научная статья по теме СЧИСЛЕНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ БЕЗ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «СЧИСЛЕНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ БЕЗ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 137-143

== НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 629.7.05

СЧИСЛЕНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ БЕЗ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

© 2007 г. А. И. Ткаченко

Украина, Киев, Международный научно-учебный центр информационных технологий и систем

HAH и МОН Украины Поступила в редакцию 22.05.06 г.

Традиционные методы оценки параметров взаимной ориентации двух координатных трехгранников - подвижного и неподвижного - по представлениям векторных величин в проекциях на оси обоих трехгранников на конечном промежутке времени предусматривают использование угловой скорости подвижного трехгранника. Указанная угловая скорость находится либо непосредственным измерением, либо путем интегрирования динамических уравнений углового движения твердого тела, с которым связан подвижный трехгранник. Оба способа расчета угловой скорости небезупречны. Представленный ниже подход к обработке векторной информации предназначается для оценки параметров ориентации без привлечения каких-либо сведений об угловой скорости относительного движения трехгранников. В качестве приложений рассматриваются две задачи определения ориентации низкоорбитального космического аппарата.

Введение. Известно, что определение взаимной ориентации двух ортогональных координатных трехгранников (в приложениях - ориентации подвижного объекта) может быть реализовано как одноразовая операция над представлениями не менее, чем двух неколлинеарных векторов в проекциях на оси обоих трехгранников [1]. Неизбежные на практике ошибки измерения векторов вынуждают решать подобную задачу посредством разворачивающегося во времени процесса оценки состояния динамической системы (фильтрации). Один из таких подходов содержится в задаче Grace Wahba [2]. Ее решение устанавливает параметры ориентации подвижного трехгранника относительно неподвижного путем минимизации функционала, задающего рассогласование представлений массива векторов в проекциях на оси указанных трехгранников. Здесь нет возможности комментировать опубликованные решения этой задачи и ее более или менее радикальных модификаций. Отметим лишь, что для привязки измерений, рассредоточенных во времени, к текущему положению подвижного трехгранника предполагается вычисление параметров, характеризующих изменение ориентации названного трехгранника на промежутке измерений [3]. Эти параметры находятся методом счисления - путем интегрирования кинематических уравнений углового движения с использованием измерений угловой скорости подвижного трехгранника. Алгоритмы, предназначенные для такого интегрирования, выведены достаточно давно [4-7].

Вместе с измерителями угловой скорости в бортовую систему определения ориентации подвижного объекта вносятся свойственные им не-

достатки: систематический дрейф, ограниченная надежность приборов электромеханического типа, относительно невысокая точность лазерных и иных конструкций немеханических гироскопов. Отказ от использования измерителей угловой скорости при определении ориентации объекта был бы особенно выгоден в приложениях, требующих экономии массы, объема и энергопотребления бортовой аппаратуры.

Иной подход к определению ориентации приборных трехгранников культивируется в [8] (сюда же относится работа [9]). Параметры ориентации и угловая скорость космического аппарата (КА) вычисляются с помощью алгоритма оценки состояния (фильтра), включающего интегрирование динамических уравнений Эйлера. Проблемный момент этого подхода - необходимость задания динамических характеристик объекта, прежде всего матрицы инерции. Неточное знание этой матрицы может вызвать нежелательные эффекты вплоть до расходимости фильтра.

Приведенный ниже способ определения ориентации подвижного объекта (в наиболее распространенном приложении - КА) также предусматривает измерение векторных величин, счисление и рекуррентную фильтрацию, но не требует ни непосредственного измерения угловой скорости объекта, ни интегрирования динамических уравнений Эйлера.

1. Счисление параметров ориентации. Введем правый ортонормированный инерциальный геоцентрический базис I с ортами 12, ¡3. С подвижным объектом свяжем правый ортонормированный базис Е(е1, е2, е3). В дальнейшем будем отме-

чать нижними индексами I и E представления трехмерных векторов в соответствующих базисах.

Пусть в дискретные моменты времени tn, n = 0, 1, 2, ... , вычисляются или измеряются представления одного и того же в общем случае переменного единичного вектора a в базисах I и E, т.е.

ani = ai(tn), anE = a^O, ||a|| = (aj a7)1/2 = (aE a£)1/2 = 1 (верхний индекс T - транспонирование). Взаимную ориентацию базисов E и I охарактеризуем ортогональной (3 х 3)-матрицей направляющих косинусов C, так что an = CnanE, Cn = C(tn). При

этом C = СФ^^), где w - вектор абсолютной угловой скорости базиса E; Ф - кососимметриче-ская (3 х 3)-матрица оператора векторного умножения, заданная в конкретном базисе, так что, например, Ф(ю£)а£ = (w х a)E.

Необходимо, исходя из заданного начального значения C0 = C(t0) и используя векторную информацию указанного типа, но не измеряя и не оценивая юЕ, последовательно вычислять матрицы Cn.

Пусть tn + 1 = tn + h, причем A||w|| ^ 1 (не обязательно h = const). Условившись о выкладках первого приближения относительно h, положим

Cn +i = C„[E3+ Ф(gn e)] ,

(1.1)

= [ E3 + Ф( an +i, i)] an

(1.2)

При оговоренных предположениях решение системы уравнений (1.3), (1.4) относительно уи + 1 Е существует единственно и определяется выражением

gn +1,e = в- {ф(anE)[an +1,e + Ф(anE)an + 1,e] + Ф( bnE)[ bn +1, E + Ф( bnE) Pn +1, E ]},

(1.5)

в котором Бп = Ф2(апЕ) + Ф2(ЬпЕ). Подстановка значения (1.5) или представленного в иной форме решения системы (1.3), (1.4) в формулу (1.1) определяет очередной шаг счисления параметров ориентации.

Из более точного, по сравнению с (1.1), выражения для Сп + учитывающего величины второго порядка малости, следует итерационная процедура счисления, на каждом шаге которой вместо однократного счета по формуле (1.5) выполняются последовательные итерации с использованием выражения

Уп +1, Е = Б-1{Ф( апЕ)[ ап +1, Е + Ф( апЕ) «п +1, Е -

где Е3 - единичная (3 х 3)-матрица, уп + 1 - пока не определенный вектор, описывающий поворот базиса Е на промежутке + х]. Очевидно, ||у„ + х|| = = 0(А||ш||).

Разность ап + ^ Е - апЕ порождается изменениями ориентации орта а в базисе I за время + х] и базиса Е за то же время. Совместный эффект этих двух факторов можно в рамках принятой точности представить суммой соответствующих векторов малого поворота. В первом приближении

- 1/2Ф2( g*+1, e )anE ] +

+ Ф( Ь,е)[ Ь n + 1, E + Ф( bnE) P n + 1, E

-1/2Ф2 ( g* E ) bnE ]},

(1.6)

где «п + х, / - вектор малого поворота орта а1 на промежутке 1п + 1]. Этот вектор определяется формулой (1.2) неединственным образом. Поскольку в дальнейшем «п + 1/ используется только как сомножитель в произведениях типа «п + 1 х ап, достаточно задать его выражением «п + / = ап/ х х ап + 1, /. Из (1.1), (1.2) следует

Ф( апЕ)Уп +1, Е = ап +1, Е - апЕ - Ф( «п +1, е) апЕ, (1.3) — гт

где «п + 1, Е = Сп «п + 1, /.

Пусть синхронно с а/, аЕ доступны представления Ь/, ЬЕ единичного вектора Ь, такого, что а х Ь Ф 0. По аналогии с (1.3) находим

Ф( ЬпЕ)Уп +1, Е = Ьп +1, Е - ЬпЕ - Ф( Рп +1, Е)ЬпЕ, (1.4) где Рп + 1, Е = Ст Рп + 1, /, Рп + 1, / = Ьп/ х Ьп + 1, /.

где уи+1; Е - значение уп + 1, Е, полученное на предыдущей итерации текущего шага. На первой итерации очередного шага счисления в (1.6) полагается У*+ 1, Е = 0.

Привлекая правила операций с кватернионами, задающие ориентацию твердого тела [7], можно сформулировать подобную методику оценивания применительно к параметрам Родрига -Гамильтона. Начальные условия в момент t = t0 определяются приближенно по измерениям не-коллинеарных векторов а(^) и Ь(^); в частности, для этого целесообразно использовать вычислительную схему из [10]. Для поддержания не учтенных при счислении свойств параметров ориентации могут понадобиться дополнительные процедуры ортогонализации или нормирования.

Если в целях управления угловым движением объекта нужна оценка вектора юЕ, последняя находится по значениям уЕ с помощью простейших формул численного дифференцирования.

2. Коррекция. Уравнения ошибок. Источниками ошибок при решении задачи определения ориентации приборных трехгранников в рассматриваемой постановке являются неточность начальных условий, погрешности измерения или вычисления векторов а и Ь и не вошедшие в (1.1), (1.2) величины высших порядков малости. Вследствие влияния

a

n + 1, I

этих факторов вместо С выступает ортогональная матрица С*. В первом приближении

С* = С[E3 + Ф( j)], j е R .

(2.1)

В таком представлении матрица С* задает преобразование координат из базиса Е в "модельное" положение базиса I, а ф - вектор малого отклонения этого "модельного" положения от фактического базиса I (вектор угловой ошибки). Рассмотрим возможность коррекции параметров ориентации, вычисленных, как указано выше, с помощью той же векторной информации.

При использовании преобразования, заданного матрицей С*, векторы ап + 1 Е, Рп + Е аппроксимируются следующим образом:

^ ^ т Т

«Я+1, Е = Сп ап +1,1 ~ ап +1, Е + Ф( ап +1,Е)Сп ф(2 2)

РП+1, Е = С*Т Рп +1,1 = Рп +1, Е + Ф( Рп +1, Е) СТ%- .

Подставив эти значения вместо ап + Е и Рп + Е в (1.5), получим вместо уп + 1 Е вектор у*-*^Е. Из (1.1), (2.1), (2.2) следует

Yn+ 1, E - gn +1, E = [Ф ( апЕ)Ф( an +1, E)

+ Ф2( bnE)Ф( Рп +1, E )]СП j /.

(2.3)

Из (2.1)-(2.3) находим уравнение ошибок

^1, п +1 = (п +1, (п ) фт, (2.4)

+ 1,) = Ез + СпБ-п1 [Ф2( апЕ)Ф( ап + 1, Е) +

+ Ф2 ( Ьпе)Ф( Рп +1, Е )] С.

Вычислим элементы векторов а*+1; 1 =

= С*+1 а„ + 1, е, Ь*+1,1 = С*+1 Ь„ + 1, е. Из (2.1) имеем в первом приближении

ап +1,1 - an+1,1 = Ф( ап +1,1) jI, п +Ъ bn +1, I - b*+1, I = Ф( bn +1, I) jl, п +1.

(2.5)

Задача коррекции параметров ориентации сведена к оценке вектора ф7 как вектора состояния динамической системы с уравнением состояния (2.4) и уравнениями измерений (2.5). Собственно коррекция выполняется на основании формулы (2.1). Очевидно, система (2.4), (

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком