научная статья по теме СХЕМА БЕРНУЛЛИ С АБСТРАКТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ Математика

Текст научной статьи на тему «СХЕМА БЕРНУЛЛИ С АБСТРАКТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 458, № 5, с. 514-517

МАТЕМАТИКА

УДК 519

СХЕМА БЕРНУЛЛИ С АБСТРАКТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ © 2014 г. В. М. Максимов

Представлено академиком А.Н. Ширяевым 12.03.2014 г.

Поступило 19.03.2014 г.

БО1: 10.7868/80869565214290088

1. ДВА ПОДХОДА К ПОСТРОЕНИЮ

РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Первый подход — это подход Р фон Мизеса, основанный на понятии "коллектива". В рамках "коллектива" определяется вероятность как число из отрезка действительных чисел [0, 1]. Теория Мизеса есть математическая модель теории вероятностей, рассматриваемая как экспериментальная наука

[1-3].

Другой подход был предложен А.Н. Колмогоровым [4]. Он основан на понятии вероятностного пространства (О, Р). Здесь О — множество элементарных событий, ^ — некоторая ст-алгебра подмножеств О, рассматриваемых как события, Р — мера на ^ со значениями из [0, 1], с условием непрерывности. Случайная величина определена как измеримая относительно ^ действительно (комплексно) значная функция. Ее распределение определяется вероятностной мерой Р (Р(О) = 1). То есть А. Колмогоровым была построена математическая теория вероятностей.

Таким образом, в теории Мизеса вероятность события находится по некоторому правилу, а в теории Колмогорова она определяется (т.е. назначается) мерой Р, которая может быть, вообще говоря, произвольной. Обе эти теории оказываются эквивалентными, если мера Р в пространстве (О, Р) принимает значения из [0, 1]. Закон больших чисел связывает эти теории.

Оба эти подхода можно применить для случая ^-адических вероятностей. Это было предложено А. Хренниковым [5]. Он показал [6], что закон больших чисел в ^-адической теории Колмогорова не определяет вероятность события, в то время как в теории Мизеса она находится по определению. Таким образом, в случае ^-адических вероятностей указанные подходы дают неэквивалентные теории. Некоторые задачи теории вероятностей

Российский государственный гуманитарный университет, Москва

рассматривались также для мер с отрицательными, комплексными и более общими значениями [7—11]. Применение таких вероятностей в теории "коллективов" пока не известны. Поэтому только подход А.Н. Колмогорова, связанный с введением вероятностного пространства (О, Р) и возможностью выбора вероятностей для меры Р, приводит к построению различных теорий вероятностей.

2. АБСТРАКТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МНОЖЕСТВА ^

Мы будем рассматривать множества ^ с такими свойствами, которые не противоречат вероятностной интуиции. Определения таких множеств были даны в [10—14]. Мы напомним более детально основные определения и представим новые результаты.

Определение 1. Некоторое множество ^ с операциями умножения (°) и сложения (+) будем называть множеством абстрактных вероятностей (абстрактные вероятности, или вероятностные множества), если выполнены следующие условия:

а) умножение определено для всех элементов, коммутативно, ассоциативно и имеет единицу 1;

б) сложение определено не для всех пар а, р е Если сумма а + р определена, то р + а также определена и а + р = р + а, т.е. сложение коммутативно. Если определена сумма (а + р) + у, то определены суммы р + у, а + (р + у) и (а + р) + у = = а + (р + у). То есть сложение также ассоциативно. Операция (+) предполагает существование нулевого элемента О, такого, что Уа е ^ имеем а + О = а. Очевидно, что О и 1 единственны;

в) свойство дистрибутивности. Если сумма а + р определена, то Уу е ^ сумма а ° у + + р о у также определена и (а + р) ° у = а ° у + р ° у. Обратное, вообще говоря, не обязательно верно,

так как сумма а + р может быть не определена, но а ° у + + р о у определено;

г) свойство дополнительности к 1. Для Уа е & существует единственный дополнительный элемент из &, обозначаемый а е &, такой, что а + а = 1;

д) вероятностная версия аксиомы Архимеда из теории действительных чисел. Для Уа е &, а Ф О, существует натуральное £(а), такое, что суммы а + ... + а (т раз, m < ^а)) определены в &, но сумма а + ... + а ^(а) + 1 раз) не определена в &.

Примеры вероятностных множеств:

1) множество действительных чисел отрезка [0, 1];

2) множество всех рациональных чисел отрезка [0, 1];

3) множество F п [0, 1], где F — любое подполе поля действительных чисел;

4) множество {0, 1} из двух чисел 0 и 1 с обычной операцией сложения и умножения;

5) множество всех подмножеств произвольного множества M, где умножение подмножеств определено как пересечение, а сложение определено как объединение подмножеств в случае, если они не пересекаются (булево вероятностное множество);

6) множество, состоящее из пар (р, m), где 0 <p <

< 1, 0 < m < 1, и пар (0, 0), (1, 1). По определению Р

мы положим (р1, m1) ° (р2, m2) = (р^2, m1m2) и

(р1, ml) + (ръ m2) = ( р 1 + P2, —^Р— ml + —Р^1—т2) ,

4 Р1 + Р2 Р1 + Р2 ;

если p1 + p2 Ф 0. По определению (0, 0) + (0, 0) = (0, 0). Очевидно, что (1, 1) является единичным элементом. Легко проверяется, что это множество удовлетворяет свойствам определения 1. Такие вероятности мы будем называть гиперболическими. Это есть частный случай вероятностей, рассмотренных в [10];

7) любые декартовы произведения рассмотренных выше вероятностных множеств с покомпонентным умножением и сложением.

В частности, декартово произведение отрезка [0, 1] ^ раз) мы будем называть d-мерными вероятностями. В [13] описаны все конечные вероятностные множества. Это будут все декартовы произведения вероятностного множества {0, 1}.

Мы будем говорить, что абстрактные вероятности удовлетворяют условию Колмогорова, если уравнение х2 = х имеет в & только два решения: х1 = О, х2 = 1, т.е. если & имеет два идемпотентных элемента. Очевидно, что каждый элемент конечного вероятностного множества есть идемпотент.

Предложение 1. Пусть & — некоторое множество абстрактных вероятностей. Тогда имеет место:

1) если а + р = О, то а = р = О. Это свойство мы называем свойством "неразложимости нуля". Оно настолько важно, что в [11] и [14] это свойство было положено в определение вместе с вероятностной версией аксиомы Архимеда;

2) если а Ф О, то сумма а + 1 не определена в &;

3) если а + р и а + р' определены в & и а + р = = а + р', то р = р';

4) для Уа е & мы имеем а ° О = О.

Поскольку &-значная мера Р в вероятностном пространстве должна обладать свойством непрерывности [4], то & должно быть топологическим пространством.

Если в & введена топология т, то, как обычно, она должна быть согласована с его алгебраической структурой.

Определение 2. Множество абстрактных вероятностей & с топологией т называется т о -пологическим, если операция умножения непрерывна в т, а операция сложения согласована с топологией т следующим образом:

а) если сумма а + р определена в &, то для любой окрестности ¥(а + р) существуют окрестности У(а) и К(р) такие, что если а' е К(а), р' е К(р) и сумма а' + р' определена, то а' + р' е ¥(а + р);

б) если сумма а + р не определена в &, то существуют окрестности У(а) и К(р) такие, что для Уа' е У(а) и Ур' е К(р) сумма а' + р' не определена в &.

Множество действительных чисел из [0, 1], а также d-мерные вероятности с естественной топологией являются примерами компактных топологических вероятностных множеств. При этом очевидно, что условие б) выполнено, а условие а) нельзя ослабить, например, если а = р = 1 е [0, 1]. Также очевидно, что множество гиперболических вероятностей является топологическим, но не компактным.

В дальнейшем мы рассматриваем только компактные вероятностные множества.

В [12] было показано, что из условия "неразложимости нуля", вообще говоря, не следует вероятностный вариант аксиомы Архимеда. Однако в компактном случае они эквивалентны. Точнее, имеет место

Предложение 2. Если вероятностное множество компактно, то из условия "неразложимости нуля" следует вероятностный вариант аксиомы Архимеда.

Обратим внимание, что определение 1 не предполагает существование суммы а + р, если а

516

МАКСИМОВ

и р находятся в достаточно малой окрестности нуля. Поэтому имеет смысл

Предложение 3. Если суммы ап + рп определены в & и ап + рп —» О, то ап —► 0 и рп —► 0.

Предложение 3 выражает свойство непрерывности "неразложимости нуля". Это свойство, очевидно, можно переформулировать в терминах окрестностей.

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

С АБСТРАКТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ.

ЗАКОН 0 ИЛИ 1. ТЕОРЕМА ЕГОРОВА

В [11] рассматривались &-случайные величины на (О, %, Р), где мера Р принимает значения из некоторого компактного вероятностного множества & со свойством непрерывности. Независимость &-случайных величин Ъ,(м>) и п(^) на (О, %, Р) определяется как обычно. Поэтому многие определения и свойства случайных величин сохраняются и для случайных величин с абстрактными компактными вероятностями. В частности, сохраняется важное понятие сходимости почти всюду. Поэтому можно говорить о законе О или 1 и теореме Егорова для компактных вероятностей.

Предложение 4 (Закон О или 1, &-знач-ный вариант) [11]. Пусть независимые &-случайные величины ^п(м>) определены на (О, %, Р), где Р есть &-значная мера, & — компактное вероятностное множество.

Тогда множество сходимости ряда ^ £,п (принадлежит <з-алгебре % и его Р-мера есть корень уравнения х2 = х. Если множество & удовлетворяет условию Колмогорова, то Р-мера множества сходимости равна О или 1.

Действительно, множество сходимости А ряда ^ Ъпп (ц>) не зависит от меры Р и удовлетворяет условию Р(А) = Р2(А).

Предложение 5 (Теорема Егорова, &-знач-ный вариант). Пусть — последовательность

&-случайных величин, определенных на (О, %, Р), & — компактно. Пусть ^п(м>) стремится почти всюду относительно Р к случайной величине

Тогда для любой окрестности и(1), единицы &, существует множество О(Ц) е %, для которого мы имеем Р(б(Ц)) е и(1) и на котором последовательность ^п(м>) сходится к равномерно.

4. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Пусть заданы вероятностные пространства (О1, Р1) и (О2, %2, Р2), где Р1 есть &1-значная

мера, Р2 есть &2-значная мера, где &1, &2 суть некоторые компактные вероятностные множества.

Определение 3. Вероятностное пространство (О, %, Р) называется суперпозицией вероятностных пространств (О1, %ь Р1) и (О2, %2, Р2)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком