МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.59:551.466
© 2014 г. В. И. БУКРЕЕВ, И. В. СТУРОВА, А. В. ЧЕБОТНИКОВ
СЕЙШЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В БАССЕЙНЕ, ЗАПОЛНЕННОМ ДВУХСЛОЙНОЙ
ЖИДКОСТЬЮ
Теоретически и экспериментально исследованы поверхностные и внутренние сейши в прямоугольном наклонным бассейне, заполненном двухслойной жидкостью. В рамках линейной теории мелкой воды выполнены расчеты в одномерной постановке в предположении длинного и узкого водоема. Для водоема с постоянными значениями площади поперечного сечения в каждом из слоев и ширины этого сечения на уровне свободной поверхности и границы раздела получено аналитическое решение задачи. Показано, что одномерная модель удовлетворительно описывает собственные частоты колебаний и положение узлов поверхностных и внутренних сейш.
Ключевые слова: сейши, приближение длинных волн, двухслойная жидкость, лабораторный эксперимент.
Сейши представляют собой стоячие волны в замкнутом или полузамкнутом водоеме. Сейши в природе порождаются ветровым нагоном, изменением атмосферного давления, сейсмической активностью, оползнями и другими возмущениями. Характерной особенностью этих возмущений является то, что они действуют относительно короткое время и порождают сначала бегущие волны, как правило, в виде движущихся гидравлических прыжков. В результате картина волн в замкнутом водоеме долгое время представляет собой результат наложения сейши и бегущих волн. Указанная особенность возмущений типична и для лабораторного эксперимента.
К настоящему времени большой объем натурных, лабораторных и теоретических исследований выполнен в предположении, что плотность жидкости постоянна. Такие сейши называются баротропными (поверхностными), так как максимальные возвышения частиц жидкости для них имеют место на свободной поверхности. Сравнение теоретических результатов с данными лабораторного эксперимента для баротропных сейш в канале с резким изменением рельефа дна представлено в [1]. В стратифицированном по плотности водоеме наряду с баротропными сейшами существуют также и бароклинные (внутренние) сейши, в которых максимальные отклонения жидкости от невозмущенного состояния возникают внутри жидкости. Внутренние сейши оказывают значительное влияние на перенос и перемешивание в водной среде озер и морей, что влечет за собой перераспределение химических и биологических веществ. Обзор работ по изучению внутренних сейш можно найти в [2, 3]. Цель данной работы состоит в экспериментальной проверке метода расчета баротропных и бароклинных сейше-вых колебаний в одномерной постановке на примере волн в прямоугольном канале с наклонным дном.
1. Теория. При теоретическом анализе и численных расчетах сейш, как правило, используется линейная теория длинных волн. Жидкость предполагается невязкой и несжимаемой. Наиболее простой моделью плотностной стратификации является двухслойная жидкость, в которой верхний слой жидкости имеет плотность р1, а нижний
слой — плотность р2 > Р1. В случае длинного и узкого водоема можно использовать одномерную модель в следующем виде [4]
dZi = дСа Bjfx)__дС± =__d[u2S2(x)] (11)
dt dt B1(x) B1(x) dx ' dt B2(x) dx '
дu1 dZ1 du2 dZ1 dZ2 ,, ,4
—1 = -Я——, —2 =-gY—— - g— (1.2)
д t dx д t dx dx
Здесь за ось x с началом на одном из концов водоема принимается его средняя линия; Uj (x, t)(j = 1,2) — осредненные по глубине каждого слоя горизонтальные скорости
течения в верхнем (j = 1) и нижнем (j = 2) слоях; Z1(x, t), Z2(x, t) — смещения свободной поверхности жидкости и границы раздела слоев от горизонтальных положений соответственно; у = р1 /р2 < 1 и s = 1 - y > 0 — безразмерные параметры, характеризующие плотностную стратификацию жидкости; S-(x) — площади поперечного сечения водоема, перпендикулярного к его средней линии, в каждом из слоев; B1(x) и B2(x) — ширины поперечного сечения на уровне свободной поверхности и границы раздела, соответственно; t — время.
На границах бассейна x = 0, L (L — длина средней линии) задаются условия непротекания жидкости
uj (0, t) = uj (L, t) = 0 (j = 1,2)
В результате интегрирования уравнений (1.1) и введения новых переменных uj = дЕj/dt система уравнений (1.1), (1.2) принимает вид
Tl1 = -g^> = - (1.3)
dt2 dx dt2 dx dx
x x
J[Z2B2(x) - ZB1(x)]dx, $2 = jZlB2(x)dx (1.4)
S1(x)J0 S2 (x) 0
Рассмотрим гармонические по времени колебания двухслойной жидкости в виде (x, t) = ^j(x) cos rat, Z j(x, t) = Zy(x) cos rat (j = 1,2) (1.5)
где ю — подлежащая определению частота свободных колебаний жидкости в бассейне. Подстановка (1.5) в систему уравнений (1.3), (1.4) приводит к одномерной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений
^ = ^I1, Yf1 + « dJx ?2 (1.6)
dx g dx dx g
x x
^ = J[Z2B2 - № l2 = -^ ¡Z2B2dx (1.7)
1( )0 2( )0
^1(0) = 12(0) = h(L) = l2(L) = 0 (1.8)
Решение этой задачи может быть получено численно конечно-разностным методом аналогично [4].
В случае, когда значения Bj, Sj (j = 1,2) постоянны вдоль средней линии бассейна, решение задачи (1.6)—(1.8) удается найти аналитически аналогично тому, как это сделано в [3] для двумерного прямоугольного бассейна. Существуют две бесконечные по-
Ч1 Х7
\ Р1 Й1 59 4Ф
Р2 1 /р К
5Х Ь/2 ^Г А ±6 —
Фиг. 1. Схема экспериментальной установки: 1-щее устройство, 6 — опора
4 — волномеры, 5 — поворачиваю-
следовательности частот собственных колебаний жидкости Ю( для баротропных и бароклинных сейш
(1) (2)
п и ь\ соответственно
(1) _ пп 2§
л I 5
Ь ^
®П2) = ^ & (п = 12,...)
где
ВВ
1^2
д2 = оо =В1+В2(1z = ■
$1 £ $2 $1
Частоты ю®, соответствующие баротропным сейшам, слабо зависят от плотност-
ной стратификации, тогда как частоты бароклинных сейш ю® существенно зависят от относительного перепада плотности между слоями. В случае однородной жидкости Р1 = Р2 (£ = 0, у = 1) бароклинные сейши отсутствуют, а для баротропных сейш значение в пределе при е ^ 0 равно Д = 2В\/8, где $ = $ + $2. Частоты баротропных
сейш в этом случае равны ю® = ппт[^&7~в1 /Ь.
2. Методика эксперимента. Схема экспериментальной установки приведена на фиг. 1. Прямоугольный бассейн из оргстекла длиной Ь = 1.98 м и шириной В = 0. 06 м мог поворачиваться в вертикальной плоскости относительно опоры 6. Поворот осуществлялся с помощью устройства 5. Далее используется неподвижная прямоугольная система координат (х, z), показанная на фиг. 1. Заполнение бассейна осуществлялось при горизонтальном положении его дна. Сначала создавался слой водопроводной воды с плотностью толщиной Затем на дно бассейна медленно выпускался раствор глицерина в воде с плотностью р2, и создавался более тяжелый слой толщиной Н2. Вязкость использовавшихся слабых растворов глицерина отличалась от вязкости чистой воды не более, чем на 2%.
После заливки бассейна между верхней и нижней жидкостями формировался переходный слой толщиной 5 « 1 мм. В [5] предложена следующая формула для дисперсионного соотношения ю(к), которое определяет, в частности, частоты внутренних сей-шевых колебаний в прямоугольном горизонтальном канале без учета влияния вязкости и поверхностной сейши
щ(к);
^к
I к8 + сШ^) + сШ(кй2)
z
где k — волновое число. Оценки по этой формуле показали, что в данных опытах влиянием параметра 8 можно пренебречь.
Волновое движение генерировалось точно так же, как в опытах [2, 6, 7]: бассейн переводился из горизонтального положения в наклонное положение или, наоборот, из наклонного положения в горизонтальное. В [6] таким образом получены картины сдвиговой неустойчивости внутренних волн. Только внутренние волны, преимущественно в виде движущихся гидравлических прыжков, были главным объектом внимания в работах [2, 7].
Важными параметрами, влияющими, в частности, на форму волн и их интенсивность, являются угол наклона Р и время перевода т бассейна из одного положения в другое. При указанном способе генерации сначала образуются бегущие волны в виде движущегося гидравлического прыжка, причем их передний фронт может обрушиваться. Сейшевые колебания начинаются после отражения прыжка от торцевых стенок бассейна. В результате колебания свободной поверхности и границы раздела представляют собой суперпозицию сейш и бегущих волн. Со временем относительный вклад сейш увеличивается. В настоящих опытах параметры Р и т задавались таким образом, чтобы волны были все время гладкими, и сейши как можно быстрее начинали преобладать над бегущими волнами. Следует отметить, что собственные частоты сейшевых колебаний выделяются и в бегущих волнах в виде движущегося гидравлического прыжка [8].
С помощью волномеров 1—4 (фиг. 1) измерялись отклонения уровня свободной поверхности и границы раздела между слоями от положения равновесия Zi(t) (i = 1,2,3,4). Принцип работы волномеров основан на различии электропроводностей жидкостей в верхнем и нижнем слое. Раствор глицерина имеет почти такую же электропроводность, как чистая вода. Для увеличения электропроводности раствора в нем растворялась соль NaCl в количестве 0.5—0.7 г/л. Поскольку малые вариации количества этой соли существенно влияли на калибровочные характеристики волномеров, их калибровка осуществлялась непосредственно на экспериментальной установке перед началом и в конце каждого опыта. При калибровке волномеры опускались или поднимались с заданным шагом Az. Сигналы волномеров при калибровке и измерениях регистрировались компьютером. Удвоенная среднеквадратичная погрешность измерений Zi(t) не превышала 0.2 мм.
Волномеры регистрировали суммарные колебания, обусловленные различными собственными модами. Чтобы выделить частоты отдельных мод, выполнялся спектральный анализ функций Zi(t) с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. Соответствующий анализ выполнялся с помощью программного обеспечения
Origin. При анализе спектров необходимо задать верхнюю границу t'max соответствующего временного интервала. Изучаемые функции были затухающими, и в качестве
tmax принималось такое значение t, при превышении которого все значения Zi(t) меньше 0.2 мм. Увеличение выбранного tmax на 20% несущественно влияло на результаты анализа.
Выполнены две серии опытов: с переводом бассейна из горизонтал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.