АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2010, том 56, № 4, с. 554-557
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ
УДК 534.1
САМОСОГЛАСОВАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОЦЕНКИ ПОВРЕЖДЕННОСТИ МАТЕРИАЛА АКУСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
© 2010 г. В. И. Ерофеев, Е. А. Никитина
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 603024 Нижний Новгород, ул. Белинского 85 E-mail: erf04@sinn.ru Поступила в редакцию 8.06.09 г.
Предложен подход, позволяющий сформулировать самосогласованную задачу, включающую в себя уравнения динамики материала и уравнения его поврежденности. Показано, что поврежденность материала привносит частотно-зависимое затухание и дисперсию фазовой скорости ультразвуковой акустической волны, что позволяет оценивать поврежденность акустическим методом Приложенное поле деформаций, в свою очередь, приводит к накоплению поврежденности. Получено кинетическое уравнение, анализ которого показывает, что нарастание поврежденности имеет экспоненциальный характер. Произведена оценка параметров системы, при которых накопление повреждений можно считать линейным.
Обеспечение безопасности машиностроительных объектов решается в настоящее время с помощью проведения неразрушающих методов контроля. При этом акустический метод отмечается как наиболее перспективный [1]. Точность замера параметров и дальнейшая интерпретация состояния конструкционного материала зависит от учета многочисленных факторов, в частности от эксплуатационных условий работы конструкции. Прочность и долговечность конструкции обусловлены прочностными параметрами материала в локальных наиболее нагруженных зонах. При этом в процессе эксплуатации происходят структурные изменения в металле, а скорость деградации материала зависит от эксплуатационных условий нагружения. Очевидно, что при диагностировании длительно эксплуатируемых конструкций структурные изменения материала приводят к существенному изменению показаний приборов по сравнению с тарировкой прибора на заводских образцах.
Целью настоящей работы является разработка методики расшифровки показаний акустических приборов с учетом поврежденности конструкционного материала.
Механика поврежденного континуума интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ Л.М. Качанова, обобщенных в монографии [2], и Ю.Н. Работнова, обобщенных в монографии [3] . Ценность этих первых работ, признанных ныне классическими, заключается в возможности применения единой схемы представления поврежденности для описания поврежденности в упругих и упругопластических телах.
Под поврежденностью обычно понимается сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины — в упругости, дислокации — в пластичности, микропоры — при ползучести, поверхностные микротрещины — при усталости) [4].
Не измеряемая непосредственно (как, например, скорость, сила или температура), повре-жденность, т.е. деградация механических свойств тела, может быть обнаружена в результате анализа реакции тела на различные внешние воздействия. Согласно экспериментальной практике, наличие поля повреждений в материалах может быть косвенно обнаружено и отчасти количественно представлено через уменьшение скорости прохождения ультразвукового сигнала [5—7], уменьшение модуля Юнга ("дефект модуля") [8] , уменьшение плотности ("разрыхление") [9], изменение твердости [10], падение электрического потенциала [11], падение амплитуды напряжений при циклическом испытании [12, 13], ускорение ползучести в третьей стадии [14].
В традиционных расчетах за меру повреждаемости в процессе развития деформации принимается скалярный параметр повреждаемости у (х, 1), характеризующий относительную плотность равномерно рассеянных в единице объема микродефектов. Этот параметр равен нулю, когда повреждений нет, и близок к единице в момент разрушения.
Процесс накопления повреждений в материале исследуемой конструкции рассчитывается путем последовательного решения на каждом этапе на-гружения кинетического уравнения повреждаемости. Исследование процесса накопления повреждений в элементе конструкции продолжается до достижения параметром у (х, 1) заданного предельного значения, близкого к единице.
Рассмотрим образец материала, выполненный в виде стержня, по которому может распространяться продольная акустическая волна. Обозначим через и(х, 1) перемещение частиц срединной линии стержня. Считаем, что стержень подвергается статическим или циклическим испытаниям и в его материале может накапливаться повре-жденность. Для описания меры поврежденности введем функцию у (х, 1) [2, 3].
Как правило, в механике деформируемого твердого тела задачи динамики рассматривают отдельно от задач накопления повреждений. При разработке таких методов принято заранее постулировать, что скорость упругой волны является заданной функцией поврежденности, а затем экспериментально определять коэффициенты пропорциональности.
Фазовая скорость волны (уф) и ее затухание считаются обычно степенными функциями частоты (ю) и линейными функциями поврежденности (у) [15]:
Vф (го) = Со (1 - А^ -а (го) = (А3 + А4у)го4,
(1)
(2)
с/\\) _
(г
= /(а, V),
(3)
Функция /(а, у) чаще всего аппроксимируется линейной зависимостью, иногда — полиномиальной зависимостью [16, 17].
При несомненных достоинствах (простота) подход, основанный на предположениях (1), (2), обладает целым рядом недостатков, как и любой подход, не опирающийся на математические модели процессов и систем.
Будем считать, что рассматриваемая задача является самосогласованной и включает в себя, кроме уравнения развития поврежденности (3), которое перепишем в виде
ду, „ т?ди
+ ау = р2^—.
дг дх
еще и уравнение динамики стержня:
2 д2и п дш ---"р1—
2
д и
дг
2 С0 - 2 дх
дх
(4)
(5)
Здесь а, рь р2 — константы, характеризующие поврежденность материала и связь циклических процессов и процессов накопления повреждений.
Отыскивая решение системы (4) и (5) в виде
г- [Ятг - кх)]
бегущих гармонических волн и, у « ехр , где
ю — круговая частота, к = 2 п / X — волновое число (X — длина волны), придем к дисперсионному уравнению:
ю2 - ( + ^)к2 +1ю3 - ££02Юк2 = 0.
а
(6)
а
а
где с0 = у/ Е/р — скорость, с которой распространялась бы продольная упругая волна в материале стержня, если в нем не было бы повреждений; Е — модуль Юнга; р — плотность материала, А1-4 — коэффициенты, подлежащие экспериментальному определению.
Эволюция поврежденности описывается кинетическим уравнением вида [16, 17]:
где ст — внешнее действующее напряжение.
Заметим, что уравнение (6), связывающее пространственные и временны е масштабы продольной волны, содержит комплексные коэффициенты, откуда следует, что волна будет не только распространяться по стержню, но и затухать по мере распространения.
Представим волновое число в виде к = к1 + ¡кп, где к1 — характеризует постоянную распространения (у-ф = ю/к1 — фазовая скорость волны), а к11 = а (ю) характеризует затухание волны.
Решение алгебраического уравнения (6) позволяет определить обе составляющие волнового числа:
к1 = ±
2 2 , С0 4 аго го 4 2 4, С0 8 а го го / 2 , \ , (а + с0) 6 + 1-го
а 1 а а
2 ( 4 ^ 2 , С0 2 | а + -0го 1
а
556
ЕРОФЕЕВ, НИКИТИНА
-U ф ( 0 ):
С 0 + E ß ! ß 2
H
a
- uфc0
Ю
Рис. 1. Частотная зависимость фазовой скорости.
к11 = ±-
2Л
a - c о а
ш
2 , С0 4
аш + -Q ш а
2 Л I 4 ( 2 , 4Ч
2 4 c0 8 (а + С0) 6 ш +--ш + ^-ш
(8)
±4¡а ш +—О4ш +■ а
а
Здесь принято обозначение а = c0 +
Eßß 2
а
Из (7),(8) видно, что наличие поврежденности приводит к дисперсии, т.е. зависимости фазовой скорости продольной волны от частоты ^ф = ^ф(ш) и частотно-зависимому затуханию
1 il 111/ \ к = к ( œ ).
В низкочастотном диапазоне (ш ^ 0 ) скорость
волны принимает значение vф(0) cQj + Eßlß2.
M а
Затухание волны при этом пропорционально квадрату частоты:
к П(0)
Eßiß 2^2
a I IcQ + ЕЬЪ
а
В высокочастотном диапазоне (ш ^ ад) фазовая скорость стремится к с0: ад) « с0, и затухание волны пропорционально первой степени частоты:
к »( ) ~ ^
a c0
Tj к \0)
В низкочастотном диапазоне тт\~
а
к (0) Евв2^
^^, т.е. волна распространяется практически без затухания.
г» к \ ад)
В высокочастотном же диапазоне —^—- =
к (ад)
а
=--> 0, т.е. постоянная распространения и
2
параметр, характеризующий затухание, становятся величинами одного порядка.
Частотная зависимость фазовой скорости качественно представлена на рис. 1, а частотная за-
висимость затухания — на рис. 2. Такие зависимости характерны для многих конструкционных материалов [18].
В ряде экспериментальных работ, например, в [19], в частотных зависимостях затухания, наряду с монотонным ростом, наблюдаются и экстремальные (локальные максимумы) зависимости. Математическая модель (4), (5) не позволяет описать такие экстремумы, для их описания необходимо дополнительно наделить поле поврежденности инерционными свойствами. Это возможно, если поврежденность отождествить с полем дислокаций, обладающим собственными частотами [20—22].
Заметим, что мнимая часть волнового числа к 11 может быть измерена как в низкочастотном, так и в высокочастотном диапазонах, следовательно, введенные в (4), (5) константы а, ß1, ß2 могут быть вычислены через измеряемые параметры:
а =
к п( ад ) ш
к >)Ji+^
V c<®
2
ßlß 2 =
co( к n( да ))
Ек >)Jl + ^
v cq®
(9)
(10)
Система (4), (5) может быть сведена к одному уравнению относительно функции у, характеризующей поврежденность:
^ - (c02 + ШЬ)^ +- ci_d\L = 0. (11)
д t v а / dx ад t adx dt
Уравнение (11) представляет собой кинетическое уравнение накопления повреждений. Его анализ показывает, что нарастание поврежденно-
Рис. 2. Частотная зависимость затухания.
сти имеет экспоненциальный характер. Показатель экспоненты определяется соотношением (8) и лишь при некоторых значениях параметров этот процесс можно аппроксимировать линейной функцией.
Предлагаемый вниманию подход позволил сформулировать новые зависимости, связывающие уравнения динамики материала и ки
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.