ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 12, с. 2023-2036
УДК 519.658
СХЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОЛУКОЭРЦИТИВНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ С ТРЕНИЕМ
© 2007 г. Э. М. Вихтенко, Р. В. Намм
(680035 Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ТОГУ) e-mail: vikht@mail.khstu.ru; namm@mail.khstu.ru Поступила в редакцию 28.03.2007 г.
Для численного решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением (квазивариационного неравенства) рассматривается итерационный метод Удзавы с модифицированным функционалом Лагранжа. Библ. 10. Фиг. 1.
Ключевые слова: задача Синьорини, седловая точка, модифицированный функционал, метод Удзавы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением (квазивариационного неравенства) рассматривается метод последовательных приближений (см. [1, с. 195], [2, с. 286]), на каждом шаге которого решается задача Синьорини с заданным трением (см. [1, с. 181]). При этом вспомогательная задача с заданным трением сводится к минимизации полукоэрцитивного не-дифференцируемого функционала на выпуклом замкнутом подмножестве исходного гильбертова пространства. Для решения вариационной задачи рассматривается итерационный метод Удзавы, основанный на модификации классического функционала Лагранжа.
2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Рассмотрим плоскую контактную задачу между упругим телом П и абсолютно твердой опорой (см. [1]).
Предположим, что П с [К - область с достаточно регулярной границей Г. Для вектора перемещений и = (ыъ и2) определим тензор деформаций
1 (д и. диД , „
и тензор напряжений
2 vd Xj д x,/
ft = Г.. р
ij ijpm^pm?
где I,у,р, т = 1, 2, с1]тр = е^рт = срту и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
При фиксированном разбиении границы Г = Г0 и Г1 и Г2, где Г0, Гь Г2 - открытые попарно непересекающиеся подмножества Г, причем mesГ0, Гх > 0, и при заданных функциях ¥ = (/¡, /2), Т = (Тъ Т2) рассматривается следующая краевая задача (см. [1]-[3]):
-Оу,у = /г в П, I = 1, 2;
ип = 0, от = 0 на Го; °г]п] = Тг на Г2, I = 1,2.
На контактной поверхности Гх упругого тела и абсолютно твердой опоры задаются следующие условия:
ип < 0, Оп < 0, ипОп = 0, (1)
|от|< Щоп\, (Щ| Оп\ - |от|К = 0, ихох< 0. 2023
Здесь п = (п1, п2) - единичный вектор внешней нормали к Г; un = u ■ п; а,- = с^ц, г = 1, 2; а = (о1, а2); ап = Супц; ст = а - апп; Щ - коэффициент трения, Щ > 0 на Г1.
Основной сложностью при исследовании и построении численных алгоритмов решения данной задачи является зависимость силы трения Щ |сп(и)| от искомого решения и. Определим множество
К = { V е [Ж12ф)]2: Vп = 0 на Го, Vп < 0 на Г }. Предположим, что функции сурт е £М(Ц), г, у, т, р = 1, 2; ¥ = (/1, /,) е [£2(Ц)]2; Т = (Т1, Т2) е
е [£2(Г2)]2. Пусть решение и краевой задачи существует и принадлежит пространству [ (Ц)]2. Следуя [1], [2], можно показать, что и е К удовлетворяет квазивариационному неравенству
а(и, V - и) + | Щ\ап(и)|(| - |ит|)^ > |¥г(V, - иг)dЦ + | Тг( Vг - и,)dГ Vv е К, (2)
a(u, v) = JciJpmEij(u)epm( v)dQ.
где a(u, v) = J c ^г,
Q
Для решения квазивариационного неравенства применим метод последовательных прибли-
1/2
жений (см. [1]). Зададим начальную силу трения g0 е W2 (ГД g0 > 0. На (k + 1)-м шаге определяем uk + 1 как решение неравенства
a(uk +1, v - uk +1) + Jgk(| vT| - \u[ + ^)dr > JFi( v i - uk +1 )dQ + J Ti( v i - uk +1 )dr Vv е K, (3)
Г Q Г2
где gk = Щ |a„(uk)|, к = 1, 2, ....
Пользуясь терминологией, принятой в [1], назовем неравенство (3) задачей с заданным трением. Можно показать, что (3) равносильно вариационной задаче
J (v) = 1J c^pm^ji v )г pm( v) dQ - J/v-dQ - J Ti v idr + J gk| vx| dr-min,
Q Q Г2 Г
v е K.
При этом соответствующая краевая задача для (4) имеет такой же вид, как и исходная краевая задача, за исключением условий (см. (1))
|gt|< ЩgJ, (ЩgJ - ох)u = 0,
замененных на условия
к1< gk, (gk- igj)ut =
Ядро R билинейной формы
a(u, v) = Jc1jpmZ1j(u)8pm(v)dQ (5)
Q
не является пустым и состоит из вектор-функций р = (р1, р2), где р1 = a1 - bx2, р2 = a2 + bx1; a1, a2, b - произвольные фиксированные числа.
Обозначим
W = { v е [ W2(Q)]2: vn = 0 на Г0}.
Введем на [ W2 (Q)]2 скалярное произведение вида
/ л
(u, v) =
JudQ J vdQ + JüdvdQ (6)
Vq ^VQ / Q 11
Q
2
и соответствующую норму
/ / 1 2 д 2 ч 1/2
+ ^ЙО . (7)
д х1)
i / ] о 1 /
В предположении, что существует константа а0 > 0, при которой
°цртфцфрт ^ аофгуфрт П. На О (8)
(ф, произвольные), квадратичная форма а(V, V) положительно определена на ортогональном дополнении Я1 к ядру Я относительно скалярного произведения (6) (см. [3, с. 91]).
Подпространство Я = Ж п Я представляет собой множество виртуальных жестких перемещений (т.е. перемещений О как абсолютно твердого тела, при сохранении строгих (двусторонних) ограничений).
Условия, гарантирующие существование и единственность решения задачи (4), будут рассмотрены ниже. В случае минимизации квадратичных функционалов вопросы существования и единственности решения подробно исследованы в [1], [3], [4]. Исследования о разрешимости квазивариационного неравенства (2) приведены в монографии [1].
Каждый итерационный шаг метода последовательных приближений определяется как решение задачи (4) с заданным трением. При этом вопрос о сходимости метода последовательных приближений до сих пор, по-видимому, остается открытым (см. [1]). Тем не менее метод последовательных приближений тестировался при решении контактных задач теории упругости с трением. При этом в [1] задача минимизации недифференцируемого функционала (4) заменялась на задачу отыскания седловой точки дифференцируемого функционала Лагранжа на множестве Кх Л, где Л = {| е Ь2(ГХ): ||| < 1 п. в. на Гх}.
Ниже рассматривается метод решения задачи (4), основанный на схеме двойственности, позволяющей снять ограничения вида "Vп < 0 на Г/' при поиске решения вспомогательной задачи. Сам поиск осуществляется на основе модифицированного функционала Лагранжа.
3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА
Определим на множестве Ж х Ь2(ГХ) функционал Лагранжа
Ь( V, I) = J( V) + | ЫпйГ.
г,
Обозначим через (£2(ГХ))+ множество неотрицательных на Г функций, интегрируемых на Г со своим квадратом.
Определение. Пара (V *, I*) е Жх (£2(ГХ))+ называется седловой точкой функционала Лагранжа ¿(V, I), если выполнено двустороннее неравенство
Ь( V*, I)< Ь(V*, I*)< Ь(V, I*) V, I) е Жх(Ь2(Г1))+.
Теорема 1. Пусть решение и = (и1, и2) задачи (4) существует и принадлежит классу [ Ж^ (О)]2. Тогда пара (и, -сп(и)) является седловой точкой для функционала Лагранжа ¿(V, I). Доказательство. Для любого I е (Ь2(ГХ))+ имеем
Ц ( и, I) = Л и ) + \ Ып^< J( и ) - |Оп( и = Ь ( и, -Сп( и )) .
Г Г
С другой стороны, для любого V е Ж имеет место
Ц V, -Оп ( и )) - Ь ( и, -Сп( и )) = J ( V ) - J ( и ) - |сп ( и )( Vn - ип ) йГ
Г1
= | СцртЪ, V)£рт( V - и )ЙО - |¥р( Vp - ир )ЙО - | Тр( Vp - ир)ЙГ -
О
О
n
Г,
- Jgj ( u )(vn - un) dr + J gk (| vT - |ux|) dr +1 J Cijpm&ij( v - u )8pm( v - u) dQ =
Г Г Q
= Jgpm(u )8pm( v - u)dQ - JFp(vp - up)dQ - J Tp( vp - up)СГ -
Q Q Г2
- Jgj ( u )(vn - un) СГ + J gk (| vT - |ux|) dГ +1 J Cijpm&ij( v - u )8pm( v - u) dQ =
Г1 Г Q
= Jgpm(u)d( V.px UpdQ - JFp(vp - up)dQ - J Tp(vp - up)СГ -
Q m Q Г2
- JGn ( u )( vn - un ) СГ + J gk (| vT - |uT|) dГ +1 J C ijpm&ij( v - u )8pm( v - u) dQ =
Г1 Q
= -JGpm, m(u)(vp - up)dQ + Jgj(u)(vn - ^)СГ + Jgx(u)(vT - u)dГ -
Q Г Г
- JFp(vp - up)dQ - J Tp( vp - up)СГ -
Q Г2
- JGn ( u )( vn - un ) СГ + J gk (| vT - |uT|) СГ +;2 J Cijpm8ij( v - u )8pm( v - u ) dQ =
Г1 Г1 Q
= -J(Gpm, m(u) + Fp)(vp - up)dQ + J Gn(u)(vn - ^)СГ + J gx(u)(vT - ux)СГ -
Q Г1 иГ2 Г1 и Г2
- J Tp( vp - up)СГ - JGn(u)(vn - un)СГ +
Г2 Г1
+ J gk (| vT - И) СГ +;1 J Cijpm8ij( v - u )8pm( v - u ) dQ =
Г1 Q
= Jgt(u)( vT - uT)СГ + Jgk(| vT - |uT)СГ +;2 JC1jpm81j( v - u)8pm( v - u)dQ =
Г1 Г1 Q
= J (Gx(u) vT + gk| vT|)СГ - J (GT(u)uT + gk|uT|)СГ + 2 JCijpm8ij( v - u)8pm( v - u)dQ =
Г1 Г1 Q
= J (GT(u) vT + gk| vT| )СГ + JCijpm&ij( v - u)8pm( v - u)dQ >
Г1 Q
1 c
> 22 J Cijpm8j v - u )8pm( v - u ) CQ > 0.
Q
Таким образом, пара (u, -Gn(u)) удовлетворяет двустороннему неравенству
L(u, l)< L(u, -Gn(u))< L(v, -Gn(u)) V( v, l) е Wx(L2(Г1)) +. Теорема доказана.
Жесткая опора
Фигура.
2
Рассмотрим задачу (4) в предположении, что П - многоугольник в К , а множества Г0, Г1 суть прямолинейные отрезки, Г0 не параллелен Г1. Для удобства будем считать, что Г0 лежит на оси Ох1 (см. фигуру).
В этом случае, как показано в [1], множество Я = Жп Я представляет собой одномерное множество вида
Я = {р = (р 1, р2): Р: = а, р2 = 0},
где а - произвольная постоянная.
Так как Г1 не параллелен Г0, то для п = (п1, п2) на Г1 выполняется условие п1 Ф 0. Пусть, к примеру, п1 > 0 на Г1. Тогда
R n K = {р = (a, 0), a < 0}. Поскольку n1 = const ф 0, то, как показано в [1], форма
2Л
1/2
|Сг]рт^г]( V)^рт( V)dЦ + | Vп<^
является нормой в пространстве Ж, эквивалентной (7). Ниже будем считать, что
JF1 dQ + J T 1dr> 0.
(9)
(10)
(11)
Разложим произвольное V е Ж по нормальной и касательной к Г1 составляющим, т.е. V = (V,,, V-). Положим
V = (Vn, 0), где Vn =
-1_ Г
mes Г1J
V ndr,
и пусть V = V - V = (vn - Vп, V). Легко видеть, что
| VndГ = |( Vп - Vn)dГ = 0
Г: Г:
и в этом случае норма (10) для V принимает вид
С \ 1/2
Jc,jpm£,j( V)еpm( V)dQ
Vq
1/2
= [a(v, v)] .
На пространстве Ж введем линейный функционал
¿1 ( V) = |/, VгdП + | Тг V^.
Q
Q
2
Тогда для произвольного v е K имеем
J( v) = 1 а( v, v) - Li ( v) - L ( v) + Jgk\vT|dr =
= 1а( v, v) - Li( v) - v,
Так как vn < 0, то из условия (11) следует
Ti
/ \
J fi dQ + J Tidr + J gkl vT dr.
vn r2 ' ri
J(v) —► при II vil , 2 —► ^ и v e K. (13)
Тем самым доказано, что вспомогательная задача (4) разрешима при любом к = 1, 2,____
Пусть u - решение задачи (4). Предположим, что u e [ W\ (Ц)]2, и пусть Г, = {x e Гх: an(u) < 0}.
Так как любое другое решение может отличаться от u только на элемент р e R (см. [1]), то все
другие решения также принадлежат классу [ W2 (Ц)]2. Сделаем естественное предположение, что
mes Г1 > 0. Тог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.