Автоматика и телемеханика, Л- 8, 2007
РАС Б 02.30.Yy. 03.65.-w
© 2007 г. М.С. АНАНЬЕВСКИЙ (Санкт-Петербургский государственный университет, Институт проблем машиноведения РАН)
СЕЛЕКТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫМИ В АНСАМБЛЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМ1
Предложен новый подход к синтезу алгоритмов селективного управления наблюдаемыми кваптовомехаиических систем при дополнительных ограничениях в течение всего периода управления. Получены аналитические результаты достижения цели управления при некоторых дополнительных предположениях. Показано, что погрешность достижения цели управления пропорциональна погрешности задания начального состояния системы и погрешности реализации управляющего воздействия. Представлены численные результаты для задачи селективного управления энергией молекул водорода (Н2) с разными изотопами. Предложенные алгоритмы отличаются простотой построения.
1. Введение
Первая монография по управлению квантовомеханическими процессами была опубликована в СССР в 1984 г. [1] и являлась чисто теоретическим исследованием нескольких интересных задач. Практическая реализация экспериментов по управлению молекулярной динамикой стала возможной с появлением в конце 1980-х сверхбыстродействующих фемтосекуидпых лазеров, генерирующих импульсы длительностью порядка десятков, а в настоящее время и единиц фемтосекунд (1 фс = 10-15 с), а также способов компьютерного управления формой лазерных импульсов. Поставленные эксперименты подтвердили возможность использования лазеров для изменения естественного хода химических реакций, управления ими [2. 3]. Быстрое развитие этой области (см. рис. 1) привело к появлению целого ряда новых задач, многие из которых лежат на стыке физической химии и теории управления [4 6].
Одной из типичных задач этого класса является задача об управлении диссоциацией двухатомной молекулы. В [7 9] были получены результаты, свидетельствующие о низкой вероятности диссоциации двухатомных молекул даже при использовании интенсивных монохроматических лазерных импульсов. Этот эффект объясняется ангармоничностью молекулярного потенциала и нелинейностью взаимодействия с управляющим лазерным полем. В то же время известно, что если интенсивность лазера превосходит 1013Вт - см-2, то процесс ионизации будет доминировать над процессом диссоциации. В [10] было показано, что при использовании двухчастот-ного (бихроматического) воздействия интенсивность диссоциирующего поля может быть существенно снижена. Исследования по применению алгоритмов с чирпингом. т.е. равномерного изменения частоты, показали возможность дальнейшего снижения интенсивности поля, требуемой для диссоциации [11. 12]. В [13] на основе метода
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Нидерландского научного общества и Российского фонда фундаментальных исследований (совместный проект 047.011.2004.004), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 00869) и программы Президиума РАН '22.
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005
Рис. 1. Количество статей, опубликованных в рецензируемых журналах. посвященных вопросам управления в квантовых системах (по данным журнала Science Citation Index).
скоростного градиента был получен алгоритм, позволяющий рассчитывать форму диссоциирующего поля со сколь угодно малой амплитудой.
Размеры молекул химических веществ (мономеров) имеют порядок нанометров (1 нм = 10-9 м), что на много порядков меньше ширины лазерного поля, поэтому избирательное воздействие невозможно, и управляющему импульсу подвергается одновременно большое число молекулярных систем. В связи с этим возникает задача селективного управления, т.е. синтеза управляющего импульса, переводящего молекулы одного типа в заданное состояние и не изменяющего существенно молекулы другого типа. В [15] были получены необходимые условия для одновременной управляемости нескольких конечномерных квантовомеханических систем. Однако эти теоремы существования не дают никакой подсказки к построению алгоритма управления и но позволяют исследовать свойство управляемости при дополнительных ограничениях, накладываемых на управляющий импульс.
Настоящая работа развивает полученные в [13. 14] результаты по управлению наблюдаемыми на случай нескольких независимых квантовомеханических систем. Подход основан на методе скоростного градиента [16]. впервые применяемом ниже к задачам управления в комплексных пространствах с ограничениями. Сформулированы достаточные условия применимости предлагаемых алгоритмов. Показано, что достижение цели управления возможно при помощи сколь угодно малого по амплитуде управляющего импульса. Эффективность подхода продемонстрирована численным моделированном на примере задачи одновременного управления энергией нескольких двухатомных молекул водорода (H2), состоящих из разных изотопов. Также в работе получены оценки достижения цели управления при малых отклонениях в задании начального состояния системы и при погрешностях в реализации управляющего воздействия.
2. Постановка задачи
Как уже отмечалось во введении, лазерное управление не является избирательным. управляющий импульс получают все молекулы, находящиеся в области облучения. Поэтому ставится задача о синтезе управляющего поля, обладающего свойством селективного воздействия, т.е. возбуждающего молекулы одного типа и по возможности не изменяющего существенно динамику остальных.
'2 Автоматика и телемеханика, № 8
33
Рассматривается несколько независимых молекулярных систем, динамика которых описывается конечномерным управляемым уравнением Шродингора [15]:
(1) iHn = Нпфп + иБпфи, n = 1,... ,N, ф G Cv, ||ф|| = 1,
где i = 1; Й - постоянная Планка2; N - число рассматриваемых систем (различных типов молекул, находящихся в зоне облучения), u - вещественнозначная функция управления, напряженность электрической составляющей лазерного поля: управляющее воздействие одинаково для всех систем. Для n-й системы n = 1,..., N: Hn - самосопряженный оператор полной энергии невозмущенной системы; Sn - самосопряженный оператор дипольного момента молекулы; фп - фазовый вектор системы.
Ставится следующая задача управления для известных начальных данных. Требуется найти функцию u(t), обеспечивающую выполнение следующих условий:
(2) lim фП(^пфп(Ь) = gn, 1 < n < м, t—+ ^
(3) Vt > 0 : mn < Ф*пШпФп(Ь) < Mn, М +1 < n < N.
Здесь "*" означает транспонирование и комплексное со пряжение, для n = 1,..., N: Zn - самосопряженный оператор (наблюдаемая); gn - желаемое среднее значение наблюдаемой Zn; mn, Mn Zn
Z
соответствующий некоторой характеристике системы (например, энергии). В результате тех или иных измерений, как правило, удается получить только конкретное числовое значение наблюдаемой. Это случайная величина, а ф(t)*Zф(t) имеет смысл ее среднего значения в момент времени t.
Отметим, что выполнение ограничения (3) требуется в течение всего времени управления.
Типичным примером наблюдаемой для задачи управления является наблюдао-Zn = Hn n = 1 , . . . , N для n = 1,..., м желаемое среднее значение энергии молекулы n-ro типа -gn, а допустимые границы для энергий остальных - mn, Mn. Если выбрать gn ^ 0, а Mn ^ 0, то вероятность диссоциации молекул типа 1,..., м будет высокой, а м + 1,..., N -низкой.
3. Синтез алгоритма управления
Согласно [13] предлагается предварительно построить алгоритм управления по обратной связи и = и(ф\,... ), а затем с известными начальными данными произвести компьютерное моделирование динамики системы и рассчитать временной профиль функции управления:
(4) и = и(ф1,фк) = и(ф1(г),фк (г)) = и(г).
Отмстим, что для задания начальных данных распределения молекулярного ансамбля в состоянии равновесия (т.е. распределения Гиббса) достаточно знать значение температуры.
2 h = 5309см-фс.
Синтез алгоритма управления основывается на методе скоростного градиента в конечной форме [16] со специфичной целевой функцией Q:
м
(5) Q(фí,...,фN) = а>и\Ф*п2пФи - 9и \Рп +
п=1
N
+ ап\Ф*пгпФп - ти\-Рп ШпФп - Ми\-Рп .
п=м+1
Здесь ап > 0 рп,р'п > 1 - параметры алгоритма. Первая сумма - сумма степеней отклонений от целевого значения обычный прием при использовании метода скоростного градиента. Вторая сумма с отрицательными степенями отклонений от допустимых границ в методе скоростного градиента используется впервые и введена исключительно для обеспечения выполнения условий (3).
Согласно методу скоростного градиента алгоритм управления вычисляется по формуле
(6) м(Фь . . . , фN) = -ГУ^(фЬ ФN ).
Здесь Г > 0 - коэффициент усиления, Уи означает взятие градиента по и, а точка -производную по времени в силу систем (1). Такой выбор управления гарантирует невозрастание целевой функции вдоль траекторий системы, а так как на границе области, задаваемой ограничениями (3), функция Q(ф1,..., фN) = то эта граница никогда не пересекается. Поскольку стремление целевой функции к нулю эквивалентно выполнению цели управления (2), то при некоторых дополнительных условиях предложенный алгоритм может обеспечить выполнение поставленной цели.
Вычислим производную целевой функции (5) в силу систем (1)
м
(7) С^(ф1, ...,фN ) = ^ апРпА^пГ^Щп) -
п=1
N
- ап (рпД(шп)-рп-1Д(Мп)-рП + р'пА(шп)-рпА(Мп)-рП-1) Ь^п).
п=м+1
Здесь введены следующие обозначения:
(8) Д(дп) = ФпгпФп - 9п,
(9) Ь^п) = 1 ф*п(^п, Нп] + и^п, Яп])фп,
гп
где [А, В] = (АВ - В А) - коммутатор операторов.
Подставляя полученное выражение в (6), получаем искомый алгоритм управления по обратной связи
Г м
(10) u(фl,...,фN ) = - апРпД(дп)Рп-1ф*п ^п^п ]фп +
п=1
Г N
+ Г ^ ап(рпД(Шп)-Рп-1Д(Мп )-рП + р'пД(тп)-Рп Д(Мп)-рП-1) ф*п^п,Вп]фп-
п=м+1
2* 35
Замечание 1. Параметры алгоритма ап, ррп, р'п, Г могут быть использованы для численной оптимизации и выполнения возможных дополнительных ограничений. наложенных на функцию управления.
Замечание 2. Предложенный алгоритм (10) может использоваться и для управления бесконечномерными системами при условии существования всех необходимых производных и корректной постановки задачи.
4. Исследование алгоритма управления
Лемма 1. Задача Коши для сис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.