АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 5, с. 547-551
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23
ШУМ ПОТОКА В ГОФРИРОВАННОЙ ТРУБКЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИ © 2015 г. В. Ф. Копьев*, **, М. А. Миронов***, М. А. Яковец*
*ФГУПЦА1И, Научно-исследовательский Московский комплекс ЦАГИ 105005 Москва, ул. Радио 17 E-mail: aeroacoustics@mktsagi.ru **Пермский национальный исследовательский политехнический университет 614990 Пермь, Комсомольский пр. 29 ***Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4 Поступила в редакцию 21.04.2015 г.
При протекании воздуха через трубку с гофрированной внутренней поверхностью генерируется тональный (мультитональный), т.е. когерентный акустический сигнал. Главные процессы, приводящие к генерации, — это вынужденное возбуждение активной среды в резонаторе (трубке) и обратная связь, приводящая к нелинейному усилению одной или нескольких гармоник резонатора за счет процессов нелинейной конкуренции волн. Среда в трубке становится активной за счет процессов, происходящих при обтекании потоком гофрированной стенки. Основная цель настоящей работы — качественно объяснить на простом примере возможность генерации мультитонального звука и основные известные экспериментальные факты.
Ключевые слова: волна неустойчивости, шум гофрированного волновода. БО1: 10.7868/80320791915050111
ВВЕДЕНИЕ И ВЫБОР МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Известно [1—8], что спектр излучаемого гофрированной трубкой звука представляет собой набор близко расположенных пиков, распределенных в узкой области частот с центральной ча-
/7
стотой, соответствующей = у ~ 0.45...0.6
(К0 — скорость потока, I — шаг гофрировки). Эта частотная область генерации повторяется на более высоких частотах, примерно соответствующих числам Струхаля ~ (п — целое) [8]. При увеличении скорости продуваемого потока картина сдвигается в область более высоких частот, что выражается в "перескоке" частоты максимального звука на соседнюю частоту резонатора.
При теоретическом объяснении возбуждения трубки потоком будем исходить из автоколебательного характера процесса. Так, при взаимодействии звука и потока с неровностями стенки возникает неустойчивость за счет некоторого механизма перекачки энергии потока газа в звуковую волну. Тогда нарастание звуковых колебаний происходит после того, как аэродинамическая накачка превысит пристеночные потери на трение и теплопроводность и потери на излучение из открытых концов трубки.
Известны следующие рабочие гипотезы описания механизмов перекачки: 1) изменение импеданса впадин гофра под влиянием тангенциального разрыва, перекрывающего впадины [7]; 2) генерация осевой силы при натекании колеблющегося тангенциального разрыва, сходящего с предыдущего выступа гофра на следующий выступ; 3) взаимодействие собственной моды волновода с критическим слоем потока (механизм Майлса [9]). Во всех случаях перекачка энергии возможна только за счет процессов, происходящих вблизи стенки: именно там течение имеет особенности, связанные с наличием градиента скорости (пограничный слой) и гофрированной неоднородностью стенки. Это значит, что эффект генерации шума имеет выраженный приповерхностный характер и, следовательно, может быть описан с помощью граничных условий специального вида на стенке канала.
Настоящая работа посвящена исследованию влияния потока на импеданс двумерной канавки — впадины гофра и связывает возникновение неустойчивости с первым из описанных механизмов перекачки. Рассматривается упрощенная постановка, направленная на максимальное прояснение физических процессов при таком механизме генерации. Считается, что возникающий при обтекании канавки тангенциальный разрыв (рис. 1) под действием внешнего звукового поля начинает коле-
548
КОПЬЕВ и др.
УА У 1 к I
У0 П(х) У0 ь П(х)
' \
-► х ___ \ У х
0 1 0 ЧУ 1 \ * 1 \ , \ / /
-к II
Рис. 1. Смещение тангенциального разрыва над канавкой.
Рис. 2. Постановка модельной задачи.
баться, создавая на границе полости объемную скорость, которая изменяет импеданс таким образом, что поверхность волновода становится активной (действительная часть импеданса становится отрицательной). Наличие отрицательной действительной части импеданса приводит к нарастанию амплитуды распространяющейся по каналу волны или генерации собственных колебаний конечного волновода.
Для получения точного решения задачи о движении тангенциального разрыва скорости над канавкой используют [10—13] модели с обратной связью, в которых движение разрыва возле задней кромки согласуют с колебаниями, возбуждающими тангенциальный разрыв на передней кромке. Для этого возле задней кромки размещают систему точечных периодических источников, обеспечивающих нужное положение тангенциального разрыва и затекание движущейся среды в неподвижную область. Затем решается интегральное уравнение движения разрыва под действием этих источников. Смещение тангенциального разрыва есть, в главном, сумма двух волн, соответствующих неустойчивости Кельвина-Гельмгольца: экспоненциально нарастающей и убывающей. Такие модели позволяют учесть не только геометрические параметры кромки I и к, но и более сложные эффекты, связанные с конечной толщиной слоя смешения. Однако эти методы являются довольно громоздкими, предполагают решение нескольких интегральных уравнений и допускают произвол в выборе системы источников и механизма обратной связи, исключить который должны подробные экспериментальные исследования обтекания кромки нестационарным потоком.
