САМОИНДУЦИРОВАННАЯ ПРОЗРАЧНОСТЬ В ДИСПЕРСИОННОЙ СРЕДЕ
А. А. Заболотский*
Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук
690090, Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 13 декабря 2011 1".
Изучается эволюция электромагнитного поля в двухуровневой среде, находящейся в матрице с конечным временем реакции. Приведен вывод интегрируемой версии уравнений Максвелла-Блоха с учетом нелинейной дисперсии. Для решения модели применяется аппарат метода обратной задачи рассеяния. Продемонстрировано, что нелинейная дисперсия, вызванная конечным временем реакции матрицы, дает новые возможности для контроля параметров солитона. Показано, что частный случай построенной модели может быть использован для описания импульсов в области параметров, находящейся между областью применимости квазимонохроматического приближения и областью применимости приближения однонаправленного распространения импульсов длительностью порядка периода осцилляций.
1. ВВЕДЕНИЕ
Самоиндуцированная прозрачность в двух-, трехуровневых атомных системах является одним из самых известных явлений, ассоциируемых с распространением когерентных импульсов, оптических солитонов [16]. В простейшем случае взаимодействие квазимонохроматического оптического поля с двухуровневой средой (ДУС) приводит к формированию импульса плогцадыо 2тг, который может распространяться с неизменной формой [1]. Такие импульсы, в особенности сверхкороткие, представляют интерес для многих приложений [6]. Современная техника генерации оптических импульсов позволяет генерировать фемтосекундные и субфемтосекупдиые импульсы [7 9]. Теоретические модели, используемые для описания эволюции таких импульсов света, должны учитывать нелинейные эффекты, связанные с уширеиием спектра, а также ограниченность применимости приближения медленных огибающих для таких импульсов [8]. В ряде работ приводятся модификации моделей динамики квазимонохроматического поля, в которых для выхода за рамки приближения медленных огибающих в обобщенные уравнения Максвелла
*Е-таП: иаЬокЛякН'Шао.nsk.su
добавлены члены, описывающие вклад дополнительной линейной и нелинейной дисперсии [8, 10].
При укорочении импульса изменяются дисперсионные характеристики резонансной ДУС. Помимо этого, при уширении спектра импульса в общем случае необходимо учитывать эффекты, связанные с взаимодействием поля с матрицей, в которой находится ДУС. Эти эффекты могут проявляться в линейной и нелинейной дисперсиях системы.
Важнейшей характеристикой явления самоиндуцированной прозрачности является полная интегрируемость описывающих ее моделей, как простейших уравнений Максвелла Блоха [2], так и их обобщений [4 6]. Применение метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) [11] к этим моделям позволяет получить наиболее детальную информацию об эволюции и параметрах импульсов электромагнитного поля, в том числе в сильно нелинейной стадии взаимодействия.
Целыо настоящей работы является построение полностью интегрируемого обобщения уравнений Максвелла Блоха, учитывающего дисперсию матрицы, в которой находится ДУС. В следующем разд. 2 приводится вывод уравнений основной модели. В разд. 3 дано представление пулевой кривизны модели и приведен ряд ее частных случаев. Аппарат МОЗР представлен в разд. 4 настоящей работы. В последнем разделе обсуждаются результаты и их возможное применение.
2. ВЫВОД ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА-БЛОХА
Стандартная модель, описывающая эволюцию электромагнитного поля в ДУС, представляет собой уравнения Максвелла Блоха для медленных огибающих [1]. При выводе этих уравнений не учитывалась реакция матрицы, в которой находится ДУС. При уширении спектра импульса поля возможны ре-зонансы с собственными частотами матрицы, запаздывание и другие эффекты, которые оказывают влияние на эволюцию импульсов поля. В этом разделе эффекты учтены в рамках простой общей модели, в которой влияние матрицы сводится к учету нелинейной дисперсии.
Так же как и в работах [1, 2], рассматриваем протяженную одномерную двухуровневую среду с невырожденным дипольным переходом. Однородное и неоднородное уширения не учитываем.
В рамках этих приближений уравнения Максвелла стандартным образом сводятся к уравнению
д^Е _ _ 4тгАг д2Ры
дх2 с2 dt2 ~ с2 dt2 '
(1)
где N плотность ДУС. Нелинейную поляризацию среды представим в виде
I
Pni(*J) = I e(t')PrLs(x,t-t')dt'
(2)
Функция e(t) описывает реакцию среды, эффект запаздывания. Для одиночной ДУС Ptls = '¿21Р12 + + ß2i i где di2 = ¿21 недиагональные элементы матрицы диполя dy. Постоянный диполь-ный момент ДУС не учитывается. Поскольку фаза di2 устраняется сдвигом фазы поля, считаем, что dr2 = ii-21 •
Далее используем приближение медленных огибающих как для амплитуды поля и ДУС, так и для матрицы. Для этого представим поляризацию ДУС в виде
Ptls(.i:J) =
= I [Р(х^)вНкоХ^°1) + P*(xJ)(^iikoX^ot)] , (3)
где P(x,t) = d2iS(x,t) медленная огибающая, ко и uJo соответственно несущий волновой вектор и частота. Полагаем, что и>о близка к собственной частоте ДУС. Здесь S медленная огибающая недиагонального элемента матрицы плотности р.у ДУС:
Р12(хЛ) =
= \ ^(■МИ'*0'-'"00 + 3*(хЛ)в-'НкоХ-Шо'^ . (4)
Считаем, что время реакции тт матрицы сравнимо с длительностью импульса электромагнитного поля, но много больше периода осцилляций: тти)о 1- Поэтому пренебрегаем производными (|<9/.е|/и>о)'\ так же как и производными (|<9/.'Р|/и;о) '\ для п =1,2. После этого применим преобразование Фурье к уравнению (1), предварительно подставив в это уравнение выражение (3). Затем разложим фурье-образ е(и>) вблизи и>о:
е(и>) = е(и>о) •
бе i
du! \
UJ = U}Q
i д2е
+ 2 duß
(и? и?0 ) +
(и; - oJ0f + ■ ■ ■ (5)
Применяя обратное преобразование Фурье к уравнению (1) с учетом разложения (5), получаем правую часть уравнения в виде
47rAru>o<ii2
¿(к0г-ш01-)
--к I ) S(xj)
где
'-к — 77
1 О1', U)
и д'лк
zk — TT
i о1-, и-)
и д'лк
(6)
(7)
Представим электромагнитное поле в виде двух волновых пакетов:
4м) = ^х
х [£(ха)ето'-Шо1) + £*(хЛ)е-НкоХ-Шо1)] . (8)
Подставив выражение (8) в уравнение (1) и предполагая выполнение условия
1 д2£
с2 dt2 дх2
■С ко
1д£_ д£_
с dt дх
О)
получаем с учетом равенства uio = ско левую часть уравнения (1) в виде
21 (^Щ + ■
сг от ох
с.с.
(Ю)
Далее, пренебрегая в (6) членами суммы с к > 2, в рамках приближения вращающейся волны получаем из (6) и (10) для волнового пакета с несущей частотой и>о следующее выражение:
1д£ д£_ с dt <).>■
_ 2kuj%N(12I
ко с2
isnS
ds_ dt
■ ге-2
ff2 S dt2
(H)
Уравнения Блоха для ДУС с невырожденным ди-польным переходом имеют вид [1 3]
Ö/.P12 = —Ш12Р12 - г (рп -dt Pli = (Р-21 - Pvi)
dtP-2'2 = i^-E (рг2 — />21 )
ч dV2 „
P22)
(12)
(13)
(14)
где и>12 частота перехода.
Подставив (4) и (8) в уравнения Блоха (12) (14) и применив приближение вращающейся волны, получаем из уравнений (11) (14) дисперсионные уравнения Максвелла Блоха в безразмерном виде:
as
дт д^ дт
= ivS - iUS-
= i (US* - U* S).
au . r, as . ;ï's
—— = tr 0S + n — + ir-2^-5-, <)\ от ¡)т'
где T = L0Rt, V = (tJo - u>l2)/u1r, S-_ = Pu - P22-.
di2E
frljR '
ro=fo, n =
-~1 '-¿R,
Г 2 =
2
-2 '-¿R,
a
fkj'f
i)\ 2tï(112u)qN y lOr дх дт
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Здесь ulR некоторая характерная частота, например, частота Раби u)R = (1г2 ¿~о Й-1- Выбор ¿'о приведен в разд. 4.
см. ниже. Представление нулевой кривизны для ДУМБ (15) (17) имеет вид
Зтф = "fA f,u Ф.
\ pU* IX I
(21)
0ХФ = Л(т,Л;)Ф =
( ¡UoS-
~ \Ji(uiS*-ir2dTS*
fi.(uiS+ir2dTS) —iu0S-
Ф. (22)
Здесь
«о =
Го — 2riX — 4 г2А2 2(i/+ 2Л)
Го + vi'i + 2i/r2X
v + 2X '
Ф(т, , А) 2x2 матрично-значная функция. Для случая г0 — vi'i — р2г2 ф 0 функции //.(А) и /7(А) произвольные функции спектрального параметра А, связанные условием
р(Х)р(Х) =
г о — 2X ri — 4 А 2 г2 2 (г о — VVi — V2 т 2 )
(23)
Рассмотрим частные интегрируемые случаи системы дисперсионных уравнений Максвелла Блоха (15) (17).
I. п = г2 = 0. Это классический вариант уравнений Максвелла Блоха, интегрирумость которого показана Лэмом в 1971 г. [2]. Из условия (23) имеем
1
Р = —/'■ =
(24)
Применение аппарата МОЗР для случая I ассоциируется со спектральной задачей Захарова Шаба-та'[И].
II. г2 = 0. Этот интегрируемый вариант уравнений Максвелла Блоха [12] ассоциирован с расширенной версией спектральной задачи Kayna Ныо-елла [13]. Для него находим из (23)
// = 1112(11 — h2), р = 1112(11 + ¡>2 )
(25)
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА-БЛОХА
Система уравнений (15) (17) интегрируема для любых действительных констант V, Го, /'1, г2, за исключением случаев обращения в нуль алгебраических выражений вида /(р, г0, п , г2) = 0,
где А = ц2, m2 = s/n / (г0 + vi\ ), b2 = ч/rö/ v/2rï. III. ri = 0. Для этого случая получаем из (23)
fi = гпз ( А - Ь3 ), р = т3 ( А + Ьз )
(26)
где шз = у/2г2/(г0 — у2г2), Ь3 = s/fö/y/4r2- Спектральная задача, отвечающая (26), является обобщением спектральной задачи Вадати Конно Ишика-вы (ВКИ) [14, 15].
Если положить v = 0, Г\ = 0 и дополнительно считать, что амплитуды £ и S являются действительными величинами, то случай III сводится к обобщенному уравнению синус-Гордона
д2вР
= Ш10р
ff2 . й Г2-г—7 SUlffp-
ОТ1
(27)
где Ü = дтвр. Интегрируемость уравнения (27) была показана Фокасом в 1995 г. [16].
IV. Произвольные действительные Го, J'i, J'2, v, такие что г2 ф 0, г о — vi\ — Л-2 ф 0. В этом случае находим
fi = 111,4 (Л + b-), /7 = m4 (Л + 1ц
где
kr =
ri уfr. — =F —
4r0r2
4 г-
4r-j
2 r2
111,2 =
J'o — vr 1 — I/z,/'2
(28)
(29)
(30)
Аппарат МОЯ' непосредственно для спектральной задачи ВКИ был развит Конно с соавторами [15]. В работе [17], в которой решалось уравнение (27), применялось калибровочное преобразование, позволившее свести задачу к решению спектральной задачи Захарова Шабата. В настоящей работе используется подход к решению задачи с помощью МОЗР, отличающийся от использованных в работах [15] и [17]. Здесь применяется другая форма спектральной задачи. Однако, как и в работах [15,17], решения, ассоциированные со спектраль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.