -С 1, г0кР < 1, (1)
где и отрицательная длина рассеяния, г о характерный размер области межатомного взаимодействия (Н = 1). При и < 0 слабо связанные димеры, наличие которых характерно для случая и > 0, не возникают (см., например, [4, 5]). При рекомбинации молекула оказывается на глубоком уровне. Большая выделяющаяся энергия обращается в кинетическую энергию молекулы как целого и третьей частицы, вовлеченной в процесс рекомбинации. Здесь картина аналогична для частиц Бозе и Ферми. Вероятность перехода в фермп-случае, так же как и в бо-зе-случае, пропорциональна трехчастичному коррелятору. Однако в ферми-случае коэффициент, определяющий вероятность помимо трехчастичиого коррелятора, антисимметричен относительно перестановки частиц, принадлежащих к одной и той же компоненте. Этот коэффициент не зависит от состояния системы, и именно поведение трехчастичиого коррелятора определяет зависимость вероятности образования молекул от состояния системы и при появлении конденсата куперовекпх пар ведет к обращению знака эффекта по сравнению со случаем конденсации бозе-частиц.
2. ТРЕХЧАСТИЧНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ В ГАЗЕ ФЕРМИ АТОМОВ
Рассматривая трехчастичиую рекомбинацию в ферми-газе низкой плотности с образованием молекулы в силыю связанном состоянии, будем предполагать, что парному взаимодействию отвечает «-рассеяние с отрицательной длиной рассеяния. Гамильтониан системы запишется в форме
Н = Н0 + Я\ (2)
где Нд гамильтониан, соответствующий чисто упругим процессам, Н' гамильтониан, описывающий неупругий рекомбииациоииый процесс,
Н' = ^ [ (РгцР^-Ргз х
(7^(7
х | 4'1 (Г1, г2) Й (Гз ) у (п , Г2, Гз ) X 1 ^ Здесь (п , Гз) оператор рождения молекулы,
(Г1,Г2) =
<1 '
<рт (п — г2) волновая функция молекулы в системе ее центра инерции. Операторы фермпонного поля имеют стандартный вид
<\т О) ^(ЪтОхри'к • !•). (5)
к
где «г индекс компоненты ферми-частицы, принимающий два значения: а ="|\ 4-- Ограничиваясь парной структурой взаимодействия, вершину V (г1, г2, г3) можно записать в виде
V (г!, г2, г3) = и (г! - г2) + и (г3 - г2),
где V (г) потенциал взаимодействия частиц, имеющих разные индексы компонент.
После перехода к фурье-компонентам гамильтониан иеупругого процесса рождения молекулы Н' приобретает вид
сгф(г' к1,к2,кя^
X <ЪЯ
?1ч+к,,+Н.с.). (6)
Здесь к1, к2, кз малые импульсы трех частиц, две из которых имеют одинаковые индексы компонент а (с импульсами к^кз), а третья индекс <т', не совпадающий с «т. В процессе релаксации две частицы, взаимодействуя друг с другом, образуют молекулу, а третья частица, забирая энергию, выделяющуюся при образовании молекулы, приобретает большой импульс С1 = . величина которого определяется из закона сохранения энергии и имеет вид
/4
Ч* = у ^т\Еь\,
где Еь Э- к|/2т энергия связи молекулы (г = 1, 2, 3 индекс частицы, участвующей в процессе), которая предполагается существенно большей энергий сталкивающихся частиц, К суммарный импульс сталкивающихся частиц К = 2 3 к;. Поскольку
волиовая функция трех фермп-атомов симметрична, вершина ГЧ;к1,к2,к3 в (6) с учетом антисимметризации при перестановке частиц с одинаковыми индексами может быть представлена в виде
Гч,к1,к2,кя = ^ / (13г1(13г2(13г3 х
х
<Р*т ^ 12 )и(г32) X
х охр
щ II
12
г(-я + К) т3
(1-3)
(7)
где
Г12 = Г1
' Г-2,
г32 = г3 - г2, к12 = - (г1 + г-2 ) .
Расстояние |г1 — г2| имеет масштаб размера молекулы г*. Близкий масштаб будет характерен и для расстояния |гз —гг|, поскольку только в этом случае третья частица может получить большой импульс, сравнимый по значению и противоположный по направлению импульсу образующейся молекулы. Переходя в интеграле (7) к фурье-компонентам для потенциала V (г) и волновой функции ¡рт (г)
и (г) = I (13(]1' ехр • г),
рт (г) = ! (рчрт (я) ^хр (¡4 ■ г)
и интегрируя по координатам Г\, г2, г3, получим выражение для вершины Г<|.к .к2.к:! в виде
- 1
А я,к1,к2,к3 — ^ Х
<р~т I ) и (ч-кх-кз)- (1 ^ 3)
(8)
Рассматривая ферми-газ с большой отрицательной длиной рассеяния |о| Го,''* при выполнении неравенств (1), в условиях резонанса Фешбаха мы сталкиваемся с резким увеличением вершины Г. Действительно, в этом случае для синглетных пар в непрерывном спектре при энергии е 0 реализуется квазирезонансное состояние при отсутствии реального слабо связанного дпмерного состояния. Решение уравнения Шредингера для пары частиц в этих условиях демонстрирует, что при \р | < г о волновая функция ^ (р) приобретает большой дополнительный множитель |и|//'о. Амплитуда вероятности одновременного нахождения трех фермионов в объеме с радиусом порядка г* оказывается увеличенной в (|и|//'оГ ра^ по сравнению со случаем, когда рассеянием медленных частиц пренебрегается (ср. [5 7]). Заметим, что г» < г0. Соответственно, вершина (8) эффективно приобретает дополнительный множитель порядка (|и|/гоГ.
Принимая во внимание, что
N ~ Ч* = у
И используя малость импульсов, |к;| -С Ц* ~ г^1, можно разложить функции (рт и I'(ц) в (8) по параметру -С 1. В результате получим следу-
ющее выражение для амплитуды образования молекулы:
(кхз • Я)
где
Гч,к1,к2,кя — Г ((]) ■
1*13 = 1*1
О)
Г(«)= °
X Ч
(1(1 Ч1' гт \ 2/ <1(1
Во всех случаях мы предполагаем сферическую симметрию функций и (г), (рт (г). Поэтому фактически функция Г (д) зависит только от модуля вектора
Ч = М-
В предположении малости вероятности рекомби-национных переходов имеем для числа переходов в единицу времени:
IV = 2тт^2рг\Щг\2б(Ег - =
и
= I (М{Н'(О)Н'(10)
Н' (1) = ехр ^¿Яо^ Н' ехр .
Здесь р1 равновесная матрица, определяемая гамильтонианом Ид. При суммировании по конечным состояниям в (10) можно воспользоваться тем, что ер -С Еь- Подставляя гамильтониан Н' (6) в (10), получим
И' = / (М х
сгфсг' к £ ,С|
Е Е {гыг^
(д-к13)(д'-Ц3) ч2ч'"2
х {(к',,, (0)ь,- (0)?-ч'+к,„ (0) х
х Гк11(Т (*)Гка,«т (*)>} +
+ Н.С.1. (И)
Расцепляя среднее на произведение средних от медленных и быстрых операторов полей, получаем
И' = / (Ы х
£ £ |Г(«)Г*(,/
сг^сг' к; ,ч:к'.
^ (д-к13)(д'-Ц3) Ч2Ч12
х Л'(3)(кьк'-<т,<т'^)Л'|32)г(Ч,Ч'^)+Н.с.|, (12)
где Л'(3) (к.;,к-;<т,(т';^) трехчастпчный коррелятор, зависящий от операторов, медленно изменяющихся в пространстве и во времени:
А''3) (кг.к'г;<т.<т';0 = (0)^(0) х
X ?к3,ст ^)еь2,<т> (0?к1;Сг (?))• (13)
Характерные времена изменения операторов £к,<т (*) в этом корреляторе ¿я ~ Коррелятор
Кд \ ; есть среднее от операторов и
), быстро меняющихся в пространстве и времени, характерное время изменения для которых tr ~ 1 /Еь -С /,:
= <М(0)?1Ч,+К1(Т (0) = = фч (О)Т^ ^)){С-Ч+к,сг (0) ^1Ч+К;СГ
('»<>Ч:Ч'- (14)
Коррелятор К^ р можот быть представлен в виде произведения двух парных корреляторов для операторов Ьч и ?_ч+к,<т. которые легко вычисляются, как парные корреляторы для одночастичных систем. При этом возникает ¿-символ , так что коррелятор Л д р можно записать в виде
Характерные времена изменения коррелятора Л"'3) значительн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.