АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 6, с. 791-808
АКУСТИКА ОКЕАНА. ^^^^^^^^^^^^^^ ГИДРОАКУСТИКА
УДК 551.46321
РОЛЬ ВЫБОРА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ АКУСТИЧЕСКОЙ
ТОМОГРАФИИ ОКЕАНА
© 2007 г. В. А. Буров, С. Н. Сергеев, А. С. Шуруп
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы. Тел.: (495) 939-3081; Факс: (495) 932-8820
E-mail: burov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 11.02.07 г.
Работа посвящена различным способам параметрического описания океанических неоднородно-стей как рефракционного, так и кинетического типов, восстанавливаемых томографическими методами. Помимо общеизвестных базисов, используемых в океанологических задачах (таких как задание значений параметров неоднородностей в узлах сетки или в непересекающихся фигурах, плотно покрывающих рассматриваемую область), рассматривается новый неортогональный и избыточный базис с элементами в виде множества пересекающихся полос, представляющийся более удобным при решении томографических задач. Использован теоретический аппарат, позволяющий сравнить возможности восстановления океанических неоднородностей с помощью различных базисных функций. Исследуется качество восстановления в базисах в виде множества полос и клеток в зависимости от соотношения между количеством и составом базисных элементов. Приведены примеры восстановления океанических неоднородностей с использованием рассматриваемых базисных функций и результаты их сравнения.
PACS: 43.30.Pc
1. ВВЕДЕНИЕ
Томография океана представляет собой восстановление пространственных функций, описывающих исследуемый регион, по их линейным или нелинейным интегральным преобразованиям [1-4] и [5, с. 9]:
JM( y, r )g (r) dr = f( y),
(1)
где у и г - пространственные координаты; /(у) -экспериментально измеряемые данные, определяемые параметрами среды #(г); ^ - область, влияющая на характер распространения сигнала, информация о геометрии которой содержится в структуре ядра М(у, г) интегрального преобразования. Так, в случае лучевого рассмотрения томографическая задача восстановления скалярных неоднородностей сводится к решению системы интегральных уравнений типа [6]
J g (r) dl = f,
(2)
значения интегралов можно вычислить только для конечного числа пар "источник-приемник" (7 - номер такой пары, включающий в себя номер источника и номер приемника), т.е. вдоль набора лучей {Ц}.
В случае волнового описания процесса рассеяния для восстановления неоднородности может использоваться уравнение Липпмана-Швингера. Для полного поля и(у, у'), состоящего из падающего поля и0(у, у') и поля Ди(у, у'), рассеянного на неоднородностях среды, локализованных в области уравнение Липпмана-Швингера имеет вид:
U( У, У') = Uо (y, y') + A U( y, y') =
= Uо(y, y') + JG(y, r)e(r) U(r, y'
(3)
где - элемент траектории 7-го луча Ц. В общем случае сама траектория зависит от £(г), т.е. томографическая задача является нелинейной. Линейная томографическая задача решается, как правило, в приближении, когда форма траекторий определяется априорно известной невозмущенной гидрологией и не зависит от £(г). На практике
где у и у - точки расположения приемника и источника, соответственно; е(г) - функция рассеи-вателя; G(y, г) - функция Грина для фоновой ("невозмущенной") среды. Здесь неизвестной функцией, описывающей распределение параметров среды, является е(г), а измеряемыми величинами - возмущение принимаемых данных Ди(у, у'). Предполагается, что вид функции Грина и характеристики падающего поля известны. Важно, что фоновая "невозмущенная" среда не обязательно однородная, может содержать любые известные неоднородности и быть ограниченной.
я
я
L
При решении задачи томографического восстановления векторных неоднородностей (течений разного рода), используются соотношения, аналогичные (1). Измеренные времена распространения сигнала или вид принятого акустического поля связаны с параметрами зондируемой среды интегральными преобразованиями типа (2) и (3) соответственно. В этом случае вместо скалярных функций £(г) и е(г) рассматривается распределение восстанавливаемого вектора скорости потока у(г) [7-9]:
[ 4- (V (г )• т (г)) а! = \о1 (г)
(4)
[ТгГгг)(у(г) • п(г)) и0(г, у')аг = Аи(у, у'), ^ С(\(г )
жения функций #(г) и е(г) по выбранным базисам. Базисом, адекватным решаемой задаче, может считаться тот, который позволяет описать в данной ситуации распределения #(г) или е(г) достаточно точно с минимальными требованиями как на алгоритмическую часть процесса восстановления, так и на практическую реализацию процесса сбора и обработки данных при заданной их точности.
В случае линейной лучевой схемы акустической томографии система уравнений типа (2), вычисленных для конечного числа приемно-переда-ющих антенн, имеет вид:
Ь
[А^ а! = А
Со (г)
(5)
о (г)
где единичный вектор т является касательным к траектории луча Ц, а вектор п ортогонален волновому фронту; к0(г) = ю/с0(г) - волновое число, с0(г) - фоновое значение скорости звука, ю - частота сигнала. Величины / и А и являются измеряемыми в эксперименте параметрами акустического сигнала, характеризующими разность возмущений времен распространения сигнала при встречном озвучивании и возмущение акустического поля, вызванные наличием неоднородности, соответственно. При томографическом восстановлении комбинированных неоднородностей эффекты влияния скалярной и векторной компонент могут быть разделены [7, 10]. Задача при этом сводится к раздельному рассмотрению уравнений типа (2)-(4).
