АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 6, с. 669-684
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.2: 534.222: 534.7
РОЛЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В АКУСТИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
© 2015 г. |В. А. Буров, А. А. Шмелёв, Р. В. Крюков, О. Д. Румянцева
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы E-mail: burov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 25.03.2015 г.
В целях исследования практических возможностей акустической нелинейной томографии описываются процессы генерации волн, вызванные нелинейным взаимодействием чисто третьего порядка и двукратным взаимодействием второго порядка. Дается классификация возникающих нелинейных вторичных источников и нелинейно рассеянных полей на основе характера их происхождения.
Ключевые слова: нелинейная акустическая томография третьего порядка, акустические нелинейные параметры второго и третьего порядков, двукратное взаимодействие второго порядка, локальные и нелокальные поля.
DOI: 10.7868/S0320791915060039
1. ВВЕДЕНИЕ
Нелинейные акустические характеристики биологических тканей несут информацию, которая весьма ценна для медицинской диагностики. Краткая характеристика состояния дел в области акустической томографии, основанной на нелинейном взаимодействии волн, дана в [1]. Томографические схемы, основанные на нелинейных акустических эффектах третьего порядка [1—3], обладают существенным преимуществом перед схемами, работающими на основе нелинейных эффектов второго порядка [4, 5]. Схемы третьего порядка, использующие нелинейное неколлинеарное взаимодействие трех первичных волн в сочетании с кодировкой сигналов и последующей корреляционной обработкой регистрируемого сигнала, позволяют восстановить пространственное распределение нелинейного параметра исследуемого образца в результате всего одного измерения [1—3]. Однако основная проблема использования нелинейных эффектов третьего порядка заключается в присутствии мешающего сигнала, который появляется в результате двух последовательных актов взаимодействия второго порядка. В схемах, основанных на колли-неарном взаимодействии волн, этот мешающий сигнал значительно преобладает над полезным сигналом чисто третьего порядка [6]. Тем самым, использование нелинейных эффектов третьего порядка в диагностических целях возможно только в схемах томографии, построенных именно на неколлинеарном взаимодействии волн.
Эксперименты, проведенные на установке, представляющей собой прототип нелинейного
акустического томографа, подтверждают практическую возможность использования нелинейных эффектов третьего порядка в томографических целях, несмотря на весьма низкий уровень регистрируемых сигналов на комбинационных частотах третьего порядка [1]. Принцип действия экспериментальной установки изложен в патентах [7, 8]. В частности, предложена зеркальная система, состоящая из двух соосных конических акустических зеркал и позволяющая преобразовать фронт волны от цилиндрического преобразователя в квазиплоский пучок с большой шириной [1, 8]. Дальнейшие исследования предполагают построение достаточно строгого математического аппарата, на основе которого становится возможным получать томограммы пространственных распределений акустических нелинейных параметров второго и третьего порядков. В первую очередь, такой аппарат нуждается в волновом описании процессов и порождаемых ими сигналов различного типа, которые возникают за счет нелинейного рассеяния при томографировании исследуемого объекта. Именно математическому описанию и анализу природы таких процессов посвящена представляемая статья. В следующей предполагаемой публикации будут приведены результаты численного моделирования уровней порождаемых сигналов третьего порядка. Одни из сигналов информативны для диагностики, а другие сигналы, неизбежно сопутствующие первым, носят мешающий характер. Тем самым, встает важная для практики задача разделения вклада за счет полезных и мешающих эффектов в получаемую томограмму. Решение этой задачи, являющееся предметом дальнейших ис-
следований, позволит получать количественные (а не только на качественном уровне) значения акустических нелинейных параметров второго и третьего порядков.
2. ГЕНЕРАЦИЯ КОМБИНАЦИОННЫХ ВОЛН.
ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ
Теоретическое исследование возможности использования нелинейных эффектов третьего порядка в целях акустической томографии нуждается во внимательности и осторожности. Поэтому описание такого рода эффектов будет выполнено, начиная с исходной системы уравнений, которым подчиняются акустические волны в скалярных непоглощающих средах. Система уравнений гидродинамики состоит из уравнений движения
р{§ + (VV)V} = -VP + °0'
(1)
(2)
(4)
>—): dt)
д t
откуда
dt
dvA _ д (3
d t
Vl p33-V I _ -33-J3 - vfv^,
у dp df2 v dtJ
или, с учетом (2),
v (pfv) +v [V <v (p v )}]•
(5)
Подстановка (5) в левую часть (4) дает
V 2P= Fo dt
V [v {V (pv)}] - V [p (vV) v]. (6)
Давление P(r, t) = P0 + p(r, t) и плотность p(r, t) = p0 + p'(r, t) представляются в виде суммы их невозмущенных значений P0 и р0, а также возмущений p и р'. Это позволяет разделить волновые эффекты по порядку малости (по возмущениям p, р', а также v — в отсутствие акустического поля среда полагается неподвижной) на линейные и нелинейные эффекты любого порядка. В приближении до третьего порядка малости, включительно, и предположении постоянства (при изменении координаты г) невозмущенного значения плотности среды р0 = const r, локальное (т.е. в фиксированной точке г) уравнение состояния (3) имеет вид
P = P(P, r) = P0 +
dP
ФЛ=,
р +
уравнения непрерывности
— + Шу(ру) = 0
дг
и уравнения состояния
Р = Р(р). (3)
Здесь Р (г, г) — полное давление, р(г, г) — плотность среды, у(г, г) — колебательная скорость частиц среды (течения не рассматриваются), Ф0 — объемная плотность внешних сил, являющаяся векторной величиной. Для получения волнового уравнения в терминах давления надо подействовать оператором V
на (1), учитывая тождество У(УР) = V Р:
V (р|г) + у [р(у У)у] = -У 2р +
где Р0 = УФ0 — источники первичных волн. Здесь и далее квадратные скобки не имеют отношения к обозначению векторного произведения и используются наряду с фигурными скобками в том же смысле, что и обычные круглые скобки.
Применение оператора — к уравнению (2)
дг
позволяет получить выражение для члена V (р
+ уГр^М + уГ ¥ дР = о,
5 P
2
V 0=1
Р=Р0
(р)2+1 6
(7)
dp3
(р')3 + .
/p=i
Р=Р0
Возможен случай среды, неоднородной по невозмущенному значению плотности p(r). Тогда вид связи (7) усложняется, поскольку нужно учитывать присутствие членов типа Vp(r)v. Подобное уравнение состояния в случае учета только линейных волновых эффектов использовано в [9]. Однако неоднородность p(r) не изменяет принципиально общую картину нелинейного взаимодействия волн и поэтому далее не рассматривается, хотя при строгом количественном описании присутствие Vp(r), в зависимости от характерного порядка этой величины, может вносить определенный вклад как в линейные, так и в нелинейные процессы. Что касается фазовой скорости звука, то пока будет рассматриваться задача для общего случая c = c(r) ф const, а ограничение в виде постоянства c будет введено позднее и оговорено особо. Малая интенсивность первичных волн, не приводящая к образованию ударных фронтов, малое поглощение на длину волны и, как следствие, слабость температурных эффектов позволяют не учитывать процессы, связанные с ростом энтропии [10].
Уравнение состояния (7) содержит характерные функциональные параметры: квадрат скорости зву-
ка c (r) =
'BPЛ
dPJp=,
и величину
Р=Р0
/ 9 \
д 2P
дР2
которая
характеризуется акустическим нелинейным пара-
в
метром среды второго порядка б2(г) = 1 +--, где А =
. По аналогии можно вве-
= Pa c2
(r), в =
2/9 Л
2 д 2P
P0
др
сти акустический нелинейный параметр среды тре-
(\ С г Р3 (д3 Р в тьего порядка: б3(г) = —, где С = — — . В ра-
ро р = р0
боте [3] вместо обозначения С использовалось обозначение Б для большего отличия от скорости звука с. Обозначение С использовано в соответствии с более ранними работами [11]. С учетом этих обозначений, выражение (7) принимает вид
В (11) и везде далее невозмущенное давление P0 полагается постоянным при изменении координаты г (P0 = const r). В задачах акустической медицинской томографии и многих задачах неразру-шающего контроля такое предположение является естественным.
Слагаемые
+
P = P(p, r) = P0 + с 2(r)p' +
S2(r) - 1 2, ,, ч2 83(r) 2, ,, ч3
— с (r)(p) + ^с (r)(p) + ...,
P0 P0
(8)
откуда
Р' = -^Ы (р')2-^(р')3 + .... (9) с (г) ро Ро
Повторная подстановка этого выражения для р' в правую часть (9) приводит к итоговому выражению для р'(г, г) через акустическое давление р с точностью до величин третьего порядка малости включительно:
1 S2(r) -1 2 ,
— Р - А.. Р +
+
р с 2(гГ Р0С 4(r) (r) - 1) -E3(r)}
2 6, ч
Р0С (r)
(10)
p +....
Двукратное дифференцирование (10) по времени приводит к следующему выражению для члена
в левой части (6):
д t2
52 <-\2 | -л2 _р _ д р _ 1 д p _
dt2 " dt2 " с2(r) dt2 _ (S2(r) _ 1)д2(p2) + {2 (S2(r) _ 1)2 _S3(r)}d2(p3) + . Р0с 4(r) dt2 р2с 6(r) dt2
Тогда (6) принимает вид (V 2p = у 2p при P0 = const r):
2 1 52p (B2(r) -1) 52(p2)
V2 p -
2,4 = F0 '
+
с (r) dt р0с (r) dt
{(r) -1) -B3(r)} d1 (p3)
2 6, ч
р0с (r)
dt2
-V [v {V (pv)}]-V [p (vV) v], т.е., используя p = p0 + p',
V2 p 1 52p _ (в2(r) - 1) 52(p2) +
v p 2,, _ F0 ^ ГХ" + с (r) dt р0с (r) dt
+
{2 (B2(r>-'t)'-B3(r} - PoV [v (Vv)] - (11)
р0с (r) dt
- P0V[(vV)v] - V[v{V(p'v)}] - V['(vV)v].
{2(е2(г) -1)2 -8з(г)} дУ) -
р0с6(г) дг2
-У[у (У(Р'у)}]-У[Р' (уУ)у]
в правой части выражения (11) представляют собой члены не ниже третьего порядка малости, поскольку они формируются произведением трех сомножителей, каждый из которых, в свою очередь, является величиной первого порядка малости по возмущениям. Поэтому эти слагаемые не нуждаются в дальнейшем преобразовании. В то же время, остальные слагаемые
- И-11 ^ [V (Уу )]-роУ [(УУ)У] Рос (г) дг
содержат в себе как члены второг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.