научная статья по теме СЕМЕЙСТВО СФЕРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ОСОБЫМИ ГРАВИТАЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ Астрономия

Текст научной статьи на тему «СЕМЕЙСТВО СФЕРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ОСОБЫМИ ГРАВИТАЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ»

семейство сферических моделей с особыми

гравитационными свойствами

© 2015 г. Б. П. Кондратьев*

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург

Поступила в редакцию 23.09.2014 г.

Разработан новый метод изучения структурных и гравитационных свойств сферических систем, основанный на анализе отношения потенциалов подсистем и оболочек. Впервые доказано, что гравитационный вириал Z(г) подсистемы без учета влияния внешней оболочки равен удвоенной работе по "распылению" вещества подсистемы на бесконечность. Построен класс сферических моделей, в которых: 1) отношение вклада в потенциал в точке г от сферической подсистемы ко вкладу от верхней оболочки не зависит от радиуса и равно постоянной 7; 2) для сферической подсистемы отношение гравитационной энергии Ш(г) к величине Z(г) не зависит от г; 3) модели описываются степенным законом плотности р = сг~к (2 < к < |) и потенциала у(г) = (к_42)(з-к)г2~к (2 < к < §). Найдены выражения гравитационной энергии Ш(г) и вириала Z(г) для подсистемы. Подробно рассмотрен предельный случай р(г) ж г-5/2, когда в любой пробной точке потенциал подсистемы в точности равен потенциалу от внешней оболочки, а величина Z(г) эквивалентна ее гравитационной энергии Ш(г). Результаты дополняют классическую теорию потенциала. Обсуждается вопрос о применении моделей к сверхплотному звездному скоплению в центре Млечного Пути.

Ключевые слова: ньютоновские потенциалы подсистем и оболочек, вириал и гравитационная энергия, галактики, звездные скопления.

DOI: 10.7868/Б032001081504004Х

ВВЕДЕНИЕ. О ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ПОДСИСТЕМЫ

Сферическим гравитирующим моделям посвящено много работ. Потенциалы шаров подробно рассматривались, например, в книгах Дубошина (1961) и Чандрасекхара (1972), среди работ астрофизического направления отметим также Осип-кова (1978) и Бисноватого-Когана (2010). Обычно считается, что для динамических приложений моделей достаточно знать лишь их внутренний потенциал. Однако такой подход не позволяет рассмотреть в моделях некоторые весьма важные гравитационные свойства сферических подсистем.

В данной работе акцент делается на детальном изучении гравитационных свойств моделей. Поскольку потенциал р(х) есть аддитивная по массе величина, мы представляем его состоящим из суммы вкладов от подсистемы ^зиь(х) и от внешней оболочки р3н(х). Анализ отношения этих вкладов позволяет выделить семейство сферических моделей с особыми гравитационными свойствами.

Рассмотрим сферическую систему гравитирую-щих материальных точек с законом плотности р(г), в которой промежуточный радиус г удовлетворяет неравенствам

0 ^ Е1 ^ г ^ К2 < ж. (1)

Хорошо известно, что полный потенциал ^(г) в точке г, (см. Дубошин, 1961), равен

г

(р(г) = —— J г 2р (У) йг' +

(2)

0 я

+ ! г'р (г') йг'.

Потенциал (2) состоит из суммы двух членов

Ч>(г)= ф1(г)+<Р2(г), (3)

где в правой части величина

Электронный адрес: work@boris-kondratyev.ru

г

(рг(г) = 4-7ГС- J г2р(г)йг

(4)

г

0

есть потенциал сферической подсистемы, а второй член

В-2

ф2(т) = 4пС J гр (т)йт (5)

г

есть потенциал от внешней (для данной пробной точки т) оболочки.

Рассмотрим в модели сферическую подсистему с произвольным радиусом т, которую характеризуют (см. Кондратьев, 1989, 2003, 2007) величина вириала 2(т) и гравитационная энергия Ш(т):

г (г) = 47Г J Г3

(6)

Яг

С помощью уравнения Пуассона

р(т) = -

1 1 (1 4пС т2 йт

йт

интегрируя по частям, приводим (7) к виду

г

йю

<Р + 2г~Г

ат

Яг

аФ а

^ йг йг i г йг

ю + 2т

ат

Уравнение (10) можно использовать в теоретической астрономии двояким способом.

Первый способ: прямой расчет функции Ф(т) из (7) по заданному в галактике закону плотности р(т) или потенциала ю(т). Примеры приводятся ниже.

Второй способ: уравнение (10) можно использовать как дифференциальное уравнение для ю(т), если функция Ф(т) задана из дополнительных физических соображений. Рассмотрим комбинацию

Ф + 2г^г, входящую в (10). Можно показать, что для нее имеет важное место соотношение

дю

<р + 2г— = <р2{г) ~ <¿>1 (г), что позволяет формулу (9) переписать в виде

(11)

г

Ш(т) = т2р(т)ю(т)дт.

Яг

Следует отметить, что величина 2(т) естественным образом появляется при нахождении первого момента от уравнений гидродинамики и поэтому имеет важное динамическое значение.

По физическому смыслу, гравитационная энергия Ш(т) подсистемы есть работа, которую надо совершить против сил тяготения, созданных всей системой (подсистема + оболочка). Здесь мы рассматриваем случай, когда сферическая подсистема не изолирована и имеет внешнюю оболочку, которая дает вклад в потенциал на любую точку подсистемы. Физический смысл величины 2(т) в этом общем случае ранее не изучался.

Рассмотрим этот вопрос. Составим для подсистемы разность величин 2(т) и гравитационной энергии:

Ф(т) = 2(т) - Ш(т) = (7)

г

= 4-л" У г2р(г) ^г-^ + ^у(г)^ Аг.

Яг

Яг

х [^2(т) - юг(т)] йт = 0.

Таким образом, в (12) в явном виде появилась разность потенциалов подсистемы и оболочки. Из (11) также следует, что

ГТг =

(13)

и поэтому величину 2(т)можно записать в виде

г

2 {г) = 4тг У г3Р(Г)^(1Г = (14)

Яг

г

= —4пJ т2р(т)ю! (т)йт.

Яг

(8)

йт = 0. (9)

Дифференцируя (9) по т, получим уравнение (Кондратьев, 1989)

Сравнивая теперь (14) с гравитационной энергией подсистемы из (6)

г

Ш(т) = т2р(т)ю(т)йт,

Яг

приходим к важному заключению: величина вириала 2(т) есть удвоенная работа по "распылению" вещества подсистемы на бесконечность без учета гравитационного влияния на подсистему от внешней оболочки.

Основываясь на этом свойстве величины 2(т), можно поставить задачу о предрасположенности той или другой модели звездной системы к перемешиванию вещества между сферической подсистемой и внешней оболочкой. С этой целью введем разность величин

0. (10)

ф(г) = - ш{г) =

(15)

г

г

т

семейство сферических моделей

105

= 2п J г2р(г)^2(г)йг.

Я1

Данный метод позволит ниже выделить специальный класс моделей, где взаимосвязь между величинами Z(г) и Ш(г) является замечательно простой.

НОВОЕ СЕМЕЙСТВО СФЕРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Суть нашего подхода заключается в требовании, чтобы вклады в потенциал пробной точки от подсистемы (4) и от оболочки (5) были связаны соотношением

r

1 ('2

fr2p(r)dr

Y

о

R

f rpdr

r

= const,

p = cr

к =

2 + 3y

2 < к < 3.

M (r) = 4nc

„3—к

3 — к'

отношение средней плотности в шаре к плотности на его границе от г не зависит (гомологический закон плотности):

P(r) _ _3_

p{r)

V(r) =

4nGc

„2-к

(к - 2) (3 - к)'

Дисперсия скоростей звезд, согласно уравнению гидростатического равновесия

dp

a

GM(r)

dr

p(r),

оказывается пропорциональной потенциалу р(г):

к-2

a2 =

и равна

2(к - 1)

2nGc

<f(r)

a

(22)

(23)

(3 — к) (к — 1)

Индекс политропы для таких моделей есть сложная функция координат

1п р

n(r) =

ln a2

(24)

Заметим, что в предельном случае 7 = 0 (к = 2) в семействе моделей (17) масса и потенциал описываются формулами

(16)

к = 2 р = —, M(r) = iircr,

eR

ср(г) = 47ГСС1П —.

г

(25)

где неотрицательный коэффициент 7 не зависит от г. Пределы для 7 уточним ниже.

Покажем, что такие модели обладают рядом весьма интересных свойств. Прежде всего, дифференцируя (16), в итоге находим, что плотность внутри моделей описывается степенным законом

Это — известный изотермический шар (Чандра-секхар, 1939).

Чтобы выявить в семействе (17) другой предельный случай, подставим в (6) профили плотности (17) и потенциала (20). Тогда для гравитационной энергии и величины Z(г) получим

(17)

W(r) = -8it2Gc2

1+1 '

Отметим, что при 7 ^ 0(к = 2) вклад в потенциал пробной точки от оболочки намного превышает вклад от подсистемы; наоборот, при 7 = 3)

преобладает вклад в потенциал уже от сферической подсистемы.

При законе плотности (17) масса подсистемы равна

г

5—2к

(к - 2) (5 - 2к)'

5 2к

Z = —16n2Gc2

г

5 — 2к

(26) (27)

(18)

Но так как по физическому смыслу величины Ш(г) и Z(г) должны быть отрицательными, то следует потребовать 5 — 2к ^ 0. Таким образом, в моделях данного класса существует верхний предел для

показателя 7, а значит, и для показателя к:

5

(28)

Из (26) и (27) следует, что для подсистемы с

является неизменным по

любым г отношение

Z(r) W(r)

(19) всему шару. Удобно ввести отношение

полный потенциал в точке г для 2 < к < 3 будет равен

Z(r) 2W (r)

= к 2=

Y

1+ Y

(29)

(20)

которое удовлетворяет неравенствам

°<Л>4 <»>

Кроме того, для данного класса моделей функция (7) и родственная ей функция Ф(г) равны

(21)

Ф(г) = Z(r) - W(r) =

(31)

r

r

п

2

r

= —87T2GC2----г5~2к,

(к - 2) (5 - 2к)

Ф(г) = -Z(r) - W(r) =

= 8tt2GC2

3 — к

„5-2к

(к - 2) (5 - 2 к)

(32)

Предельный случай к = f рассмотрим подробней.

Тассуль (1982), а также закон распределения тем ной материи Наварро и др. (1996):

4ps

p(r) =

x (1 + x)2

/л 1Й п 2 2 ln(1+ X)

<p(r) = !6irGpsrs

x

M(r) = 16npsr3s[ ln (1 + x) -

1+x

(39)

ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ к = §

Прежде всего, потребуем

Ф = 0. (33)

Тогда, согласно (7), возможны два случая:

r2^ = const, ip + 2r^=0. (34) dr dr

В первом из них, согласно уравнению Пуассона (8), должно быть p(r) = 0, что означает просто отсутствие оболочки. Этот случай изолированного тела был ранее известен в теории.

Однако, согласно (34), у нас есть еще второй случай

d<^>

LP+ 2 г

dr

0,

(35)

который рассматривался в монографиях Кондратьев (1989,2003, 2007). Уравнению (35) удовлетворяют решения

ip(r) ж r 1/2, p(r) ж r 5/2,

(36)

где для нахождения р(т) вновь использовалось уравнение Пуассона (8).

Вводя нормировку, запишем (36) в виде

p(x) = psx 5/2,

¥(x)

= ax-1/2,

(37)

x

(a = 16nGps r2s)

Здесь rs — характерный масштаб длины в модели, имеющей неограниченные размеры и массу, а ps = = р (rs). Масса шара радиусом r в соответствии с общей формулой (18) равна

М(х) = 8ттр3г3л/х. (38)

Согласно (38), масса в рассматриваемой модели возрастает с r (на достаточно больших расстояниях от центра) медленнее, чем в изотермическом газовом шаре (M(r) ж r). Отметим, что

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком