ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 12, с. 35-47
УДК 550.34.51+550.348.436
САМОПОДОБНАЯ СЕЙСМОГЕНЕРИРУЮЩАЯ СТРУКТУРА ЗЕМНОЙ КОРЫ: ОБЗОР ПРОБЛЕМЫ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
© 2007 г. И. Р. Стаховский
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 07.12.2005 г.
Приведен краткий обзор исследований структурной организации сейсмогенерирующей среды, показывающий, что вследствие процесса самоорганизации земная кора в сейсмоактивных регионах обладает фрактальной структурой. Как обобщение рассмотренных работ предложена новая математическая модель самоподобной сейсмогенерирующей структуры земной коры (модель ССС), основанная на идее согласования скейлингов трех мультифрактальных полей земной коры - разлом-ного, сейсмического и сейсмоэнергетического. Модель ССС открыта для включения в нее мультифрактальных полей и иной физической природы.
РАС8: 91.30.Dk
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическое рассмотрение такого явления как землетрясение было начато на заре прошлого века с появлением представлений об упругой отдаче материала земной коры при его разрушении [Reid, 1911]. Теория упругой отдачи оказала большое влияние на более поздние работы по физике землетрясений [Костров, 1975; Райс, 1982 и др.], а также на работы по созданию эмпирических моделей подготовки сейсмических событий [Stuart, 1974; Mjachkin et al., 1975 и др.]. Основная идея цитируемых работ заключалась в том, что подготовка землетрясения связана с появлением неоднородности свойств в изначально однородной среде или в другой формулировке - подготовка землетрясения сосредоточена в некоторой области среды, за пределами которой материал матрицы ведет себя как линейно-упругий континуум. В наиболее абстрактных моделях, созданных в рамках таких представлений, эта область обретала даже легко задаваемую форму с гладкими границами [Добровольский и др., 1980]. До 1980 года исследования в области физики землетрясений не обнаруживали в сейсмогенерирующей среде никакой специфической структуры, которая могла бы в явном виде оказать влияние на сейсмический процесс.
В то же время неравновесная физика ввела представление о самоподобных диссипативных структурах [Николис, Пригожин, 1979], отсутствующих в равновесных системах, но возникающих в статистических системах, находящихся в неравновесном состоянии. Как следствие, в 1980 году было обнаружено пространственное самоподобие сейсмического процесса [Kagan, Knopoff, 1980]. С появлением фрактальной геометрии [Mandelbrot, 1982] было показано, что множества эпицентров зем-
летрясений, равно как и множества трещин (разрывов) в горных породах, можно в первом приближении интерпретировать как фрактальные множества [Smalley et al., 1987; Hirata, 1989]. В дальнейшем стало ясно, что и сейсмичность [Geilikman et al., 1990], и разломообразование [Белоусов, Стаховский, 1993; Белоусов, Стаховский, 1995] являются мультифрактальными процессами. Сейсмогене-рирующая среда более не могла рассматриваться как континуум - ей оказалась присуща внутренняя самоподобная структура, определяющая сейсмический процесс. Так, например, в среде с самоподобной структурой нет места для какой-либо области с характерными размерами и границами, как не существует и какого-либо характерного масштаба. Основным процессом, протекающим в сейсмогенерирующей среде, оказался процесс самоорганизации [Bak, Tang, 1987; Scholz; 1991], а в сейсмологии получила распространение концепция самоорганизации статистических систем в критическом состоянии (Self-Organized Criticality, SOC) [Bak, Tang, 1989; Ito, Matsuzaki, 1990; Feder, Feder, 1991 и др.].
В данной статье предлагается новая статистическая модель структурной организации сейсмогенерирующей среды, которая учитывает современный уровень знаний о самоподобной эволюции материала земной коры в условиях неравновесного состояния. Модель построена на принципе согласования скейлингов трех мультифрактальных полей земной коры - разломного, сейсмического и сейсмоэнергетического. Модель органически связана с концепцией SOC, однако обладает строгим математическим аппаратом, позволяющим количественно анализировать реальные сейсмотектонические данные.
35
3*
A
B
4 .. ....
Рис. 1. Первые четыре итерации построения модельного фрактального множества.
ПРИРОДА ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ
Наиболее универсальным и не подлежащим сомнению экспериментальным фактом, относящимся к сейсмическому процессу, является подчинение сейсмичности закону Гутенберга-Рихтера [Gutenberg, Richter, 1956], который долгое время считался чисто сейсмологическим законом. Исследования последних лет показали, однако, что закон Гутенберга-Рихтера описывает статистику катастрофических событий во многих неравновесных динамических системах, включая даже такие сферы как биология и финансы [Sornette, 2000; Sornette, Kayo, 2003]. Это позволило выяснить свойства систем, подчиняющихся закону Гутенберга-Рихтера. Такие системы, как правило, состоят из большого числа подсистем, которые могут накапливать энергию до некоторого предела, после чего сбрасывают ее. В обычных условиях такие системы отвечают на внешние воздействия откликом, пропорциональным воздействию. Но, если большое число подсистем находится в состоянии, близком к предельному, то даже слабое воздействие на систему способно вызвать в ней лавинообразный сброс энергии. Неодинаковость отклика на одинаковые воздействия (и целый ряд других свойств) не позволяет характеризовать эти системы в детерминированных понятиях - такие (статистические) системы допускают только вероятностное описание. Крупные катастрофы в системах, подчиняющихся закону Гутенберга-Рихтера, реализуются в виде лавины катастроф в мелкомасштабных подсистемах, сброс энергии в которых провоцирует сброс энергии в соседних подсистемах. Отклики таких систем на внешние воздействия часто имеют характер флик-кер-шума [Bak, Tang, 1987; Жигальский, 2003 и др.].
Таким образом, есть все основания полагать, что и землетрясения следует воспринимать не как результат развития в среде одиночного разрыва из гипотетической "области подготовки", а как результат слияния большого числа мелкомасштабных трещин, распределенных по всей среде.
Экспериментальное исследование процесса слияния трещин в горных породах привело к рождению так называемого "концентрационного критерия" [Журков и др., 1980]. Суть его заключается в том, что при повышении концентрации трещин в нагружаемой породе трещины сливаются при достижении между ними расстояния, равного трем длинам трещин. Справедливость концентрационного критерия подтверждена большим объемом экспериментальных измерений. Проверен он и на масштабах землетрясений [Соболев, Завьялов, 1980]. Хотя концентрационный критерий остается чисто геометрическим критерием, он может быть принят просто как экспериментальный факт. В данном случае важно, что согласно не менее многочисленным экспериментальным работам, трещины в горных породах образуют фрактальные множества [Matsushita, 1985; Poul-ton et al., 1990 и др.].
Построим фрактальное множество следующим образом. Удалим из отрезка AB (рис. 1) центральную часть, равную 3/5 его длины. На следующей итерации удалим центральные части оставшихся элементов, также равные 3/5 их длин. Продолжая итерации по этому правилу до бесконечности, получим множество меры нуль по Лебегу, которое имеет очевидные аналогии с 3-адиче-ским множеством, построенным Г. Кантором в 1882 году. Будем интерпретировать элементы этого множества, полученного за конечное число итераций, как "микроразрывы" в горной породе (хотя задача и одномерная).
Построенное множество является фракталом с фрактальной размерностью d = log22/log25 = = 0.43067.... На любом масштабном уровне расстояние между ближайшими соседними "микроразрывами" равно трем длинам "микроразрывов" и, следовательно, согласно концентрационному критерию они должны слиться в один разрыв. Однако, при переходе на следующий масштабный уровень расстояние между ближайшими слившимися разрывами снова оказывается равно трем их длинам. Иными словами, процесс слияния трещин в виде так называемого "обратного" каскада [Allegre et al., 1995; Gabrielov et al., 2000; Narteau et al., 2000; Zaliapin et al., 2003] должен происходить лавинообразно вплоть до появления "макроразрыва". Условием образования лавинообразного разрушения является фрактальное распределение трещин совместно с действием концентрационного критерия слияния трещин. Если же элементы построенного множества распределить в пространстве равномерно, то никакой лавины не возникнет.
Число элементов множества равно 2к - где к -номер итерации (к = 1, 2, 3.), а число перемычек между ними, которые должны быть вспороты
1
2
3
при слиянии "разрывов" на очередном масштабном уровне, равно (к > 2):
N = 2к - 2. (1)
Длина этих перемычек равна (к > 2):
L = 3/5к - 1 (2)
Из (1) и (2) сразу же следует степенная зависимость L от N:
L - N~log25, (3)
которую при желании можно считать законом Гутенберга-Рихтера для данной расчетной схемы, в которой энергия "разрывов" в явном виде не присутствует.
Из этой простой схемы видно, что фрактальное распределение трещин обеспечивает появление степенной зависимости между числом слияний трещин (или числом динамических разрывов) и их длиной (или энергией). При условии, что микроразрывы расположены в виде фрактального множества, т.е. при наличии в сейсмогенериру-ющей среде самоподобной структуры, появление сейсмического макроразрыва (землетрясения) может быть вызвано микроразрывами сколь угодно малого масштаба. Наблюдения же показывают, что микроразрывы в горных породах всегда образуют фрактальные множества [Chelidze, Gueguen, 1990; Velde et al., 1990; Xie, 1992 и др.]. При этом любые несовершенства фрактальной структуры множества микроразрывов могут остановить лавину разрушения. Мы приходим к выводу, что в процессе своей подготовки макроразрыв "не знает" не только, где он финиширует, но даже где и в единственной ли точке он стартует - все потенциальные пункты старта абсолютно равноценны. Подготовка такого макроразрыва в принципе не может быть описана в детерминированных понятиях. Однако присущая сейсмогенерирующей с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.