В настоящей работе рассматривается возбуждение падающей плоской волной колебаний тангенциального разрыва, перекрывающего канавку (рис. 1), в упрощенной постановке — пренебрегая влиянием задней кромки и дна канавки (рис. 2). При таком упрощении удается легко понять появление зон отрицательного значения реальной части импеданса в зависимости от длины (частоты) звуковой волны и на качественном уровне
описать механизм генерации собственных колебаний гофрированного волновода.
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Чтобы найти параметры волны неустойчивости в нашем случае, рассматривается известное решение задачи о дифракции звука на полуплоскости при наличии потока [14, 15].
Пусть в области I (у > 0) имеется однородный поток со скоростью У0, параллельной оси х, а в области II (у < 0) среда покоится. Эти области разделены бесконечно тонкой твердой пластинкой, занимающей полуплоскость у = 0, х < 0. Газ предполагается невязким, скорость звука с одинакова во всем пространстве, а возмущения малы, так что движения газа можно считать потенциальным, и зависят от времени как ехр (-¡кЫ). Далее временной множитель для возмущений опускаем. Пусть из среды I на границу раздела падает плоская монохроматическая волна, нормаль к волновому фронту которой составляет угол 0, е (0, п) с осью х (рис. 2).
Под влиянием звукового поля смещается тангенциальный разрыв, разделяющий области I и II. Введем функцию п(х) — нормальное отклонение границы раздела сред от плоскости у = 0.
Потенциал возмущений скорости ф в средах I и II подчиняется следующим уравнениям:
ДфI - (Мд- ¡к) фI = 0, у > 0;
\ дх !
2
Дфп + к фп = 0, у < 0,
д 2 Я 2
где М = У0/с — число Маха, а А = —- +--- — дву-
дх ду
мерный оператор Лапласа. Потенциал плоской монохроматической волны, падающей под углом 9г- к оси х из среды I, задается выражением
Г , п , ■ п \
Ф, = Ьехр
-I-
кСО80,-
-х -1-
к 8Ш0,
■у
1 - М СО80, 1 - М СО80, у На линии у = 0 должны выполняться условия равенства давления (при х > 0) и смещения частиц
ШУМ ПОТОКА В ГОФРИРОВАННОМ ТРУБКЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛН
549
I та 1 -М
-к + м Re а • к'
Рис. 3. Обход полюса а0 при интегрировании.
газа (при х < 0). На кромке ставится условие Жу-ковского—Кутта [16]:
П (0) = 0, ^ = 0.
ахх=0
Кроме граничных условий, решение должно удовлетворять еще и условию излучения: в каждый фиксированный момент времени возмущения, вызванные падающей на границу раздела волной, должны убывать при у ^ возмущения должны создаваться источниками на границе раздела.
В работе [15] приведено решение данной задачи с помощью метода Винера—Хопфа. Смещение п(х) находится с помощью обратного преобразования Фурье:
1 г 21 (к + Мк') . , ,
Ч = — Н-;-т~г—тт exp (-/ах )йа.
2п Г с (а- к')И+ (а) И (к) У '
Здесь у(а) = ^(а - к) (а + к),
в = #
М2)(а-к/(1 -М))(а + к/(1 + М)), к' =
= кcos9i/(1 - Мcos9i), а функции Н+ и Н- находятся из факторизации функции
Н (а) = к 2р + (к + Ма)2 у = и+и.
тР + -
Функция Н+(а) должна быть регулярна в верхней, а функция Н-(а) — в нижней комплексной полуплоскости плоскости.
Интегрирование ведется вдоль кривой Г, которая идет около действительной оси и огибает полюс а0 неустойчивости Кельвина— Гельмгольца таким образом, чтобы соблюсти условие причинности решения (рис. 3):
-М/ 2 + /V л/1 + М2
а 0
1 - М 74
1
— кЫ
м^0 л м '
+ М -1
Вклад в интеграл, соответствующий вычету в этой точке, есть волна неустойчивости Кельвина— Гельмгольца, экспоненциально нарастающая вниз по потоку. Этот вклад будет доминирующим в решении при размере отверстия больше длины волны неустойчивости.
Рис. 4. Безразмерный импеданс в зависимости от параметра БИ.
Смещение, связанное с этим вычетом, равно
с
-2/ (к + Мк)
П0 (х, t) = Ь—exp (-а 0х - /Ш), с
п/1/лч -2/ (к + Мк )
где — (МД) =-*--и 0 < х < I.
(а0 - к)Н+ (а0)Н- (к) Боковое движение тангенциального разрыва создает объемную скорость среды через отверстие
I
0
1 |-дП0СМ)
дt
йх.
Импеданс отверстия равен отношению перепада давления, которое было бы в отсутствие отверстия, к средней объемной скорости среды, проходящей через него:
Z = , V
где
Р = -р0 ~ 2/кср(Ь, V= дt
= -1 С (-кс)Ь—ехр(-а хйх = Ь—к (1 - exp (-а 0».
I -Ъ 1а 0
Получим в результате Z = Р0С
2/а 01
— (1 - ехр (-/а 01))
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ Рассмотрим свойства полученного решения. Импеданс отверстия при БИ > 1/2п, где БИ = /1^0 — число Струхаля, есть осциллирующая комплексно-значная функция
р0С 242 (2п8И)ехр
-2п8И + +
3п\
. (1)
На рис. 4 изображен безразмерный (нормировка на р0с) импеданс-годограф, рассчитанный
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.