ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2015, том 34, № 8, с. 29-35
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 535.71
РОЛЬ ПЕРЕНОСА РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ИОНИЗАЦИОННОМ БАЛАНСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО
СТОЛБА РАЗРЯДА
© 2015 г. Ю. Б. Голубовский1*, В. О. Некучаев2, А. В. Сясько1
1Санкт-Петербургский государственный университет 2Ухтинский государственный технический университет *Е-таИ: yu_jgolubovski@yahoo.com Поступила в редакцию 09.11.2014
Предлагается метод анализа баланса заряженных частиц, который описывается дифференциальным уравнением амбиполярной диффузии и интегральным уравнением переноса излучения. Метод связан с заменой дифференциального и интегрального операторов системой линейных алгебраических уравнений. Показано различие результатов точного решения задачи и традиционного решения в приближении эффективной вероятности резонансного перехода. Отмечается влияние высших диффузионных и радиационных мод при переходе разряда к контрагированному режиму.
Ключевые слова: неравновесная плазма, пленение резонансного излучения, амбиполярная диффузия, ионизация, рекомбинация.
DOI: 10.7868/S0207401X15080087
1. ВВЕДЕНИЕ
Атомы в возбужденных резонансных и мета-стабильных состояниях играют очень большую роль в разнообразных плазмохимических процессах в неравновесной газоразрядной плазме. Через резонансные и метастабильные состояния идут многочисленные ступенчатые процессы ионизации и возбуждения электронным ударом, хемо-ионизации, ассоциативной ионизации, пеннин-говской (Penning) ионизации и др. Поскольку потенциалы возбуждения этих состояний весьма близки, то велика вероятность их перемешивания при столкновениях с атомами или электронами. Как правило, образуется блок близкорасположенных уровней, связанных прямыми и обратными столкновительными процессами. К нарушению локального баланса приводят процессы переноса — диффузия метастабильных и излучение резонансных атомов. Вследствие того, что коэффициенты поглощения резонансного излучения очень велики, за счет многочисленных процессов перепоглощения в объеме плазмы вероятность выхода кванта за пределы объема отличается от спонтанной вероятности перехода на несколько порядков (так называемое явление пленения излучения). Несмотря на пленение, выход излучения — более быстрый процесс, чем диффузия, и, таким образом, именно перенос излучения формирует про-
странственное распределение блока возбужденных состояний. В задачах полномасштабного моделирования неравновесной плазмы, в так называемых глобальных моделях, весьма точно описываются столкновительные процессы переноса (диффузия, конвекция) для всех компонентов плазмы, кроме резонансных атомов. Распад резонансных атомов, как правило, описывается в приближении эффективной вероятности перехода по Биберману [1] или в приближении эффективного времени жизни по Холстейну [2]. Эти приближения практически соответствуют локальному балансу возбуждение — излучение и не отражают появление возбужденных атомов за пределами зоны возбуждения. В то же время, как уже отмечалось, корректный учет пленения излучения представляется весьма важным для формирования пространственно — временных распределений всех параметров плазмы. По этим причинам весьма актуальной представляется разработка методов описания переноса излучения в неравновесной плазме на том же уровне точности, что и в случае переноса частиц типа диффузии и конвекции. К настоящему времени имеется немного работ [3—5], в которых выполнено совместное решение уравнений диффузии и переноса излучения. Современное состояние проблемы отражено в обзоре [6].
Цель настоящей работы — разработка метода точного совместного решения уравнения амбипо-лярной диффузии и переноса резонансного излучения, а также выяснение роли переноса резонансного излучения на параметры положительного столба. Особенно важно корректно учитывать процессы переноса, если источники возбуждения заметно отличаются от фундаментальных мод диффузионной и радиационной задач (контрагированный разряд, скин-эффект, локализация источников возбуждения в ограниченном объеме и т.д.). В настоящей работе сравниваются решения, полученные традиционным способом в приближении эффективного времени жизни, и точное решение. Обсуждаются различия полученных результатов на примере простых модельных концентрационных зависимостей ионизационного и рекомби-национного членов. Рассматривается цилиндрически симметричный положительный столб. Вычисления проводятся по асимптотике лоренцев-ского (Ьоге^) крыла спектральной линии для больших коэффициентов поглощения.
2. ТРЕХУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ИОНИЗАЦИОННОГО БАЛАНСА И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Особенно отчетливо можно проследить различие в процессах диффузии частиц и фотонов на примере простой трехуровневой схемы ионизационного баланса, в которой учитываются возбуждение резонансного уровня из основного состояния электронным ударом со скоростью Z, ступенчатая ионизация с вероятностью Щ, двухчастичная рекомбинация на резонансный уровень Г, амбиполярная диффузия заряженных частиц БаДп, выход резонансного излучения с эффектом пленения.
Рассматриваемой схеме будут отвечать уравнения баланса для резонансных атомов и для заряженных частиц:
Z + Г = N (г)^ + 6(г), (1)
N(г)^ = Г - БаАп. (2)
Интегральный оператор переноса излучения имеет вид
0(г) = ЛМГ(г) - (г')К(г - г') йV, (3)
V
где N (г) — концентрация резонансных атомов в точке г. А — вероятность их спонтанного распада. Второй член справа в формуле (3) дает число актов рождения резонансных атомов в точке г вследствие поглощения фотонов, прилетающих
из всего объема плазмы. Ядро интегрального оператора
цг(\ '14 1 Г ехР (-^ г - г]) К (г - г1) = Г I-)-V
4 л ^ (г — г )
0
описывает вероятность для фотона, испущенного в точке г', пролететь расстояние |г - г] без поглощения и быть поглощенным в точке г. Таким образом, исходная система (1), (2) требует совместного решения интегрального уравнения переноса излучения (1) и дифференциального уравнения амбиполярной диффузии (2), причем оба уравнения являются нелинейными по концентрации электронов.
Приближенное решение задачи можно получить традиционным способом в приближении эффективной вероятности перехода, заменив интегральный оператор О(г) на Иг(г)Ле/, где А^ — эффективная вероятность выхода резонансного излучения. Точный способ решения этой задачи — замена интегрального и дифференциального операторов линейными алгебраическими матрицами и решение нелинейной системы получившихся однородных уравнений.
В приближении эффективной вероятности перехода по Биберману [1] предполагается, что ядро интегрального оператора спадает с увеличением расстояния гораздо круче, чем концентрация резонансных атомов, и на масштабах спада ядра эта величина слабо изменяется. Это позволяет вынести из под интеграла (3) Иг (г) в точке г. Тем самым интегральный оператор О(г) заменяется на
0(г, Мг (г)) = Ле/ (гЩг),
где
Ае/(г) = Л^ - IК(г - г])йV^.
Зависимость эффективной вероятности от координаты сказывается только вблизи границы плазмы и данной зависимостью можно пренебречь. Вычисление четырехкратного интеграла по цилиндрическому объему бесконечной длины приводит к следующей величине А^:
А = 0.874Л
е/" (пМ)1/2.
Холстейн рассмотрел задачу о распаде фундаментальной моды и получил эффективное время жизни [2], отличающееся от вероятности по Биберману малым множителем:
X = 1.130 Л
Те/ (пкоК)1'2'
В приближении эффективной вероятности перехода уравнения ионизационного баланса (1), (2) примут следующий вид:
где нижний нулевой индекс соответствует значениям функций на оси, уравнение (4) сводится к задаче Коши с начальными условиями
ВМ + 1е/ (я) -ге/ (я) = 0,
N =
Z(я) + Г(я)
Щ (я) + Ле/'
(4)
(5)
В уравнениях (4), (5) ионизационный и рекомби-национный члены имеют вид
1е/ (я) = Z(я)
Те/ (я) = Г(я)
Щ(я)
щ (я)+Ле/
Ле/ Щ (я) + Ле/
1 йхйу + а! (у)-Г (у) = 0, хйх йх а - 1 у(0) = 0, у'(0) = 0.
(6)
В такой постановке решение ищется на промежутке [0 - х0], где х0 — первый корень решения уравнения (6). При фиксированном значении п0 параметр а варьируется таким образом, чтобы значение х0, полученное численным интегрированием уравнения (6), удовлетворяло бы условию
Х0 = Я
V я0Ва J
' или 10 = Ба (()2 . (7) я0 \Ю я0
Эффективная ионизация 1е/ соответствует полному числу неупругих ударов Д умноженному на отношение вероятности ионизации к вероятности полного разрушения резонансного уровня. Эффективная рекомбинация Ге/ соответствует полному числу рекомбинаций Г, умноженному на отношение эффективной вероятности спонтанного распада резонансных атомов к вероятности полного разрушения резонансного уровня. Подобный вид I/ и Ге/ показывает, что если выход резонансного излучения преобладает над ступенчатой ионизацией (Ле/ < 1), то к ионизации приводит малая доля неупругих ударов порядка Щ/Л^, а практически каждый процесс рекомбинации приводит к исчезновению заряженных частиц. В противоположном случае, когда резонансное излучение заперто в объеме (Щ/Ле/ > 1), практически каждый неупругий удар сопровождается ионизацией, а из всех рекомбинирующих заряженных частиц только малая их доля переходит в основное состояние, основная же часть возвращается в континуум из-за ступенчатой ионизации. В дальнейшем индекс "е/" будем опускать.
В приближении эффективной вероятности перехода задача (1), (2) сводится к нелинейной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями на оси Уя|г=0 = 0 и на радиусе я|Я = 0. Эту задачу можно решать двумя способами. В первом способе, по аналогии с линейной теорией Шоттки [7], с помощью замены переменных
Условие (7) имеет прозрачный физический смысл — ионизация на оси компенсируется диффузионными уходами заряженных частиц на стенку и рекомбинацией в объеме. Таким образом, получается самосогласованное решение, дающее радиальное распределение электронной концентрации и значение параметра а, который обеспечивает превышение ионизации над рекомбинацией на оси разряда. Это значение параметра а позволяет из соотношения (7) найти электронную температуру в разряде. Если дополнить уравнение ионизационного баланса
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.