семейство сферических моделей с особыми
гравитационными свойствами
© 2015 г. Б. П. Кондратьев*
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 23.09.2014 г.
Разработан новый метод изучения структурных и гравитационных свойств сферических систем, основанный на анализе отношения потенциалов подсистем и оболочек. Впервые доказано, что гравитационный вириал Z(г) подсистемы без учета влияния внешней оболочки равен удвоенной работе по "распылению" вещества подсистемы на бесконечность. Построен класс сферических моделей, в которых: 1) отношение вклада в потенциал в точке г от сферической подсистемы ко вкладу от верхней оболочки не зависит от радиуса и равно постоянной 7; 2) для сферической подсистемы отношение гравитационной энергии Ш(г) к величине Z(г) не зависит от г; 3) модели описываются степенным законом плотности р = сг~к (2 < к < |) и потенциала у(г) = (к_42)(з-к)г2~к (2 < к < §). Найдены выражения гравитационной энергии Ш(г) и вириала Z(г) для подсистемы. Подробно рассмотрен предельный случай р(г) ж г-5/2, когда в любой пробной точке потенциал подсистемы в точности равен потенциалу от внешней оболочки, а величина Z(г) эквивалентна ее гравитационной энергии Ш(г). Результаты дополняют классическую теорию потенциала. Обсуждается вопрос о применении моделей к сверхплотному звездному скоплению в центре Млечного Пути.
Ключевые слова: ньютоновские потенциалы подсистем и оболочек, вириал и гравитационная энергия, галактики, звездные скопления.
DOI: 10.7868/Б032001081504004Х
ВВЕДЕНИЕ. О ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ПОДСИСТЕМЫ
Сферическим гравитирующим моделям посвящено много работ. Потенциалы шаров подробно рассматривались, например, в книгах Дубошина (1961) и Чандрасекхара (1972), среди работ астрофизического направления отметим также Осип-кова (1978) и Бисноватого-Когана (2010). Обычно считается, что для динамических приложений моделей достаточно знать лишь их внутренний потенциал. Однако такой подход не позволяет рассмотреть в моделях некоторые весьма важные гравитационные свойства сферических подсистем.
В данной работе акцент делается на детальном изучении гравитационных свойств моделей. Поскольку потенциал р(х) есть аддитивная по массе величина, мы представляем его состоящим из суммы вкладов от подсистемы ^зиь(х) и от внешней оболочки р3н(х). Анализ отношения этих вкладов позволяет выделить семейство сферических моделей с особыми гравитационными свойствами.
Рассмотрим сферическую систему гравитирую-щих материальных точек с законом плотности р(г), в которой промежуточный радиус г удовлетворяет неравенствам
0 ^ Е1 ^ г ^ К2 < ж. (1)
Хорошо известно, что полный потенциал ^(г) в точке г, (см. Дубошин, 1961), равен
г
(р(г) = —— J г 2р (У) йг' +
(2)
0 я
+ ! г'р (г') йг'.
Потенциал (2) состоит из суммы двух членов
Ч>(г)= ф1(г)+<Р2(г), (3)
где в правой части величина
Электронный адрес: work@boris-kondratyev.ru
г
(рг(г) = 4-7ГС- J г2р(г)йг
(4)
г
0
есть потенциал сферической подсистемы, а второй член
В-2
ф2(т) = 4пС J гр (т)йт (5)
г
есть потенциал от внешней (для данной пробной точки т) оболочки.
Рассмотрим в модели сферическую подсистему с произвольным радиусом т, которую характеризуют (см. Кондратьев, 1989, 2003, 2007) величина вириала 2(т) и гравитационная энергия Ш(т):
г (г) = 47Г J Г3
(6)
Яг
С помощью уравнения Пуассона
р(т) = -
1 1 (1 4пС т2 йт
йт
интегрируя по частям, приводим (7) к виду
г
йю
<Р + 2г~Г
ат
Яг
аФ а
^ йг йг i г йг
ю + 2т
ат
Уравнение (10) можно использовать в теоретической астрономии двояким способом.
Первый способ: прямой расчет функции Ф(т) из (7) по заданному в галактике закону плотности р(т) или потенциала ю(т). Примеры приводятся ниже.
Второй способ: уравнение (10) можно использовать как дифференциальное уравнение для ю(т), если функция Ф(т) задана из дополнительных физических соображений. Рассмотрим комбинацию
Ф + 2г^г, входящую в (10). Можно показать, что для нее имеет важное место соотношение
дю
<р + 2г— = <р2{г) ~ <¿>1 (г), что позволяет формулу (9) переписать в виде
(11)
г
Ш(т) = т2р(т)ю(т)дт.
Яг
Следует отметить, что величина 2(т) естественным образом появляется при нахождении первого момента от уравнений гидродинамики и поэтому имеет важное динамическое значение.
По физическому смыслу, гравитационная энергия Ш(т) подсистемы есть работа, которую надо совершить против сил тяготения, созданных всей системой (подсистема + оболочка). Здесь мы рассматриваем случай, когда сферическая подсистема не изолирована и имеет внешнюю оболочку, которая дает вклад в потенциал на любую точку подсистемы. Физический смысл величины 2(т) в этом общем случае ранее не изучался.
Рассмотрим этот вопрос. Составим для подсистемы разность величин 2(т) и гравитационной энергии:
Ф(т) = 2(т) - Ш(т) = (7)
г
= 4-л" У г2р(г) ^г-^ + ^у(г)^ Аг.
Яг
Яг
х [^2(т) - юг(т)] йт = 0.
Таким образом, в (12) в явном виде появилась разность потенциалов подсистемы и оболочки. Из (11) также следует, что
ГТг =
(13)
и поэтому величину 2(т)можно записать в виде
г
2 {г) = 4тг У г3Р(Г)^(1Г = (14)
Яг
г
= —4пJ т2р(т)ю! (т)йт.
Яг
(8)
йт = 0. (9)
Дифференцируя (9) по т, получим уравнение (Кондратьев, 1989)
Сравнивая теперь (14) с гравитационной энергией подсистемы из (6)
г
Ш(т) = т2р(т)ю(т)йт,
Яг
приходим к важному заключению: величина вириала 2(т) есть удвоенная работа по "распылению" вещества подсистемы на бесконечность без учета гравитационного влияния на подсистему от внешней оболочки.
Основываясь на этом свойстве величины 2(т), можно поставить задачу о предрасположенности той или другой модели звездной системы к перемешиванию вещества между сферической подсистемой и внешней оболочкой. С этой целью введем разность величин
0. (10)
ф(г) = - ш{г) =
(15)
г
г
т
семейство сферических моделей
105
= 2п J г2р(г)^2(г)йг.
Я1
Данный метод позволит ниже выделить специальный класс моделей, где взаимосвязь между величинами Z(г) и Ш(г) является замечательно простой.
НОВОЕ СЕМЕЙСТВО СФЕРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Суть нашего подхода заключается в требовании, чтобы вклады в потенциал пробной точки от подсистемы (4) и от оболочки (5) были связаны соотношением
r
1 ('2
fr2p(r)dr
Y
о
R
f rpdr
r
= const,
p = cr
к =
2 + 3y
2 < к < 3.
M (r) = 4nc
„3—к
3 — к'
отношение средней плотности в шаре к плотности на его границе от г не зависит (гомологический закон плотности):
P(r) _ _3_
p{r)
3к
V(r) =
4nGc
„2-к
(к - 2) (3 - к)'
Дисперсия скоростей звезд, согласно уравнению гидростатического равновесия
dp
a
GM(r)
dr
p(r),
оказывается пропорциональной потенциалу р(г):
к-2
a2 =
и равна
2(к - 1)
2nGc
<f(r)
a
2к
(22)
(23)
(3 — к) (к — 1)
Индекс политропы для таких моделей есть сложная функция координат
1п р
n(r) =
ln a2
(24)
Заметим, что в предельном случае 7 = 0 (к = 2) в семействе моделей (17) масса и потенциал описываются формулами
(16)
к = 2 р = —, M(r) = iircr,
eR
ср(г) = 47ГСС1П —.
г
(25)
где неотрицательный коэффициент 7 не зависит от г. Пределы для 7 уточним ниже.
Покажем, что такие модели обладают рядом весьма интересных свойств. Прежде всего, дифференцируя (16), в итоге находим, что плотность внутри моделей описывается степенным законом
Это — известный изотермический шар (Чандра-секхар, 1939).
Чтобы выявить в семействе (17) другой предельный случай, подставим в (6) профили плотности (17) и потенциала (20). Тогда для гравитационной энергии и величины Z(г) получим
(17)
W(r) = -8it2Gc2
1+1 '
Отметим, что при 7 ^ 0(к = 2) вклад в потенциал пробной точки от оболочки намного превышает вклад от подсистемы; наоборот, при 7 = 3)
преобладает вклад в потенциал уже от сферической подсистемы.
При законе плотности (17) масса подсистемы равна
г
5—2к
(к - 2) (5 - 2к)'
5 2к
Z = —16n2Gc2
г
5 — 2к
(26) (27)
(18)
Но так как по физическому смыслу величины Ш(г) и Z(г) должны быть отрицательными, то следует потребовать 5 — 2к ^ 0. Таким образом, в моделях данного класса существует верхний предел для
показателя 7, а значит, и для показателя к:
5
(28)
Из (26) и (27) следует, что для подсистемы с
является неизменным по
любым г отношение
Z(r) W(r)
(19) всему шару. Удобно ввести отношение
полный потенциал в точке г для 2 < к < 3 будет равен
Z(r) 2W (r)
= к 2=
Y
1+ Y
(29)
(20)
которое удовлетворяет неравенствам
°<Л>4 <»>
Кроме того, для данного класса моделей функция (7) и родственная ей функция Ф(г) равны
(21)
Ф(г) = Z(r) - W(r) =
(31)
r
r
п
2
r
= —87T2GC2----г5~2к,
(к - 2) (5 - 2к)
Ф(г) = -Z(r) - W(r) =
= 8tt2GC2
3 — к
„5-2к
(к - 2) (5 - 2 к)
(32)
Предельный случай к = f рассмотрим подробней.
Тассуль (1982), а также закон распределения тем ной материи Наварро и др. (1996):
4ps
p(r) =
x (1 + x)2
/л 1Й п 2 2 ln(1+ X)
<p(r) = !6irGpsrs
x
M(r) = 16npsr3s[ ln (1 + x) -
1+x
(39)
ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ к = §
Прежде всего, потребуем
Ф = 0. (33)
Тогда, согласно (7), возможны два случая:
r2^ = const, ip + 2r^=0. (34) dr dr
В первом из них, согласно уравнению Пуассона (8), должно быть p(r) = 0, что означает просто отсутствие оболочки. Этот случай изолированного тела был ранее известен в теории.
Однако, согласно (34), у нас есть еще второй случай
d<^>
LP+ 2 г
dr
0,
(35)
который рассматривался в монографиях Кондратьев (1989,2003, 2007). Уравнению (35) удовлетворяют решения
ip(r) ж r 1/2, p(r) ж r 5/2,
(36)
где для нахождения р(т) вновь использовалось уравнение Пуассона (8).
Вводя нормировку, запишем (36) в виде
p(x) = psx 5/2,
¥(x)
= ax-1/2,
(37)
x
(a = 16nGps r2s)
Здесь rs — характерный масштаб длины в модели, имеющей неограниченные размеры и массу, а ps = = р (rs). Масса шара радиусом r в соответствии с общей формулой (18) равна
М(х) = 8ттр3г3л/х. (38)
Согласно (38), масса в рассматриваемой модели возрастает с r (на достаточно больших расстояниях от центра) медленнее, чем в изотермическом газовом шаре (M(r) ж r). Отметим, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.