научная статья по теме СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА В МАТЕРИАЛЕ, СВОЙСТВА КОТОРОГО ЗАВИСЯТ ОТ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА В МАТЕРИАЛЕ, СВОЙСТВА КОТОРОГО ЗАВИСЯТ ОТ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

< 1, 2004

НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН И

КОНСТРУКЦИЙ

УДК 539.3

© 2004 г. Ерофеев В.И., Шарабанова A.B.

СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА В МАТЕРИАЛЕ, СВОЙСТВА КОТОРОГО ЗАВИСЯТ ОТ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Исследуется влияние разномодульности материала на эволюцию сдвиговой волны Римана. Показано, что характерное расстояние, на котором волна опрокидывается в разномодульной среде, отличается от характерного расстояния ее опрокидывания в идеально упругой среде.

Для многих конструкционных материалов характерно явление разномодульности, заключающееся в том, что константы упругости зависят от вида напряженного состояния и резко изменяются при переходе от растяжения к сжатию [1]. В экспериментах [2] было показано, что для стали модули упругости при растяжении меньше, чем при сжатии на 5%, в бронзе - на 10%, в чугуне - на 20%, в зернистом графите -на 20%. В бетоне степень разномодульности зависит от размеров образца, рода заполнителя, влажности и других факторов [3].

Известны различные математические модели разномодульных сред [1-5]. В модели, предложенной в [4], модули упругости среды зависят от напряженного состояния следующим образом: кэф = к - (y/£), Цэф = Ц - (y£/2), где Ц - константы Ламе;

£ = h/ *ß~2; I1 = £и, h = £ify - инварианты тензора деформаций; еу = (дщ/дху) + (duy/dxi) + + [(Эмп/Эх;)(Эмп/Эх/-)]; ui - компоненты вектора перемещений; i, j = 1, 2, 3 (принято суммирование по повторяющимся индексам); у - параметр разномодульности материала.

Уравнение динамики разномодульной среды выводятся из условия экстремума функционала действия

I

"2

J dt Щ 2 щ щ - 212 - ц12 + Y hJT^ dV 0. (1)

Рассмотрим распространение плоской сдвиговой волны и2 = и(х, 0 в материале, описываемом функционалом (1). Тензор деформаций еу полагаем конечным, т.е. будем учитывать геометрическую нелинейность, ограничиваясь членами до кубических включительно. После несложных преобразований получаем уравнение динамики

5?"41+а'ах)я-о- <2)

где а1 = (3/л/2 )(у/ц) - малый параметр, характеризующий нелинейность среды. 20

V

о

Пусть V = ди/дг, е = ди/дх, где V - скорость частиц среды, е - осевая деформация. Тогда

д V 2,л чде „ де д V п

----- ст( 1 + а, е) -г- = 0, т--—- = 0. (3)

д- т 1 дх д- дх

Будем считать, что переменная V - есть функция деформации е: V = ^е). Тогда систему (3) перепишем в виде

де Гд VY^ 2, де де дVде

э? = I^ (ае + с2)дх а? = зж (4)

2

где а = ст а:.

Приравнивая правые части уравнений (4) получим дифференциальное уравнение

2

для функции ^е): (дУ/де) = ст + ае, из которого следует дV ,, 2 1/2

д- = ±( Ст + ае) . (5)

Подстановка зависимости (5) во второе уравнение (4) дает следующее уравнение для е(х, -):

де . 2 1/2де „

э- -(С2 + ае) д-х = 0, (6)

которое называется уравнением простой волны или уравнением Римана [6].

Разложение подкоренного выражения в ряд Тейлора по степеням е = ди/дх < 1 и учет слагаемых, пропорциональных е0 и е1, приводит уравнение (6) к виду

| ±(Ст + ве):Тх = 0, (7)

где в = а/2ст.

В дальнейшем будем рассматривать только волну, бегущую в отрицательном направлении оси х. Пусть £ = х + Стг, т = -, тогда уравнение (7) примет вид

де1 де1

Э7- ве1 дТ = 0. (8)

Оно эквивалентно характеристической системе д£/дт = -ве1, де1/дт = 0, полный интеграл которой определяется выражением £ + ве1т = ^(е1), где у(е) - произвольная функция. Общее решение уравнения (8) есть

е, (£, т) = ^ (£ + ре, т), (9)

где ^ - обратная функция от у, которая определяется из начальных или граничных условий.

Выражение (9) называют простой волной или волной Римана [6]. Ее профиль по мере распространения искажается, поскольку разные участки бегут с разными скоростями. Остаются неподвижными лишь точки профиля волны, в которых е1(£, т) = 0.

Проследим более подробно нелинейную эволюцию волны, заданной в начальный момент времени в виде синусоиды е1(£, 0) = е0 8т(к£ + п). В этом случае

е, (£, т) = е^ш (к£ + - т", (10)

V е0 /

где т1 = ре0кт - безразмерное время.

Из уравнения (10) следует к£ + (е1/е0)т1 = агс8ш(е1/е0).

Параметры точки опрокидывания волны £*, т1^ и е1^ найдем из условий, что в ней

(э£/эе1)* = 0, (д2£/де, )* = 0.

Следовательно, опрокидывание волны происходит при е1^ = 0, в момент времени т1^ = 1 и в точке с пространственной координатой £* = 0. В исходных переменных х = = £ - с0-, - = т опрокидывание происходит при = 1/ре0к = 2/а1ксте0, х^2 = ст-* = 2/а1ке0.

Рассмотрим уравнение динамики идеально упругого материала. Распространение плоской сдвиговой волны в этом случае описывается уравнением, содержащим кубическую нелинейность[7]

д2и 2Л (дь\2)д2и „

ЭТ 41+а2С эхЛ эх--0- <ш

где а2 = (9/ц)[(Х/2) + ц].

По аналогии с уравнением (2) из (11) были получены параметры точки опрокиды-

22 вания сдвиговой волны -^3 = 2/а2кСд е0, х^з = [±(п/4к) - (1/2к)] - (2/а2ке0).

Для сравнения х^2 и х^3, и были использованы значения упругих постоянных для алюминиевого сплава Д16Т [8]: X = 6,99 ■ 10 Н/м , ц = 2,75 ■ 10 Н/м , в результате чего были получены соотношения

L -

1*2

5 • 10 3

т •

Y/Ц

t*3

л-3

(12)

Y / Ц

-2

Анализ соотношений (12) показывает, что если при у/ц < 10 материал ведет себя как классический и для сдвиговых волн в нем доминирует кубическая нелинейность, то уже при у/ц > 10-2 расстояние, на котором произойдет опрокидывание волны для среды с квадратичной нелинейностью, будет меньше, чем для среды с кубической нелинейностью (то же верно для времени). Следовательно, эффект нелинейности в разномодульной среде выражен сильнее, чем в неразномодульной.

Таким образом, если обычные конструкционные материалы проявляют слабую нелинейность в рабочем диапазоне напряжений, то разномодульные материалы (среды с сильной нелинейностью) уже при небольших деформациях. Они интересны в плане изучения нелинейных волн в упругих средах. С другой стороны, разномо-дульность материала чаще всего обусловлена его поврежденностью. Разномодуль-ность определяется рядом факторов и прежде всего наличием в материале микротрещин и локальных включений [9, 10]. Разработка акустических способов диагностики поврежденности материала является актуальной, поэтому изучение волновых процессов в материалах с поврежденностью - существенный этап решения задачи выделения из акустического сигнала информации о состоянии материала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Проект 03-02-16924).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М: Наука, 1982. 317 с.

2. Джонс P.M., Нельсон Д.А. Сопоставление теории с экспериментом для моделей материала при нелинейной деформации графита // Ракетная техника и космонавтика. 1976. Т.Н. < 10. С. 101-113.

3. Ляховский В.А., Мясников В.П. Разномодульность, анизотропия и отражающие границы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. < 11. С. 69-73.

4. Ломакин Е.В., Работное Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномо-дульного тела. // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. < 6. С. 29-34.

5. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. < 1. С. 73-78.

6. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998. 412 с.

7. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. 520 с.

8. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1999. 328 с.

9. Ляховский В.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. < 10. С. 71-75.

10. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П. и др. Применение разномодульной модели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2000. < 2. С. 86-92.

Нижний Новгород Поступила в редакцию 17.IX.2003

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком