ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 12, с. 1139-1148
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ПЛАЗМА
УДК 533.7
САМОСОГЛАСОВАННАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭФФЕКТА СТРАТИФИКАЦИИ РАЗРЯДОВ ПЛОСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В АРГОНЕ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ
© 2004 г. А. В. Федосеев, Г. И. Сухинин
Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН Поступила в редакцию 19.11.2003 г. Окончательный вариант получен 03.03.2004 г.
С помощью самосогласованной кинетической модели рассматривается эффект стратификации положительного столба плоского и сферического газового разряда в аргоне низкого давления. Модель основана на решении кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов по энергиям, нестационарного уравнения непрерывности для ионов и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля. Получено пространственное распределение плотностей электронов и ионов, а также электрического поля в положительном столбе стратифицированного разряда. В рамках модели объяснен кинетический механизм возникновения эффекта стратификации в инертных газах низкого давления. Модель позволила описать движущиеся страты и подтвердить зависимость значений радиусов страт, полученную экспериментально для сферического разряда.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что плазма положительного столба газового разряда чаще всего находится в неустойчивом состоянии [1-4]. Различного вида неустойчивости приводят к расслоению положительного столба на чередующиеся светлые и темные полосы - страты. Несмотря на обширные экспериментальные и теоретические исследования, эффект стратификации остается не до конца понятым и изученным.
Сферический стратифицированный тлеющий разряд с центральным анодом малых размеров, окруженным сферическим катодом большой площади, был реализован в работах [5-6]. В отличие от традиционных тлеющих разрядов в трубках, в сферическом разряде реализуется сходящийся поток электронов к центральному аноду, отсутствуют поперечные диффузионные потоки заряженных частиц и их потери на стенках. Оптические измерения показали, что объемный разряд с точечным анодом обладает высокой степенью симметрии и представляет собой уникальный объект, в котором все параметры зависят только от расстояния от центра анода, что позволяет провести его моделирование в одномерной постановке.
На протяжении долгого периода наиболее развитыми моделями эффекта стратификации являлись гидродинамическая и кинетическая теории страт (см., например, обзор [3]). Недавно был развит новый метод решения нелокального кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов по энергии (ФРЭЭ) [7].
Метод позволил достаточно хорошо рассчитывать влияние неоднородностей электрического поля на формирование функции распределения электронов и ее релаксацию в области однородного поля. На основе данного метода были представлены работы [8, 9], где уравнение Больцмана для функции распределения электронов считалось в заданном синусоидальном или экспериментально измеренном электрическом поле. При правильном выборе пространственного периода заданного электрического поля в работах определялся масштаб релаксации энергии электронов, описывался кинетический механизм периодического распределения макроскопических параметров электронов плазмы. В одной из последних работ [10] представлена самосогласованная кинетическая модель, в которой все электроны рассматриваются с помощью уравнения Больцмана для функции распределения электронов в двучленном приближении, ионы и метастабиль-ные частицы рассматриваются с помощью гидродинамических уравнений баланса. В [10] разряд рассматривается при умеренных давлениях в приближении полной нейтральности положительного столба, и электрическое поле рассчитывается без учета уравнения Пуассона.
Растет интерес к так называемым гибридным моделям [11, 12], где высокоэнергетичные электроны рассматриваются с помощью метода Монте-Карло, а медленные электроны, ионы и другие тяжелые частицы (метастабили) описываются обычными гидродинамическими уравнениями. Такой подход позволяет улучшить качество мо-
1139
6*
делирования, не сильно увеличивая при этом расчетное время. Электрическое поле в плазме в таком подходе определяется распределением зарядов и самосогласованным путем находится из уравнения Пуассона. Данные модели широко применялись для описания прикатодных явлений, разрядов сложной геометрии, и не применялись для описания эффекта стратификации.
В настоящей работе плазма положительного столба плоского и сферического тлеющего разряда рассматривается на основе одновременного решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов по энергиям, нестационарного уравнения непрерывности для ионов и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля. Именно такой самосогласованный кинетический подход может, по мнению авторов, правдоподобно описать эффект стратификации разрядов низкого давления в благородных газах.
2. МОДЕЛЬ
Рассматривался положительный столб (ПС) плоского и сферического разряда в аргоне низкого давления (0.1 < р < 2 Тор). Для плоского разряда в трубках влиянием краевых эффектов прене-брегалось и предполагалось, что распределение электрического поля только аксиальное. Как уже отмечалось, в сферическом разряде все параметры зависят только от одной координаты г. Таким образом, и для сферического и для плоского разряда рассматривается одномерная задача. Далее все выражения будут записаны в одной форме для сферического и плоского случаев, пространственной координатой является координата г.
Для описания потока электронов, входящего в область самосогласованного пространственно-периодического поля в ПС, и его релаксации в этом поле к аноду, использовалось кинетическое уравнение Больцмана для функции f(г, V) распределения электронов по скоростям:
V Уг f -т Е Уу f = 8е1( f) + £ ?кп( f),
(1)
стационарное уравнение Больцмана. Направление электрического поля выбрано так, чтобы электроны ускорялись в положительном направлении оси г. В разложении ФРЭЭ по полиномам Лежандра оставлялись только первые два члена:
Ли. V г) = ¿1
' v ) 2 п( 2/т)
л о (и, г) + Л г (и, г) -
V г
V.
, (2)
где и = mv 2/2 - кинетическая энергия электронов, Л0(и, г) - изотропная иЛг(и, г) - анизотропная части ФРЭЭ.
Подставляя разложение (2) в уравнение (1), умножая полученное на единицу и на ц = V,./V и интегрируя по 2гсф,, получем систему двух уравнений (для сферического случая см. подробнее в [7])
11 Э г пТТ. ] еЕг(г) д
V дгг г илг] -—дййг илг] -
---д----
-д---и---
т 2 1
2М и2 N$ (и) Л о
+ £ UNgQikn (и) Л о- (3)
где Бе1 - интеграл упругих соударений, Бк - интеграл неупругих соударений, -е - заряд, т - масса электрона. Так как характерное время установления определенной картины в плазме определяется скоростью медленных ионов, а более быстрая электронная компонента успевает за эти времена подстраиваться к ним, рассматривается
£( и + икп) NgQikn( и + и к) Л о (и + ик, г) = 0,
дг л о - еЕг (г) ди Л о + Н (и) Л г = о, (4)
где п = 0 для плоской геометрии и п = 2 для сферической геометрии, Ng - плотность нейтральных частиц массой М. Третий член в уравнении (3) описывает потери энергии, связанные с упругими столкновениями с сечениями рассеяния Qd(U), а четвертый - с потерями энергии в неупругих столкновениях, Q'kn (и) - сечение к-го неупругого процесса,
коэффициент Н(и) = NgQd(U) + £kNgQikn(и). Последний член в уравнении (3) отвечает за появление электрона с кинетической энергией и вследствие соударения электрона с первоначальной энергией и + ик и потери им энергии ик в к-ом неупругом процессе.
Система уравнений (3) и (4) упрощается при переходе от кинетической энергии и к полной энергии электронов £ = и - е^(г), где W(г) - распределение электрического потенциала в положительном столбе разряда. В результате исключения из системы уравнений анизотропной части
к
к
к
функции распределения уравнение для изотропной части функции распределения примет вид
г д£
1 д_
дг
г" и д_ [3 Н ( и )дг
/о(£ г)
т 2 1
2ти2N$(и)/о(£, г)
+
- £ UNgQikn( и)/о(£, г) +
к
£( и + ик") и + и к) / о(£ + ик", г) = 0.
(5)
Выражение (6) связывает между собой изотропную и анизотропную части функции распределения электронов:
/г = -
1
Н(и)дг
/ о.
(6)
/г (и) = си ехр
^ и - ит
Аи
2
г = о,
дг,/о(£ = г), г)
= о.
в
А В
С
С ^(г)
На рис. 1 приведена область решения уравнения (5) в координатах £-г в случае произвольного периодического электрического поля. Выбранное пространственное распределение потенциальной энергии -в^(г) определяет нижнюю границу области решения (на рисунке помечен буквой С). Левая граница области решения (А) соответствует катодной стороне ПС. На входе в положительный столб анизотропная часть функции распределения электронов задавалась гауссовой функцией
которая моделирует пучок электронов. Использовались различные значения средней энергии электронов и ширины распределения пучка. Результаты показали, что изменения параметров ит и Аи приводят к незначительному изменению решения лишь в узкой области вблизи границы А. Максимальная рассматриваемая полная энергия выбрана так, чтобы функция распределения электронов с энергией всюду равнялась нулю. Таким образом, граничное условие на верхней границе (В) - /0(£ > г) = 0. На нижней границе (С) кинетическая энергия электронов равна нулю. Следовательно, анизотропная часть функции распределения /г также равна нулю. Из уравнения (6) следует, что соответствующим условием на этой границе для изотропной части функции распределения является
Рис. 1. Область решения и граничные условия для уравнения Больцмана в координатах £-г.
Для плоского разряда область решения была следующая: гс = 0 см - катодная сторона ПС, га = 20 см - анодная сторона ПС. Для сферического разряда радиус катодной стороны ПС гс = 11 см, радиус анода га = 1 см. На аноде использовалось условие полной абсорбции электронов поверхностью анода (граница В):
3
/г ( и, га) = У /о ( и, га) , У =
Процедура решения уравне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.