ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 10, с. 39-45
УДК 548.73
СГЛАЖИВАНИЕ КРИВОИ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ МЕТОДА СБЛИЖЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ
© 2004 г. С. Б. Астафьев1, Б. М. Щедрин1' 2, Л. Г. Янусова1
1 Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова РАН, Москва, Россия 2 Факультет ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 26.11.2003 г.
В работе предложен метод, улучшающий процесс сближения кривых с резкими перепадами высот, что имеет место для рефлектометрических данных. На модельных расчетах показана возможность выбора диапазона сглаживания, оптимального для каждой конкретной кривой, позволяющего доводить до конца процесс сближения кривых, получая разумные значения параметров математической модели пленки.
ВВЕДЕНИЕ
Задача восстановления модели поперечного профиля электронной плотности р(г) тонких слоистых пленок по рефлектометрическим данным не может быть решена без использования дополнительной информации и гипотез о ее строении. Это связано в первую очередь с тем, что получаемые из эксперимента данные интенсивности рассеяния от пленки не несут информацию непосредственно о р(г):
п
Р(г) = £рг[/(-(г - г;)/о{) -
г = 1
- /(-(г - г{-1)/о1 -1)] + рп + 1,
г
/(г) = -1 [ ехр(-г2/2)йг,
где й - ширина г'-го слоя, йг = г; + 1 - г, го = 0, п - число слоев, аг - шероховатость, имитирующая нарушения плотности на границе г'-го слоя. Данные эксперимента дают представление лишь о модулях коэффициентов разложения в ряд Фурье по параметрам, определяющим электронную плотность слоев пленки, т.е. о величине автокорреляционной функции Q(u), рассчитываемой непосредственно по интенсивности рассеяния [1] и пропорциональной квадрату р(г):
Q (u) = Jp( г )р( г + u) dz.
могут быть получены из кривой интенсивности, но общее число слоев п, толщины слоев , величины, пропорциональные действительной части
рассеивающей плотности слоев 5 г = ^ гДе Р >, поглощения В; = — ге1шрг (где X - длина волны рент-2 п
геновского излучения, ге = 2.82 х 105 А - классический радиус электрона), не говоря уже о параметре шероховатости аг, не могут быть найдены однозначно по данным эксперимента.
Вообще говоря, математическая модель пленки и величины соответствующих параметров (включая число слоев) задаются в качестве гипотезы о ее строении, предложенной на основе априорных сведений о процессе формирования пленки и дополнительной информации об образце, полученной из других исследований. При этом наилучшее согласие расчетных значений интенсивностей с экспериментальными является критерием справедливости выбираемой модели. Достаточно легко показать, что одна и та же зависимость Q(u) может быть получена при разном числе слоев п для ступенчатой модели профиля распределения электронной плотности в поперечном сечении пленки, разных величинах Яе р г (г) и т.д. (рис. 1). Следовательно, при сближении экспериментальной кривой интенсивности /эксп и ее расчетного аналога 1мод по %2 в соответствии с формулой
Иными словами, без учета дополнительных требований к модели все возможные р(г), приводящие к одинаковым распределениям Q(u), являются равноправными решениями.
Конечно, общая толщина пленки и толщина элементарной ячейки с определенной точностью
X
1
м
M - N
X""* / тЭксп тмодч 2
L wj( ij - 1м ),
j = 1
где М - общее число точек, N - число параметров модели, wi - оценка весовых функций, в первую очередь следует обеспечить достаточную глад-
5 х 106, отн. ед.
12 г
11 -
10 -
9 -
8 - А
7 - 1-
6 -
5 -
4 -
3 -
2 1
1 - — 2 I
10 0
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
I, отн. ед. 100
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-_
г, А
0 0.1 Q(u), отн. ед. 2.5
Чг, А-1
80 90
и, А
Рис. 1. Пример двух ступенчатых моделей пленок, различающихся количеством слоев и значениями параметров электронной плотности, но дающих практически совпадающие кривые интенсивности рассеяния и ^(и)-функции распределения расстояний: а - профили 5(г) моделей пленок, кривая 1 с 88 ступенями и кривая 2 с 23 ступенями; б - графики интенсивности рассеяния излучения от соответствующих модельных пленок (кривые полностью совпали); в -графики ^-функций для этих моделей.
I, отн. ед.
Рис. 2. Кривая интенсивности рассеяния от реальной 10-слойной ЛБ-пленки (1) и расчетная кривая от восстановленной модели (2) .
кость поверхности %2 с тем, чтобы процесс оптимизации не прерывался из-за плохой оценки весовых функций, особенностей строения модели и наличия резких перепадов высот кривой интенсивности рассеяния.
ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ СГЛАЖИВАНИЯ
В работах [2, 3] мы подробно останавливались на вопросе выбора системы весовых функций wi для х2. В данной работе мы рассмотрим совокупное влияние на поверхность %2 особенностей слоистого строения пленки и собственно специфики формы кривой интенсивности рассеяния. Мы специально не разделяем факты резкого перепада высот на кривой рассеяния и разрывы функции электронной плотности в ступенчатой модели пленки, так как и тот и другой имеют сходные корни и приводят к аналогичным результатам.
Прежде всего заметим (рис. 2), что экспериментальная кривая интенсивности и ее расчетный аналог могут быть наглядно представлены лишь в логарифмическом масштабе, так как резкий перепад высот в соседних точках кривой (на порядок, а то и несколько порядков) исключает возможность представления их в абсолютном масштабе. Кроме того, легко заметить, что перепад высот на экспериментальной кривой менее резкий, чем на расчетной (из-за наложения эффектов размывания резких границ слоев и погрешно-
стей эксперимента), т.е. экспериментальная кривая оказывается более гладкой в области низких значений интенсивности.
Все это приводит к разному масштабу в членах суммы х2, ухудшению влияния весовых функций w, к резкой овражности строения поверхности х2 [3], а в конечном итоге - к существенному усложнению процесса оптимизации при поиске наилучших параметров модели. Следует отметить, что при этом процесс минимизации обрывается по дороге к минимуму, застревая в "узких щелях и оврагах" поверхности минимизируемого функционала. Выходом может быть искусственное расширение "щели" путем сглаживания поверхности (рис. 3). Однако сглаживание непосредственно поверхности х2 может привести к исчезновению искомых минимумов, следовательно, лучше отказаться от не значимых на начальных этапах деталей кривой интенсивности и модели. Это можно сделать несколькими способами. Например, либо "вырезая" для минимизации только наиболее значимые участки кривой интенсивности рассеяния: начальный участок вблизи области полного внешнего отражения, области брэгговских пиков и т.п. (рис. 4), либо используя сглаженную кривую интенсивности рассеяния (рис. 36).
Создавая модульный программный комплекс BARD (Basic Analysis Reflectivity Data), предназначенный для моделирования и анализа особенностей кривых рассеяния, восстановления профилей рассеивающей плотности, оценок и графическо-
8 x 106, отн. ед. 10
5 -
l
o
loo
2oo
300
4oo
5oo
I, отн. ед 10-1
10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8
600
z, À
10
-9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
qz, À-1
%2(^), отн. ед. 108
105 104 103 102 101 10o 10-1 10-2
10 11 12 13 14 15
d4, À
Рис. 3. Демонстрация влияния сглаживания на примере изменения формы сечения минимизационного функционала X2 по одному из параметров модели многослойной пленки: а - модель профиля 8(г); б - расчетная кривая 1 и сглаженная по семи точкам кривая рассеяния 2 для данной модели; в - сечения минимизационного функционала %2 по параметру (толщине четвертого слоя), вычисленные для расчетной 1 и сглаженной 2 рефлектометрических кривых.
I, отн. ед. 100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
^ А-1
Рис. 4. Кривая интенсивности рассеяния 1 и наиболее значимые участки кривой 2, выделенные для улучшения сходимости процесса минимизации при поиске основных параметров модели строения слоистой пленки.
го представления основных параметров слоистых пленок, мы решили идти вторым путем, так как автоматизация первого способа на каждом шаге непрерывного процесса минимизации представляется весьма проблематичной. Следует подчеркнуть, что процесс сглаживания экспериментальной кривой имеет самостоятельное значение, так как позволяет проводить устранение незначимых участков кривой с резкими перепадами высот.
Разработанная программа поиска параметров ступенчатой модели путем сближения расчетной и экспериментальной кривых рассеяния с возможностью сглаживания любой из них на каждом этапе минимизации была применена для проверки соответствующих положений. За основу для счетного эксперимента была взята ступенчатая модель сложной слоистой пленки (рис. 5). На гладкой подложке расположены сначала два независимых промежуточных подслоя, а затем периодическая структура из пяти слоев разной плотности, составляющих "элементарную ячейку", повторенную семь раз. Рассчитанная для этой модели кривая интенсивности рассеяния была принята за "экспериментальную". Поиск решения осуществлялся при старте с модели того же класса (повторенная семь раз пяти-слойная ячейка с двумя подслоями), но с иными начальными численными значениями параметров (х старт = 1.02 х 106). Локальная минимизация
функционала х2 невязок между расчетной и "экспериментальной" кривыми, проведенная обычным способом без применения сглаживания, в данном случае не привела к восстановлению модели электронной плотности: процесс минимизации остановился при х2 = 9.77 х 102, даже зрительно не приблизив расчетную кривую к экспериментальной.
Для выявления возможностей применения сглаживания при поиске стабильного решения была проведена серия расчетов по следующей схеме. Во-первых, были рассчитаны пять вариантов "экспериментальных" кривых путем сглаживаний по разным угловым диапазонам. В нашем случае это означало изменение количества точек (3, 5, 7, 9, 11), составляющих участок сглаживания кривой, что имитировало реальные возможности получения экспериментальных кривых с разным уров
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.