Таким образом, первоначальное представление о томографии как методе послойного исследования внутренней структуры неоднородных объектов, значительно расширяется. Современная томография представляет собой решение систем интегральных уравнений, связывающих экспериментальные данные рассеяния с функциями распределения параметров исследуемого объекта, подлежащими восстановлению. В случае трехмерной томографии задача восстановления параметров неоднородностей также может быть сведена к решению интегральных форм типа (1) в вертикальной и горизонтальной плоскостях [6].
2. РОЛЬ ВЫБОРА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
При решении конкретной задачи томографи-рования большое значение имеет адекватный выбор базисных функций. В этом случае интегральные уравнения типа (2) и (3) сравнительно просто сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, согласованных с решаемой задачей определения неизвестных коэффициентов разло-
где неизвестными являются отклонения Ас(г) скорости звука в среде с(г) от известного фонового значения с0(г): Ас(г) = с(г) - с0(г). Интегрирование производится по криволинейным (в общем случае) лучевым траекториям; при этом полагается, что возмущение Ас(г) практически не влияет на траекторию лучей. Измеряемый параметр Аti соответствует разности времен распространения сигнала по лучу Ц в опорной (невозмущенной) и возмущенной средах. Восстановление параметров гидрологии в рамках линейной лучевой томографии описывается в работах [10—12].
Предполагается, что известен набор (возможно, избыточный) базисных функций ©у(г), у = = 1...не обязательно ортогональных, но обладающих полнотой, достаточной для описания восстанавливаемых функций с требуемой точностью, т.е. Ас(г) может быть представлена как
g (г) = А с (г) = £ х}- ©} (г),
(6)
у = 1
и система (5) принимает вид = 1 АуХу = Аti. Для
удобства далее используется запись в матричной форме в обозначениях Дирака: | } - для вектора-столбца, ( | - для вектора-строки. В этой форме рассматриваемая система уравнений имеет вид:
А|Х} = |А Т},
(7)
где Ау = - [Ь © у (г) с02 (г)а! - элементы матрицы
возмущений. Вектор-столбец |АТ} состоит из временных задержек сигналов Аti, а вектор |Х} - из неизвестных коэффициентов разложения Ху восстанавливаемой неоднородности (6) по базисным функциям ©у (г).
Система уравнений вида (3), определяемых для заданного числа пар "приемник-источник", становится линейной в приближении известного внутреннего поля и(г, у') ~ и0(г, у'). В общем слу-
и
чае учет перерассеяний волнового поля может быть осуществлен одним из итерационных методов [13]. В предположении малости отклонения Дс(г),
функция рассеивателя е(г) = ю2 1 1
представляется в виде e(r)
2ю2
c0( r )
c2 ( r ) c2 ( r )
Ac(r). Получае-
мая система линеаризованных уравнении записывается в матричноИ форме
A \X) = |A U).
2
(8)
X = (aAA ) AA |A T).
(10)
В более общем случае минимизируемый функционал F может быть записан в виде [10] F =
= у2< X | X> + (г |г>, где регуляризирующий коэффициент у2 контролирует степень минимизации нор-
мы решения по сравнению с нормой невязки и оценивается по характерному спаду спектра собственных значений матрицы A+A в области их минимальных значений. Тогда решение имеет вид:
X = ( AA A + Y2 E )- AA |A T), где E - единичная матрица.
(11)
Здесь А. = Г -г^- 0(у ,, г)©,.(г)Цо(г, у')Лг - элементы матрицы возмущений; вектор |ДЦ) состоит из величин возмущений акустического поля.
При восстановлении вектора скорости потока неоднородность описывается векторной функцией g(r) = у(г). Тогда g(r) = ^ = 1X,0, (г), где {0,} -
совокупность векторных базисных функций. Неизвестные X) по-прежнему находятся из системы типа (7). При рассмотрении первого уравнения (4) элементы матрицы возмущений приобретают Г 1
вид А. = I —— (0, (г) • т(г)Л/. Матричные эле-
3 Ч(г)
менты А 7, представляют собой разность значений измеряемой величины в присутствии базисной скалярной или векторной неоднородности на заданном фоне (однородном или неоднородном) и в ее отсутствии для заданной конфигурации 7 прие-моизлучающей системы.
В общем случае метод инверсии сводится к нахождению решения, минимизирующего тот или иной функционал. Так, например, если число уравнений в системе (7) меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Для выделения единственного из них можно
потребовать, чтобы искомое решение |Х> обладало минимальной нормой. В этом случае решение имеет вид [4]
X) = АА (АА+)-1|Д Т>, (9)
где знак "+" обозначает эрмитово сопряжение. Если же система линейных уравнений переопределена, то МНК-решение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.